[1196] Maga Péter | 2011-02-07 14:16:22 |
Ez már igen! Szóval mégis találtunk neki értelmet. De kötözködöm. Igazából ez mégsem a kérdéses sor összege. A kérdéses sor összegéről észrevettük, hogy bizonyos feltételek mellett (|z|<1) megegyezik egy másik kifejezéssel, és az a másik kifejezés értelmes z=2-re is. Ettől azonban még nem lesz a sor konvergens.
Ki fogjuk (fogjátok!) találni, hogyan lesz ez a sor igazán (a konvergencia definíciójának megfelelően) konvergens!
Válaszolok Fernando-nak is, abban segítőlökök.
|
Előzmény: [1194] Sirpi, 2011-02-07 09:51:37 |
|
[1195] Fernando | 2011-02-07 13:19:05 |
Akkora! :) Annak a sornak nem tulajdonítok összeget (nincs értelme szorozni konstanssal, vagy levonni belőle) a késöbb említett hatványsor is csak az egységkörlapon konvergens!
Értem én a viccet, persze formálisan sok minden kijön...ha számosságokkal dolgozunk, akkor helytálló...
|
Előzmény: [1191] Maga Péter, 2011-02-06 20:27:35 |
|
[1194] Sirpi | 2011-02-07 09:51:37 |
Miért írtad át erre az alakra az 1+2+4+...-et? Írhatnál hozzá valamit, hogy mire akarsz kilyukadni (vagy mit akarsz kérdezni, mert ott a végén a kérdőjel).
Egyébként ha z komplex szám és |z|<1, akkor
Logikus tehát, hogy minden z-re ezzel az értékkel terjesszük ki, tehát z=2-re is, ami szintén a -1-es értéket adja. Ekkor egyetlen z-re nem fogunk véges értéket rendelni az összeghez, mégpedig z=1 esetén, amikor 0-val osztunk.
|
Előzmény: [1193] bily71, 2011-02-07 07:02:03 |
|
|
[1192] márton | 2011-02-06 20:48:15 |
Zilberbach 989 sz. hozzászólására még válasszal tartozom. Örömmel látom, hogy azóta az ikerprímek és a Goldbach-sejtés vizsgálata a Fórumon szépen előrehaladt. 989-hez (jelölési rendszerem eltér az előttem alkalmazottaktól!):
Nem nagy újdonság, de praktikus, hogy az egész számok sorát 6 végtelen számtani sorozatra bontsuk. Ezekből a páros természetes számok sorozatai a 998 sz. hozzászólásban vannak feltüntetve, a páratlanoké pedig:
Bn=6nB+1
Dn=6nD+3
Fn=6nF+5
ahol a sorszámok: nA, nB, nC, nD, nE, nF = 0, 1, 2, ...
Ha tehát a természetes számokat az indexált sorszámok reprezentálják, kimutatható, hogy a 2 és 3 prímszámokon kívüli prímek a Bn, illetve az Fn sorozatnak azok az nBP, illetve nFP sorszámú tagjai, amelyekre:
nBPnBÖ=p(6n+1)+n
ahol n és p azonos előjelű egész szám, illetve
nFPnFÖ=p-(6n-+5)+n-
ahol n- és p- negatív egész szám, de n--1
Mindez Eratoszthenész szitájának felel meg, tehát az nBÖ és nFÖ sorszámok között ismétlődések vannak. Az ikerprímek vizsgálatához azonban ajánlható a szita módszer átalakítása fokozatos szűréssé úgy, hogy az összetett számoknak megfelelő sorszámok diszjunkt sorozatokként legyenek kiszűrhetők.
A találtak táblázatosan és grafikusan is megjeleníthetők. Mivel a 2k alakú hatványok a Cn sorozat tagjai akkor, ha k páratlan szám, és az En sorozatba tartoznak akkor, ha k páros, nyilvánvaló, hogy a 2k-1 alakú Mersenne prímek csak a Bn sorozat tagjai lehetnek.
Kimutatható, hogy a Gollbach-üstökös 993. és 1001. sz. hozzászólásban látható felső, vörös színű pászmája az An számokhoz tartozik. Ezeket összegszerűen a Bn és Fn sorozatok prím számpárjai alkotják. Ezek közé a párok közé tartoznak a 2 és 4 különbségű (I. rendű és II. rendű) ikerprímek is. A számpárok száma: nA , melyek közül a prím párok száma eredményezi a pászmaként ábrázolt függvényt.
Az üstökös zöld színű pászmája a Cn számokhoz tartozik, melyeket összegszerűen a (3; Fn-1) számpáron kívül
int[nC+2]/2
számú Bn számtani sorozatba tartozó számpár alkot.
A kék színű pászma az En számokat összegszerűen eredményező prím számpárok számának függvény-pontjai. Az összes számpár száma a (3; Bn) páron kívül
int[nE+1]/2
, melyek tagjai az Fn számtani sorozatba tartoznak.
Az erősen szóródó függvények pontjai grafikus ábrázolás során, az összetett számot tartalmazó párok (megtörő egyenesek mentén való) kihúzása után, a visszamaradó prím számpárok helyeinek megszámlálásával határozhatók meg.
