Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: A Goldbach-sejtésről

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1196] Maga Péter2011-02-07 14:16:22

Ez már igen! Szóval mégis találtunk neki értelmet. De kötözködöm. Igazából ez mégsem a kérdéses sor összege. A kérdéses sor összegéről észrevettük, hogy bizonyos feltételek mellett (|z|<1) megegyezik egy másik kifejezéssel, és az a másik kifejezés értelmes z=2-re is. Ettől azonban még nem lesz a sor konvergens.

Ki fogjuk (fogjátok!) találni, hogyan lesz ez a sor igazán (a konvergencia definíciójának megfelelően) konvergens!

Válaszolok Fernando-nak is, abban segítőlökök.

Előzmény: [1194] Sirpi, 2011-02-07 09:51:37
[1195] Fernando2011-02-07 13:19:05

Akkora! :) Annak a sornak nem tulajdonítok összeget (nincs értelme szorozni konstanssal, vagy levonni belőle) a késöbb említett hatványsor is csak az egységkörlapon konvergens!

Értem én a viccet, persze formálisan sok minden kijön...ha számosságokkal dolgozunk, akkor helytálló...

Előzmény: [1191] Maga Péter, 2011-02-06 20:27:35
[1194] Sirpi2011-02-07 09:51:37

Miért írtad át erre az alakra az 1+2+4+...-et? Írhatnál hozzá valamit, hogy mire akarsz kilyukadni (vagy mit akarsz kérdezni, mert ott a végén a kérdőjel).

Egyébként ha z komplex szám és |z|<1, akkor \sum_{n=0}^\infty z^n = \frac 1{1-z}

Logikus tehát, hogy minden z-re ezzel az értékkel terjesszük ki, tehát z=2-re is, ami szintén a -1-es értéket adja. Ekkor egyetlen z-re nem fogunk véges értéket rendelni az összeghez, mégpedig z=1 esetén, amikor 0-val osztunk.

Előzmény: [1193] bily71, 2011-02-07 07:02:03
[1193] bily712011-02-07 07:02:03

A=1/20+1/2-1+1/2-2+...?

Előzmény: [1191] Maga Péter, 2011-02-06 20:27:35
[1192] márton2011-02-06 20:48:15

Zilberbach 989 sz. hozzászólására még válasszal tartozom. Örömmel látom, hogy azóta az ikerprímek és a Goldbach-sejtés vizsgálata a Fórumon szépen előrehaladt. 989-hez (jelölési rendszerem eltér az előttem alkalmazottaktól!):

Nem nagy újdonság, de praktikus, hogy az egész számok sorát 6 végtelen számtani sorozatra bontsuk. Ezekből a páros természetes számok sorozatai a 998 sz. hozzászólásban vannak feltüntetve, a páratlanoké pedig:

Bn=6nB+1

Dn=6nD+3

Fn=6nF+5

ahol a sorszámok: nAnBnCnDnEnF = 0, 1, 2, ...

Ha tehát a természetes számokat az indexált sorszámok reprezentálják, kimutatható, hogy a 2 és 3 prímszámokon kívüli prímek a Bn, illetve az Fn sorozatnak azok az nBP, illetve nFP sorszámú tagjai, amelyekre:

nBP\nen=p(6n+1)+n

ahol n és p azonos előjelű egész szám, illetve

nFP\nen=p-(6n-+5)+n-

ahol n- és p- negatív egész szám, de n-\ne-1

Mindez Eratoszthenész szitájának felel meg, tehát az n és n sorszámok között ismétlődések vannak. Az ikerprímek vizsgálatához azonban ajánlható a szita módszer átalakítása fokozatos szűréssé úgy, hogy az összetett számoknak megfelelő sorszámok diszjunkt sorozatokként legyenek kiszűrhetők.

A találtak táblázatosan és grafikusan is megjeleníthetők. Mivel a 2k alakú hatványok a Cn sorozat tagjai akkor, ha k páratlan szám, és az En sorozatba tartoznak akkor, ha k páros, nyilvánvaló, hogy a 2k-1 alakú Mersenne prímek csak a Bn sorozat tagjai lehetnek.

