Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Tom és Jerry

  [1]    [2]    [3]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[10] Kós Géza2003-11-12 14:26:51

Szia Péter,

Köszi a számolást.

Örülök, hogy nem csak egy- vagy kétszemélyes lesz ez a téma. Hívjátok meg Tihamért is. :-)

Létezik Apolloniusz-kört használó elemi megoldás is, amiben semmi számolás sincs, a \sin\varphi=\frac1p öszefüggést egy derékszögű háromszögből lehet a végén leolvasni. (Az ilyen megoldásokat jó sport megkeresni.) Sajnos ebben az esetben az elemi megoldás terjedelme sem versenyezhet a deriválással.

Előzmény: [9] Pach Péter Pál, 2003-11-11 23:49:12
[9] Pach Péter Pál2003-11-11 23:49:12

Alternatív megoldási lehetőség az első Tom és Jerrys feladatra:

Onnan folytatjuk másképpen, hogy TQ+\tg\varphi-\frac{p}{\cos\varphi}-t szeretnénk maximalizálni. TQ konstans, így nem foglalkozunk vele. Legyen \tg\varphi-\frac{p}{\cos\varphi} maximuma A:

\tg\varphi-\frac{p}{\cos\varphi}\le A

Mivel \varphi hegyesszög, ezért cos \varphi pozitív, így átszorzás után:

sin \varphi-p\leAcos \varphi

Innen gyors átalakítás után:

\frac{1}{\sqrt{1+A^2}}\sin\varphi - \frac{A}{\sqrt{1+A^2}}\cos\varphi \le \frac{p}{\sqrt{1+A^2}}

Észrevesszük, hogy a jobboldalon az 1-nek kell állnia, innen A éppen -\sqrt{p^2-1}, ugyanis A nyilvánvalóan negatív (legalábbis nem pozitív: p=1 esetén lehet 0 is).

Beírva A=-\sqrt{p^2-1}-t:

\frac{1}{p}\sin\varphi+\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\cos\varphi\le 1

Legyen \alpha olyan szög, hogy: \cos\alpha=\frac{1}{p} és \sin\alpha=\frac{\sqrt{p^2-1}}{p} teljesüljön. Az addíciós tétel alapján a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban teljesül:

\frac{1}{p}\sin\varphi+\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\cos\varphi=\cos\alpha \sin\varphi+\sin\alpha \cos\varphi=\sin (\alpha +\varphi)\le 1

Egyenlőség akkor van, ha \alpha+\varphi=90o. De \cos\alpha=\frac1 {p}, így valóban \sin\varphi=\frac1 {p}. Ezzel bizonyítottuk, hogy \sin\varphi=\frac1p teljesül a keresett \varphi szögre.

Megjegyezzük, hogy csak az 1\lep esetet vizsgáltuk. Ha ez nem teljesül, vagyis Jerry gyorsabban úszik, mint Tom fut, akkor Jerry tetszőlegesen nagy előnyre szert tehet.

Előzmény: [3] Kós Géza, 2003-11-06 13:36:07
[8] Kós Géza2003-11-10 19:20:18

Az ábra lemaradt...

Előzmény: [7] Kós Géza, 2003-11-10 19:19:18
[7] Kós Géza2003-11-10 19:19:18

Sajnos tényleg az a természetes, hogy az ember nekiesik és derivál... Szívesebben látnék deriválás nélküli számolást vagy akár elemi geometriai megfontolást, de ezek tényleg tovább tartanak.

A lényeg: az a legjobb \varphi, amelyre \sin\varphi=\frac1p.

* * *

Jöjjön a második feladat. Ez inkább csak érdekesség, nem lesz rá szükség sem a klasszikus, sem a négyzetes változatban sem.

A medence most negyedsík alakú. Jerry a vízben úszkál, miközben Tom észrevétlenül a partra oson, és ott elfoglal egy általa kiválasztott pontot.

