Fórum: Tizenegyszög szerkesztése egy körben

Mindenkit tisztelettel üdvözlök, mint új belépő, s nem matekzseni. Első nekifutásra mediátor topiktársam soraira reagálnék a 440 fokos körfelosztásra.

Természetesen fel lehet osztani a kört 440 egységre, de ebben az esetben sem lehet több egy egységhez tartozó szögmérték összege, mint 360 fok, vagyis a 440 egységű felosztásban semmi más nem történik, mint az alapértelmezésű 1 fok helyett annak kisebb arányú értékét kajuk, azaz 0,81818....értéket, végtelen formában. Az igaz, hogy a 440-es felosztás esetén a 11 oldalú sokszög egy háromszögéhez ebből az értékből 48,88 db kellene ahhoz, hogy egy db 40 fokos háromszöget kapjunk, s ebből kellene 11 db összesen. Eleve nem lenne pontos az így kapott sokszög semmilyen értéke,hiszen maga a 0,81818... is végtelenségig ismétlődik. Matematikailag lehet számolni, de geometriailag kiszerkeszteni lehetetlen a geometriai szerkesztés kritériumait tekintve. De még mérni sem lehet pontosan, hacsak nem olyan szögmérős körzővel dolgozunk, melynek az osztásai az alapot adó 1 fok helyett 0,181818..., de ez már nem szerkesztés. Elvileg és matematikailag is ugye az így kapott 11 oldalú sokszögnek egy háromszöge 40 fokot adna ki, de ha pontos értéket számolunk legalább 4 tizedes értéket figyelembe véve is szerkeszteni nem lehet. Nekem már az is zseni, aki egy fokot ki tud szerkeszteni önmagában egy körben, nemhogy annak 0,81818....értékét. Nos,nem kizárt természetesen, hogy az én elégtelen matematikai tudásom és ismeretem miatt nem tartom megoldhatónak a feladatot. Ami viszont érdekesebb számomra, a térkép, amit Ön említett, s melynek léptéke 1:440 000-es arányú lenne. Ugyanis ilyen léptékű térkép az említett 12-13.században nem volt ismert, de általában semmilyen pontos léptékű és mértékű térkép sem volt ismert. Ez a lépték általában nem elterjedt szabványlépték a téképészetben sem, de létezik ma már. Ilyen térkép azonban a Német Lovagrend tagjainak aligha állhatott rendelkezésére, vagyis nem valószínű, hogy ők egy térképen szerkesztették meg előbb az öt vár helyzetét. Ha így is lenne, még nehezebb lehetett ezt pontosan kimérni, és elhelyezni a valóságban. A mai igen fejlett és kroszerű technikai mérőműszerekkel elképzelhető, hogy matematikai pontossággal ki lehet tűzni 5 ilyen pontot a helyszínen, de ekkora távolság esetén ez sem valószínű. Ezen kívül pedig még egy kérdés felmerül bennem, hogy a feltételezett térképszerkesztést követően, hogyan jelölték ki, és mihez mérték a valóságban azt a pontot, ami térképen megjelent, mint fix pontocska......

Egyébként számomra, mint laikus számára valóban érdekes, és összetett téma, amit felvetett,de törétnelmi oldalát tekintve is érdekes felvetés. Kiváncsiam várom a további hozzászólásokat.

Feladok itt is egy feladatot.

Tegyük fel, hogy az a_nxⁿ+...+a₁x+a₀ egész együtthatós polinom együtthatóira és a p prímszámra a következők teljesülnek: p osztja a_i-t pontosan akkor, ha i<n; p² nem osztja a₀-t. Bizonyítsuk be, hogy a polinom nem bontható fel alacsonyabb fokú egész együtthatós polinomok szorzatára. (Ez a Schönemann-Eisenstein-féle irreducibilitási kritérium.)

Sajnos nem:(.

Ez nagyon érdekesnek tűnik. Nem emlékszel, hol található meg ez a cikk?

Nem sokat tudok róla, pár éve akadt a kezembe egy cikk, és sajnos nem olvastam el rendesen. Nem kifejezetten precíz matematika, inkább egy játékos dolog.

A lényeg a következő. Van egy papírlapod, és ezeket egyenesek mentén meghajlíthatod. Azután kihajtogatásnál előállnak mindenféle alakzatok a hajtási vonalak mentén.