Kimutatható, hogy a Gollbach-üstökös 993. és 1001. sz. hozzászólásban látható felső, vörös színű pászmája az An számokhoz tartozik. Ezeket összegszerűen a Bn és Fn sorozatok prím számpárjai alkotják. Ezek közé a párok közé tartoznak a 2 és 4 különbségű (I. rendű és II. rendű) ikerprímek is. A számpárok száma: nA , melyek közül a prím párok száma eredményezi a pászmaként ábrázolt függvényt.

Az üstökös zöld színű pászmája a Cn számokhoz tartozik, melyeket összegszerűen a (3; Fn-1) számpáron kívül

int[nC+2]/2

számú Bn számtani sorozatba tartozó számpár alkot.

A kék színű pászma az En számokat összegszerűen eredményező prím számpárok számának függvény-pontjai. Az összes számpár száma a (3; Bn) páron kívül

int[nE+1]/2

, melyek tagjai az Fn számtani sorozatba tartoznak.

Az erősen szóródó függvények pontjai grafikus ábrázolás során, az összetett számot tartalmazó párok (megtörő egyenesek mentén való) kihúzása után, a visszamaradó prím számpárok helyeinek megszámlálásával határozhatók meg.

Sajnos, kézzel rajzolt ábráimat egyelőre nem tudom a TeX programmal átadni, táblázataim terjedelme is túl nagy. Számomra érdekesebb eredményeimről majd a továbbiakban.

[1191] Maga Péter2011-02-06 20:27:35

De tényleg akkora nagy disznóság ez?

És ha azt mondom, hogy ha úgy vesszük, helyes? Hogy kell venni, hogy ez helyes legyen?

Előzmény: [1190] Fernando, 2011-02-06 11:40:52
[1190] Fernando2011-02-06 11:40:52

Na az efféle "disznóságok" megelőzésére jó, ha az ember ennek nem tulajdonít összeget. :)

Előzmény: [1189] Sirpi, 2011-02-06 08:30:02
[1189] Sirpi2011-02-06 08:30:02

Ha A-val jelöljük az összeget, akkor 2A=A-1 (az első tag eltűnik a felszorzás miatt), vagyis A=-1.

Előzmény: [1188] Maga Péter, 2011-02-05 19:23:41
[1188] Maga Péter2011-02-05 19:23:41

Helyes. Ez az első szintű helyes válasz. Milyen egyéb válaszok jönnek még szóba?

Előzmény: [1186] Fernando, 2011-02-05 18:56:32
[1187] bily712011-02-05 19:12:34

Tegyük fel, hogy a \sum{a_1(n)},...,\sum{a_{m}(n)} sorok közül egy tágabb értelemben konvergens, azaz hogy az \alpha1,...,\alpham számok valamelyike +\infty, vagy -\infty, ekkor \lim_{n\to\infty}B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s'_k}n=\frac{\alpha_1+...+\infty+...+\alpha_m}m=+\infty=\sum_{n=0}^{\infty}b_n, vagy \lim_{n\to\infty}B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s'_k}n=\frac{\alpha_1+...+(-\infty)+...+\alpha_m}m=-\infty=\sum_{n=0}^{\infty}b_n.

Ha \sum{a_1(n)},...,\sum{a_{m}(n)} sorok közül egynél több, mondjuk l darab tágabb értelemben vett konvergens van és ezek határértéke megegyezik, akkor \lim_{n\to\infty}B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s'_k}n=\frac{\alpha_1+...+l(+\infty)+...+\alpha_m}m=+\infty=\sum_{n=0}^{\infty}b_n, vagy \lim_{n\to\infty}B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s'_k}n=\frac{\alpha_1+...+l(-\infty)+...+\alpha_m}m=-\infty=\sum_{n=0}^{\infty}b_n.