Sajnos, kézzel rajzolt ábráimat egyelőre nem tudom a TeX programmal átadni, táblázataim terjedelme is túl nagy. Számomra érdekesebb eredményeimről majd a továbbiakban.
|
|
|
|
|
|
[1187] bily71 | 2011-02-05 19:12:34 |
Tegyük fel, hogy a sorok közül egy tágabb értelemben konvergens, azaz hogy az 1,...,m számok valamelyike +, vagy -, ekkor , vagy .
Ha sorok közül egynél több, mondjuk l darab tágabb értelemben vett konvergens van és ezek határértéke megegyezik, akkor , vagy .
Ha sorok közül egynél több tágabb értelemben vett konvergens van és ezek határértéke különböző, mondjuk j darabnak + és l darabnak - a határértéke, akkor . A nevezőben lévő l(+)+j(-)=+- tag határozatlansági eset, ezért ebben az esetben a összeget nem értelmezzük.
De az is lehet, hogy az egészből semmi nem igaz :) Vagy mégis?
|
Előzmény: [1185] bily71, 2011-02-05 14:46:10 |
|
|
[1185] bily71 | 2011-02-05 14:46:10 |
Javítás:
"Tegyük fel, hogy van tetszőleges sok, mondjuk m darab fenti tulajdonságú sorunk: ."
...
"Legyen b(n) a fenti m darab sorozat, azaz a1(n),...,am(n) egy egyösszefésült sorozata..."
|
Előzmény: [1184] bily71, 2011-02-05 13:58:17 |
|
[1184] bily71 | 2011-02-05 13:58:17 |
Legyen az általad említett sor konvergens R-ben és , ahol sk=a0+...+ak-1, ekkor .
Tegyük fel, hogy van tetszőleges sok, mondjuk m darab fenti tulajdonságú sorunk.
Legyen .
Legyen b(n) a fenti a m darab sor részletösszeg sorozatainak egy egyösszefésült sorozata és legyen , ahol s'k=b0+...+bk-1, ekkor a Cesaro-szumma: , vagyis a sor összege egyenlő a részletösszegek sorozatának összes konvergens részsorazatainak a határértékeinek a számtani közepével, tehát nem az alsó és felső határértékeinek a számtani közepével, az állításomat ennyiben pontosítanám. Lehet, hogy nem jó amit írtam, de nézzétek el nekem, az analízisnek még nagyon az elején tartok.
|
Előzmény: [1176] Maga Péter, 2011-02-04 22:35:22 |
|
|
[1182] Maga Péter | 2011-02-05 12:06:49 |
Szigorú értelemben véve nem a terminológiától, hanem a tértől függ.
Például az 1-2+3-4+5-6+... sor
- R-ben divergens;
- -ban még mindig divergens (ahol a lezáráson a +,- hozzávételét értem);
- -ban konvergens, az összege .
|
Előzmény: [1178] Fernando, 2011-02-05 08:45:23 |
|
|
|
[1179] Fernando | 2011-02-05 08:48:59 |
Itt azt hiszem, hogy Leibniz gondolatmenetét írta le Billy, valóban sikamlós ilyen formában, de a Fejér-féle összegzés is ezt adja. Az analízis meg gondolom Billynek is 6 vagy több féléves, az első félévben könnyen lehet, hogy nem voltak sorok.
|
Előzmény: [1174] Róbert Gida, 2011-02-04 17:02:08 |
|
|
|
[1176] Maga Péter | 2011-02-04 22:35:22 |
Erről szó nincs!
Van persze számtani közép a dologban. Veszed az első k tag alkotta részletösszegeket, legyen ez sk=a0+...+ak-1. A konkrét esetben ez 1, ha k páratlan, 0, ha k páros. Ezután veszed a részletösszegek számtani közepe alkotta
sorozatot. Majd veszed -t, és ha ez létezik, ezt hívod az eredeti sorozat Cesaro-szummájának. Nem nehéz belátni, hogy konvergens sorok esetében a sor összege és Cesaro-szummája megegyezik, de valóban új fogalom (kiterjesztés), -nek például 1/2 lesz a Cesaro-szummája. Ennek persze nem sok köze van az alsó és felső határérték számtani közepéhez.
Lehet újabb és újabb átlagolást venni, magasabb rendű Cesaro-szummákat kapva, egyre bővebb sorösszeg-értelmezéssel.
Még bővebb azonban az Abel-szumma fogalma, ami a következőképpen alakul. Elkészíted a sorozat tagjaiból, mint együtthatókból álló hatványsort, mondjuk x határozatlannal. Tegyük fel, hogy ez minden 0x<1-re konvergens, és amit előállít, annak van határértéke, amint x1-. Ekkor ez a határérték lesz a sorozat Abel-szummája. A konkrét esetben ez
Persze a (bizonyos feltételek mellett) lehető legáltalánosabb értelmes konvergeniafogalom a Banach-limesz, ez már nem is egyértelmű (bizonyos sorokra persze igen, például konvergensekre a sima határértéket adja vissza). Ez már funkcionálanalízis és a Hahn-Banach-tétel egyik legelemibb, mégis nagyon érdekes alkalmazása.
|
Előzmény: [1173] bily71, 2011-02-04 15:13:51 |
|
[1175] Tóbi | 2011-02-04 22:06:17 |
"Ebben az esetben a részletösszegek sorozatának van alsó és felső határértéke és vesszük ezek számtani közepét, az lesz a sor összege." Ezt honnan szedted?
|
Előzmény: [1173] bily71, 2011-02-04 15:13:51 |
|
|
|
|