A derékszög szerkesztése például a következőképpen megy. Egy egyenese mentén meghajlítod a papírt. Ezután pedig a kapott - egyenessel határolt - alakzatot úgy hajlítod meg, hogy a két rész takarja egymást. Amikor visszaállítod az eredeti állapotot, derékszög rajzolódik ki.

És akkor vannak mindenféle trükkök, egy darabig nézegettem őket, aztán beleuntam, a végére lapoztam, ott pedig szerepelt a szabályos kilencszög kihajtogatása.

Mi az a hajtogatási geometria?

A probléma a következő. Arról van szó, hogy attól, hogy valami szemre olyan, mint egy szabályos 11-szög, attól még esze ágában nincs szabályos 11-szögnek lenni.

Másrészről azonban lehet úgynevezett alternatív geometriákat felépíteni, ahol az előbb taglalt szerkeszthetőségi elmélet egészen más. Például a hajtogatási geometriában simán lehet szabályos kilencszöget szerkeszteni (a minimálpolinom és a felbontási test foka egyaránt 6).

Tehát elképzelhető, hogy az illetők alternatív geometiát építettek, esetleg ravasz szerkesztőeszközökkel, amik meg tudtak oldani ötödfokú egyenletet is. Úgy meg simán megy a szerkesztés. De ez nagyon kevéssé valószínű, tekintve hogy ezek borzalmasan bonyolult eszközök kelletek, hogy legyenek.

A legvalószínűbb tehát az, hogy csináltak egy jó közelítő eljárást. És aszerint rajzoltak meg építettek. Nem hiszem, hogy matematikai értelemben vett szerkesztéről lenne szó.

A dolog a következőképpen megy - vázlatosan. Némi meggondolás után arra a következtetésre juthatunk, hogy igazából nem pontok és távolságok, hanem számok szerkesztése a kérdéses.

Legyen adott egy a valós szám, az a kérdés, hogy szerkeszthető-e a következő kiindulási feltételekkel: adott a (0,0) és az (1,0); továbbá egy körző és egy egy élű, beosztás nélküli vonalzó. Ezek után tetszőlegesen bűvészkedhetünk a síkon, amit R²-el, azaz a valós számpárokkal azonosítunk, ez az általános iskolából is jól ismert, Descartes-ról elnevezett koordinátarendszer. Egy a szám megszerkeszthető, ha (a,0) megszerkeszthető.

A szerkesztés valójában nem más, mint egy elsőfokú avagy másodfokú egyenlet megoldása, előbbi a vonalzó, utóbbi a körző használata esetén (HF: tessék kiszámolni, ahogyan koordináta-geometriából tanuljátok!). Ez a lényegi gondolat, mellyel láthatjuk, hogy a megszerkeszthető számok egy - a matematika nyelvén - könnyen leírható struktúrát alkotnak. Ha észrevesszük azt is, hogy minden első- és másodfokú egyenlet valóban megoldható, akkor a következőt kapjuk: a szerkeszthető számok egy testet (HF: megnézni, mi az a test!) alkotnak, ami a négyzetgyökvonásra zárt.

Képzeljünk el egy jól ismert testet, legyen az a Q, a racionális számok testje. Ez például nem zárt a négyzetgyökvonásra, mert például az x²-2 másodfokú polinomnak nincs benne gyöke. Ha azonban hozzávesszük a -t (és persze minden alakú számot, ahol q,r racionálisak, hogy test legyen újra), akkor már az x²-2 gyökei benne vannak. Mivel egy másodfokú polinom egy gyökét vettük hozzá, ezért ezt úgy hívjuk, hogy az eredeti test egy másodfokú bővítése.

A szerkeszthető számok testjének nincs ilyen másodfokú bővítése.

Tegyünk egy kis kitérőt a déloszi probléma felé. A kérdés az, hogy az x³-2 polinom gyökei szerkeszthetők-e. Ez a polinom harmadfokú, és nem is bomlik fel másod- és elsőfokúak szorzatára, így nem lehet a -t szerkesztési lépésekkel megszerezni, tekintve hogy azok mindig első- és másodfokú egyenleteket oldanak meg.

Hogy a teljes és pontos választ megkapjuk, még egy fogalmat kell bevezetnünk. Egy szám minimálpolinomjának azt a polinomot hívjuk, aminek a foka a lehető legkisebb, és aminek gyöke az adott szám. Például a racionális számtest felett a minimálpolinomja x²-2. Illetve még egy fogalom. Egy polinom felbontási testje pedig az a test, amit akkor kapunk, ha a testhez a polinom összes gyökét hozzávesszük. Másodfokú esetben egyszerre kerül be a két gyök, de gondoljatok bele, hogy például x³-2 esetében ha csak a valós gyököt tesszük a racionális számok közé, az nem generálja a komplex gyökeit. Tehát ott újabb bővítéseket kell tenni, hogy az egész felbontási test előálljon.