A feladat: találjuk meg azt a p0 számot, amire a következő két állítás igaz.

a) Ha p<p0, akkor Jerrynek van nyerő stratégiája, azaz akárhonnan is indul Tom és akármilyen taktikát is követ, Jerry ki tud úszni a partra úgy, hogy Tom ne kapja el.

b) Ha p\gep0, akkor Tomnak van nyerő stratégiája, azaz Tom tud olyan kiinduló pontot és olyan taktikát választani, hogy akárhogyan is úszik ki Jerry a partra, Tom elkapja.

Előzmény: [4] Rácz Béla, 2003-11-09 02:01:51
[6] Kós Géza2003-11-09 19:55:53

A megldás először itt fog megjelenni. Talán majd egyszer a lapban is.

Előzmény: [5] Rácz Béla, 2003-11-09 02:06:39
[5] Rácz Béla2003-11-09 02:06:39

> Az A.320-as feladat túl nehéz volt, de azért nem teljesen megoldhatatlan. :-)

Sikerült megoldani????? Akkor ugye meg fog jelenni a novemberi újságban?

Előzmény: [1] Kós Géza, 2003-11-06 11:35:37
[4] Rácz Béla2003-11-09 02:01:51

(Sajnos nem tudok szépen írni.)

Legyen Q a J-nek a vetületi pontja. Legyen a JQ távolság az egységnyi távolság, illetve Jerry sebessége az egységnyi sebesség.

Ekkor Jerry a JP szakaszt 1/cos(fi) idő alatt teszi meg, ezalatt Tom p/cos(fi) -nyit halad a parton.

TQ + tg(fi) - p/cos(fi)-t szeretnénk maximálni, mert ennyi lesz a két figura távolsága, mikor Jerry partot ér.

Ehhez megdaráljuk a kifejezést: 1/cos2(fi) * (1 - p*sin(fi)). Amíg sin(fi) <= 1/p, a kifejezés nő, utána csökken. Tehát értéke sin(fi) = 1/p-nél maximális, ezt érdemes Jerrynek választania.

Előzmény: [3] Kós Géza, 2003-11-06 13:36:07
[3] Kós Géza2003-11-06 13:36:07

Jöjjön hát az első feladat.

Legyen a medence most félsík alakú, és Tom még biztos távolságban, az ábra szerint. Jerry kiválaszt a parton egy P pontot, és elkezd felé úszni. Tom szintén teljes sebességgel rohan. Versenyükben nem csak az számít, hogy ki ér oda előbb, hanem az is számít, hony mennyivel előbb ér oda.

A kérdés tehát: Melyik P pontot válassza Jerry, avagy melyik az a varphi szög, amire az odaéréshez szükséges idők különbsége a legnagyobb?

[2] Kós Géza2003-11-06 12:01:46
[1] Kós Géza2003-11-06 11:35:37

A tavalyi pontversenyben szerepelt két olyan feladat, amikor a vízben úszkáló egyik szereplőt a parton várja az ellenség, és azt kell megvizsgálni, hogy milyen sebességarányok esetén tud megmenekülni. A könnyebbik változat a B-versenyben jelent meg, a nehezebb változat az A-ban:

A. 320. A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont p-szer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. A p szám milyen értékei esetén tud Jerry - Tom tetszőleges stratégiája esetén - megmenekülni?

A feladat klasszikus változatában, amit több könyvben is meg lehet találni, a medence kör alakú. Ez egyszerűbbé teszi a feladatot, mert a vízpart pontjai teljesen egyenértékűek.

Az A.320-as feladat túl nehéz volt, de azért nem teljesen megoldhatatlan. :-) A klasszikus feladat megoldása, vagy legalább a megoldás elolvasása és végiggondolása az A.320. megoldásában sokat segít, Tom és Jerry legjobb stratégiája is nagyon hasonló.

* * *

Itt megbeszélhetnénk a klasszikus feladat, az A.320. és még néhány egyszerűbb változat megoldásának a lépéseit, építőköveit. Én mindig el fogom mondani az aktuális részproblémát, és aki megoldotta, leírhatja a megoldást.

  [1]    [2]    [3]