Ha \sum{a_1(n)},...,\sum{a_{m}(n)} sorok közül egynél több tágabb értelemben vett konvergens van és ezek határértéke különböző, mondjuk j darabnak +\infty és l darabnak -\infty a határértéke, akkor \lim_{n\to\infty}B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s'_k}n=\frac{\alpha_1+...+j(+\infty)+l(-\infty)+...+\alpha_m}m. A nevezőben lévő l(+\infty)+j(-\infty)=+\infty-\infty tag határozatlansági eset, ezért ebben az esetben a \sum_{n=0}^{\infty}{b_n} összeget nem értelmezzük.

De az is lehet, hogy az egészből semmi nem igaz :) Vagy mégis?

Előzmény: [1185] bily71, 2011-02-05 14:46:10
[1186] Fernando2011-02-05 18:56:32

Ennek a sornak én nem tulajdonítok összeget. (megj.: nálam a végtelenbe tartó sorozat divergens)

Előzmény: [1182] Maga Péter, 2011-02-05 12:06:49
[1185] bily712011-02-05 14:46:10

Javítás:

"Tegyük fel, hogy van tetszőleges sok, mondjuk m darab fenti tulajdonságú sorunk: \sum{a_1(n),...,\sum{a_m(n)}}."

...

"Legyen b(n) a fenti m darab sorozat, azaz a1(n),...,am(n) egy egyösszefésült sorozata..."

Előzmény: [1184] bily71, 2011-02-05 13:58:17
[1184] bily712011-02-05 13:58:17

Legyen az általad említett sor \sum{a(n)} konvergens R-ben és A_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s_k}n, ahol sk=a0+...+ak-1, ekkor \lim_{n\to\infty}A_n=\sum_{n=0}^{\infty}a_n.

Tegyük fel, hogy van tetszőleges sok, mondjuk m darab fenti tulajdonságú sorunk.

Legyen \lim_{n\to\infty}A_{n,1}=\alpha_1, ..., \lim_{n\to\infty}A_{n,m}=\alpha_m.

Legyen b(n) a fenti a m darab sor részletösszeg sorozatainak egy egyösszefésült sorozata és legyen B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s_k}n, ahol s'k=b0+...+bk-1, ekkor a Cesaro-szumma: \lim_{n\to\infty}B_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}s'_k}n=\frac{\sum_{i=1}^m\alpha_i}m=\sum_{n=0}^{\infty}b_n, vagyis a sor összege egyenlő a részletösszegek sorozatának összes konvergens részsorazatainak a határértékeinek a számtani közepével, tehát nem az alsó és felső határértékeinek a számtani közepével, az állításomat ennyiben pontosítanám. Lehet, hogy nem jó amit írtam, de nézzétek el nekem, az analízisnek még nagyon az elején tartok.

Előzmény: [1176] Maga Péter, 2011-02-04 22:35:22
[1183] Maga Péter2011-02-05 12:11:15

Illetve egy érdekes feladat erről:

Mennyi az 1+2+4+8+16+... sor összege?

Előzmény: [1182] Maga Péter, 2011-02-05 12:06:49
[1182] Maga Péter2011-02-05 12:06:49

Szigorú értelemben véve nem a terminológiától, hanem a tértől függ.

Például az 1-2+3-4+5-6+... sor

- R-ben divergens;

- \overline{\bf{R}}-ban még mindig divergens (ahol a lezáráson a +\infty,-\infty hozzávételét értem);

- \overline{\bf{C}}-ban konvergens, az összege \infty.

Előzmény: [1178] Fernando, 2011-02-05 08:45:23
[1181] bily712011-02-05 09:04:57

Ezeket a fogalmakat még nem tanultuk, átgondolom amiket írtál.

Előzmény: [1176] Maga Péter, 2011-02-04 22:35:22
[1180] bily712011-02-05 09:02:48

Igen, ez Leibniz gondolatmenete, mi még csak egy ilyen sort, az általam említetett, vettünk.