Tétel. Egy szám pontosan akkor szerkeszthető, ha a racionális test feletti minimálpolinomjának felbontási testjének a racionális test feletti foka 2-hatvány.

Ennek segítségével már be lehet bizonyítani - de még ezen a ponton sem olcsó - hogy pontosan azok a szabályos sokszögek szerkeszthetők, amiket írtatok, mármint a Gauss-ra hivatkozók. A 11-gyel pedig az van, hogy a kérdéses minimálpolinom foka 10, így a felbontási test foka is osztható 5-tel, következésképp 2-hatvány nem lehet. Tehát a szabályos 11-szög nem szerkeszthető.

(Ez azoknak szólt, akik kíváncsiak Gauss híres tételének hátterére...)

Lehet kérdezni, szívesen válaszolok, részletekkel is...

Valóban, de ebben nincs semmi meglepő, ha belegondolsz, hogy az xⁿ-1 polinom gyökeinek képzetes részéről van szó.

A szabályos tizenhétszög szerkesztése triviális lesz, ha már tudjuk cos (/17) és sin (/17) értékét, csak négyzetgyökökkel kifejezve. Ezt viszont már említettem itt a fórumon.

Tényleg. Egészekre nagyon egyszerű belátni Euler-formulával. (Még csak most kezdtem el próbálgatni a komplex számokat)

mindig algebrai, ha n racionális és nem 0.

Az szükséges, hogy a szerkesztendő mennyiség algebrai legyen, de sajnos nem elégséges. Pl. sem szerkeszthető, holott algebrai. Szabályos sokszögekből a 2^k, 2²ⁿ+1, ha ez prím, illetve ezek szorzata oldalszámú szabályos sokszögek szerkeszthetők. A legkisebb kevésbé közismert ilyen sokszög 17 oldalú. Hogy ezek hogy szerkeszthetők, arra persze általános módszer nincs, minden esetben egyedi. A 17 szög szerkesztése is elég körülményes, de gyakorlati jelentősége nincs is. Egyébként Gauss 19 éves korában oldotta meg a 17 szög szerkeszthetőségét.

Amúgy hogy kell szerkesztheteni egy megszerkeszthető szabályos sokszöget? Gondolom akkor szerkeszthető meg egy sokszög, ha az algebrai szám.

kiszámítására van képlet? Nyilván így elég sok "nevezetes" szög szinuszának az értéke megmondható. Csak n=5-re ismerek szép számítást, de nem tudom elképzelni, hogy a többi hogy számolható.

Alapozáshoz ajánlom Euklidész 1. könyvét , azon belül is különösen a posztulátumokat, ezek írják le, hogy hogyan lehet szerkeszteni. És nem kell a méret miatt aggódni, most csak az elejére van szükségünk.

Kedes ScarMan! Köszönöm amit írtál. Most én kérek segítséget. Ha hajlandó lennél, akkor szerkesszünk együtt, szabályosan. Én mindig megkérdezem Tőled, hogy mit rajzolhatok a szabályoknak megfelelően, és ha Te azt modod, hogy az adott lépés megfelel a szabályos szerkesztés feltételeinek, akkor meglépjük a lépést.

Kezdet: Veszünk egy üres lapot. Van egy körzőnk, egy vonalzónk, és egy ceruza. Feadat: Az üres papírra szeretnék rajzolni egy egyenest. Kérdés: Ezt hogyan tehetem meg? Ki, vagy milyen körülmény, feltétel dönti el, vagy határozza meg, hogy hol kezdődik az a bizonyos vonal, meddig tart, és milyen hosszú lehet?

Ha mindezen kérdésre választ adsz, akkor rajzolunk majd egy egyenest.

Megkaptam e-mailen az ábrát, és sikerült is megértenem a szerkesztésed menetét. Ez az ábra tényleg érdekes, de nem ad módszert a 11-szög szerkesztésére, csupán annyit bizonyít (ha feltesszük, hogy a térkép tökéletesen pontos), hogy a várak által meghatározott pontok segítségével rajzolható egy szabályos 11-szög. A matematikai szerkesztésben azonban nincsenek előre adott, speciális helyzetű pontok - ezeket is szerkeszteni kell. Azon pontok, amelyek a térképen adottak, valójában nem szerkeszthetők, csak nagy pontossággal kimérhetők.

Én úgy érzem viszont, hogy ez számodra nem baj, mert te nem egy matematikai, hanem egy törétnelmi tényt próbálsz igazolni. Az, hogy ezek a várak meghatároznak egy szabályos tizenegyszöget (valamekkora pontatlansággal), még mindenképpen lehetséges attól függetlenül, hogy a tizenegyszög matematikailag nem szerkeszthető, ugyanis ettől még tudthattak nagyon pontos rajzot tudtak készíteni róla, és a valóságban ilyen helyzetbe építeni a várakat. Valószínűleg a matematikailag szerkeszthető ötszöget sem lehet a gyakorlatban pontosabban megépíteni, mint egy tizenegyszöget.

Kedves ScarMan! Válaszoltam Neked, és remélem a kép is használható minőségben ment át e mail-ben, de így utólag újra olvasva a hozzászólásodat, félek, én sem értettem meg, hogy Te mit kértél tőlem.

Ezt írod zárójelben: tehát nem definiáltad, hogy kapjuk meg az egyes váraknak megfelelő pontokat. Én azt nem tudom megmondani, hogy a két hegycsúcs között rajzolt egyenesen miért azon a ponton van pl. Keresztvár ikonja. Egyetlen magyarázat van csak. A térkép készítője szerint azon a ponton található a várrom. Hogy miért pont arra helyre, azt nem tudtam megmagyarázni soha sem. Erről már írtam a Hajba Károlynak szóló válaszomban. Remélni tudom csak, hogy azért oda rajzolták az ikont a térkép készítői, mert a valóságban is ott van a várrom. A mai korban ez nem lehet olyan szokatlan. Megvannak a megfelelő eszközeik.

Most nagyon finoman kell fogalmaznom, nehogy bántásnak érezd.... Ha nem a " térképre rajzolsz ", akkor a dolognak semmi értelme. Méréssel nem adhatom meg a pontokat. A dilemmám lényege ez. Fatális véletlen, hogy a települések egymástól való távolsága, az objektumok helyzete adja, adhatja e meg egy ilyen grafika megrajzolásának lehetőségét? Szóval érted? Nem tudom ezt a dolgot megmondani csak azt tudom, hogy pl. a Feketehalom - Höltövény távolságának fele, azonos a Brassó - Feketehalom távolsággal. Azt tudom csak mondani, hogy a kör középpontja az az ikon legyen, ami Keresztvár település neve mellett van a térképen, és ha ez a pont lesz a megrajzolt kör középpontja, akkor a rádiusz a Keresztvár várának ( ikonja ) és Feketehalom várának ikonja közötti távolság legyen. Ebben az egészben ez az őrjítő, és nem az, hogy én megakarom tanítani számolni a matematikusokat.

Remélem, hogy sem Téged, sem másokat nem bántottam meg?

A kép nem ment át. Küldöm e mail-ben.

Kedves ScarMan! A 30. üzenő lapon találod meg a grafikát. Elég gyenge.Kimentetem -próbaképpen- az oldalról, de a képszerkesztőben nem ad elfogadható minőségét. Felteszem a fórumra újra. Kicsit igazítottam a betükön, hátha... Ha van a fórumban megadva a Te nevedhez e mail cím, akkor mellékletként elküldöm. Így biztosan kezelhető minőségű léped lesz, amit ha a gépedre mentesz, használni tudsz. Ez a rajz egyébként a térképről-pausszal vett- másolat. Megfelel a térkép méretezésének.

A pontok: jobbról balra. Lakócs csúcs- Keresztvár-Brassó-Pásztor csúcs. Ez a 4 pont van a vízszintes (?) tengelyen. A köríven két pont van. Feketehalom és Höltövény. Több pontnak ( várnak ) a szerkeszthetőség szempontjából nincs jelentősége. Ez a hat pont adja az ábrát.

Lehet, hogy nem értem a szerkesztést, bonyolult így ábra nélkül, de nekem úgy tűnik, hogy felhasználsz benne olyan pontokat, amelyeket nem definiáltál (tehát nem definiáltad, hogy kapjuk meg az egyes váraknak megfelelő pontokat).