Előzmény: [1179] Fernando, 2011-02-05 08:48:59
[1179] Fernando2011-02-05 08:48:59

Itt azt hiszem, hogy Leibniz gondolatmenetét írta le Billy, valóban sikamlós ilyen formában, de a Fejér-féle összegzés is ezt adja. Az analízis meg gondolom Billynek is 6 vagy több féléves, az első félévben könnyen lehet, hogy nem voltak sorok.

Előzmény: [1174] Róbert Gida, 2011-02-04 17:02:08
[1178] Fernando2011-02-05 08:45:23

Hogyan is?

Lehet, hogy ez függ a terminológiától is.

Előzmény: [1171] Róbert Gida, 2011-02-04 14:53:37
[1177] SAMBUCA2011-02-05 01:20:18

:D

[1176] Maga Péter2011-02-04 22:35:22

Erről szó nincs!

Van persze számtani közép a dologban. Veszed az első k tag alkotta részletösszegeket, legyen ez sk=a0+...+ak-1. A konkrét esetben ez 1, ha k páratlan, 0, ha k páros. Ezután veszed a részletösszegek számtani közepe alkotta

A_n=\frac{\sum_{k=1}^n s_k}{n}

sorozatot. Majd veszed \lim_{n\rightarrow\infty}A_n-t, és ha ez létezik, ezt hívod az eredeti \sum_{n=0}^{\infty} a_n sorozat Cesaro-szummájának. Nem nehéz belátni, hogy konvergens sorok esetében a sor összege és Cesaro-szummája megegyezik, de valóban új fogalom (kiterjesztés), \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n-nek például 1/2 lesz a Cesaro-szummája. Ennek persze nem sok köze van az alsó és felső határérték számtani közepéhez.

Lehet újabb és újabb átlagolást venni, magasabb rendű Cesaro-szummákat kapva, egyre bővebb sorösszeg-értelmezéssel.

Még bővebb azonban az Abel-szumma fogalma, ami a következőképpen alakul. Elkészíted a sorozat tagjaiból, mint együtthatókból álló hatványsort, mondjuk x határozatlannal. Tegyük fel, hogy ez minden 0\leqx<1-re konvergens, és amit előállít, annak van határértéke, amint x\rightarrow1-. Ekkor ez a határérték lesz a sorozat Abel-szummája. A konkrét esetben ez

\lim_{x\rightarrow 1-}(1-x+x^2-x^3+x^4-...)=\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}.

Persze a (bizonyos feltételek mellett) lehető legáltalánosabb értelmes konvergeniafogalom a Banach-limesz, ez már nem is egyértelmű (bizonyos sorokra persze igen, például konvergensekre a sima határértéket adja vissza). Ez már funkcionálanalízis és a Hahn-Banach-tétel egyik legelemibb, mégis nagyon érdekes alkalmazása.

Előzmény: [1173] bily71, 2011-02-04 15:13:51
[1175] Tóbi2011-02-04 22:06:17

"Ebben az esetben a részletösszegek sorozatának van alsó és felső határértéke és vesszük ezek számtani közepét, az lesz a sor összege." Ezt honnan szedted?

Előzmény: [1173] bily71, 2011-02-04 15:13:51
[1174] Róbert Gida2011-02-04 17:02:08

Te viszont hozzászólásoddal mondtál sok újat. Analízisre komolyabban feküdjél rá, amúgy is több féléves tárgy.

Előzmény: [1173] bily71, 2011-02-04 15:13:51
[1173] bily712011-02-04 15:13:51

Igen, pl.: \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n=1/2. Ebben az esetben a részletösszegek sorozatának van alsó és felső határértéke és vesszük ezek számtani közepét, az lesz a sor összege. Az \sum{f'''(n)} sornak azomban nincs alsó és felső határértéke. Ezzel nem mondtál újat.

Előzmény: [1171] Róbert Gida, 2011-02-04 14:53:37
[1172] Róbert Gida2011-02-04 14:56:54

1108-as hozzászólásod volt az.

Előzmény: [1166] Maga Péter, 2011-02-04 10:39:09

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]