Le tudnád írni a szerkesztést úgy, hogy nem térképre szerkeszted? (és a pontokat az egyszerűbb követhetőség kedvéért az ABC betűi alapján nevezd el, hogy én is emgértsem, hogy a szerkesztés nem használja ki a térképet)

Kedves Mediator!

Figyelmedbe ajánlom a Mintentudás Egyetemének legutóbbi előadását, amelyet Laczkovich Miklós tartott. Ha jól sejtem, a témába vágó kérdésekkel is foglalkozott az előadó. Egyébként az előadást még én sem láttam, Laczkovich tanár urat viszont ismerem. Rendkívül jó órákat tartott valós függvénytanból, és van egy nagyon jó kis könyve is: Sejtés és bizonyítás. Mindenkinek ajánlom.

Kedves Károly! Az utolsó kérdésre válaszolok először. Azt kellene látnod, amit én a helyszínen láttam. Talán az egyetlen konkrét fogódzó a "sötétben" az, ami a helyszínen látszik. Központ, középpont Földvár. Ha állsz a vár falon és elnézel az Olton túlra a nagy hegy felé, akkor kinyújtott szinte karod elérheti Teliu-ban a nagy várat. Ez lenne Keresztvár. A pillantásod fut jobbra a hegyen és szemben veled a brassói vár látszik, tőle kissé jobbra, lent Feketehalom. A medence jobb szélén látod Höltövény várát, és a bal kezednél a Tatár vár. Barcaszentpéteren. ( Fontos! Ez a vár nem azonos az erődtemplommal! )

A nagymester, vagy a várkapitány fáklyával, tükörrel morze üzenetet válthatott a kollégákkal. Ha hiszed, ha nem, mindez látótávolságon belül van!

Ha szeretnéd látni az ábrát a térképen, akkor az általam említett térképet szerezd meg. Kb. 1400.-ft a MOL kutaknál van(?) Csak azt tedd a munka során, amit a SCARMAN-nek írtam. Semmi mást nem mérj, ne keress más ábrát, mert van, de már említeni sem merem a fórumon, mert már így is kaptam eleget....

Az én térképem Nyír-Karta & Topográf 3 nyelvű Erdély autóstérkép 1:475.000 léptékkel. Távolságok mm-ben, F - Földvár, Ny - Nyén-Keresztvár, H - Höltövény, H - Feketehalom, P - Prázsmár:

F-Ny:54; H-Ny:56; F-Ny:70; P-Ny:17; F-H:15; H-F:22

Hát ebből nekem nem jön ki szabályos 11 szög semmiféle részlete sem.

S a hiba az, hogy a térképről olvasás, nem matematikai szerkesztés, ebből nem lehet következtetni a helyek pontos koordinátájára. Attila mondta, de megerősítem, mivel van a családban geodéta, hogy a tényleges helyek nem egy síkon vannak, hanem egy képzeletbeli síkra vannak rávetítve. S ez más a régi történelmi Magyarország és más a mai Magyarország esetén is. Így a helyek nem változtak, de a térképi koordinátájuk 'torzul'. Így a geodéziai térképek sem alkalmasak egy matematikai bizonyításra.

Másrészt az autóstérképről történő leolvasásod sem pontos.

Harmadrészt egy matematikai bizonyítás éppen fordított sorrendű, mint gondolod. A logikai csapda ott van, hogy a szabályos sokszögnek tűnő ábra nem feltétlen szabályos, de a szabályosan szerkesztett valódi szabályos sokszög is szabályos sokszögnek tűnik. Anno biológiából tanultuk: 'Minden bogár rovar, de nem minden rovar bogár'.

De mindentől függetlenül leírhatnád, hogy Te melyik várakat gondolod lovagrendinek, hamár Györffynek nem hiszel.

Kedves ScarMan! Már többször leírtam a lépéseket. Megrajzoljuk az egyenes a két csúcs között. A keresztvári vár ikonja a kör középpontja. Ezzel a középponttal rajzolunk kört, aminek a sugara a Keresztvár-Feketehalom távolság. A megrajzolt kör metszi Feketehalom, és Höltövény várának ikonjait. Ha lemérjük a Feketehalom - Höltövény távolságot, és ezzel a távolsággal végig jelüljük a körívet, akkor a kör 11 egyenlő részre osztódik.

Ennél többet mondani nem tudok. Pontos, nem pontos? Döntsétek el. Azt nem értem, hogy ebben a "szerkesztésben" hol a hiba.