Fórum: Tom és Jerry

[1] [2] [3]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

2003-11-29 22:30:45

Szia Péter,

Bocs` a hosszú csendért...

A megoldásod jó, a következő napokban megpróbálom még egyszer összefoglalni, és ábrákat rajzolni hozzá.

A legfontosabb hiányzó információ az eredmény numerikus közelítése. A megoldásból kiolvasható, hogy a $\varphi$ szög és a p₀ szám a

$\varphi+\ctg\varphi=\frac32\pi,$

illetve

$p_0\cos\sqrt{p_0^2-1}=-1$

egyenlet megoldása, közelítőleg

$\varphi$ $\approx$ 12,55^o, p₀ $\approx$ 4,6033.

Előzmény: [34] Pach Péter Pál, 2003-11-26 22:36:49

[34] Pach Péter Pál

2003-11-26 22:36:49

A Viasat 3-on és a Sat 1-en, mindkettőn a Stuttgart-Glasgow Rangers. Egyébként a Stuttgart nyert 1:0-ra Wenzel góljával. A Viasat 3-on még lesz egy részletes összefoglaló az Ajax-Milan meccsről.

Térjünk vissza a feladathoz! Folytassuk Jerry stratégiájával! (Most p<p₀.) Jerry stratégiája azért lesz kicsit bonyolultabb, mert mindenre fel kell készülnie, arra is, hogy Tom nem indul el rögtön, amint ő elhagyja k-t, arra is, hogy esetleg többször irányt változtat, …

Legyen $\varepsilon$ olyan kicsi, hogy még $\pi +Arc\cos\frac1p -\varepsilon>\sqrt{p^2-1}$ is teljesüljön. Először is Jerry elhelyezkedik a k kör Tommal átellenes pontjában. Ha Jerry k érintőjén futna ki, (Tom pedig a hosszabb utat választaná,) akkor az elején még pihenhetne addig, amíg TKJ $\angle$ = $\pi$ - $\varepsilon$ nem lesz. Ezért amíg TKJ $\angle$ $\ge$ $\pi$ - $\varepsilon$ , addig Jerry egyszerűen elindul a KJ sugáron kifelé. Amint TKJ $\angle$ $\le$ $\pi$ - $\varepsilon$ lesz, Jerry a k körhöz húzott érintőn folytatja útját, szintén kifelé. (Azon, amelyik a partot Tom pillanatnyi helyzetétől távolabbi pontban metszi.) Könnyen végiggondolhatjuk, hogy Tom irányváltoztatásai Jerry számára még kedvezőbbé teszik a helyzetet. Az is igaz, hogyha Jerry ezt a stratégiát követi, akkor korlátos időn belül kiér a partra. (K-tól minden pillanatban maximális sebességének legalább cos $\varphi$ -szeresével távolodik, ahol $\varphi$ az a bizonyos ideális szög. Vagyis $\cos\varphi =\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}$ .) Ezért p₀ definíciója miatt Jerry biztonságban kiér a partra.

Ezzel megoldottuk a klasszikus feladatot.

Előzmény: [33] Rácz Béla, 2003-11-26 21:03:48

[33] Rácz Béla

2003-11-26 21:03:48

Le vagyok nyűgözve.

Peti, melyik adón megy meccs?

Géza, ne búsulj: lehet, hogy nem vagyok aktív résztvevője a Tom és Jerrynek, de legalább elvégeztem a TeX gyorstalpalót! És nagy érdeklődéssel olvasom a megoldásokat!

[32] Pach Péter Pál

2003-11-26 20:48:55

Képzeljük azt, hogy Tom valamilyen okból, (pl. mert már megoldotta a feladatot és nem akarja Jerryt irányváltoztatásra kényszeríteni) a hosszabbik úton indul el ahhoz a ponthoz, ahol Jerry várhatóan partot fog érni. Tomnak eddig a pontig $\pi +Arc\cos\frac1p$ , Jerrynek pedig $\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}$ utat kell megtennie. Azt állítjuk, hogy az általunk keresett kritikus p₀ érték esetén éppen egyszerre érkeznek oda:

$\pi +Arc\cos\frac1p_0 =\sqrt{p_0^2-1}$

Végiggondolhatjuk, hogyha p ennél nagyobb, akkor Tom ér előbb oda, ha pedig p ennél kisebb, akkor Jerry. Egyébként p₀ $\approx$ 4,603. Két dolgot kell bizonyítani, azt hogy p<p₀ esetén Jerry ki tud jutni a partra, illetve azt, hogy p $\geq$ p₀ esetén Tom ezt meg tudja akadályozni.

Kezdjük az utóbbival!

Jerry és Tom távolságát jellemezzük JKT $\angle$ -gel.

Tom stratégiája eléggé egyszerű: abban a pillanatban, hogy Jerry eléri a K körüli p^-1 sugarú k kört, elindul felé olyan irányban, hogy TKJ $\angle$ csökkenjen. Amikor Jerry már a k körön kívül van, kisebb a szögsebessége, így TKJ $\angle$ csökken. Amennyiben TKJ $\angle$ nullává válik, Tom fenntartja ezt a helyzetet, egészen addig, amíg Jerry partot ér. (Ezt meg tudja tenni, hiszen nagyobb a szögsebessége.) Ha Jerry közben visszatér k-ba, Tom megáll és vár, hiszen úgysem tud mit tenni. De Jerrynek előbb-utóbb meg kell próbálkozni egy végső kiúszással. A továbbiakban onnantól figyeljük a történteket, ahonnan Jerry már nem tér vissza k belsejébe. Azt állítjuk, hogy a partnak minden egyes pontjához előbb ér oda Tom, mint Jerry. (Esetleg éppen egyszerre vele.) Először azt az esetet nézzük meg, amikor a part egy olyan pontját szemeli ki magának, amivel olyan egyenes szakasz köti össze, ami nem metsze bele k-ba. Az előző feladatban beláttuk, hogy Jerry számára az az ideális, amikor kérintője mentén úszik ki. De p₀ definíciója következtében még ilyenkor sem ér ki előbb, mint Tom. (A többi esetben Tom még előbb lenullázza TKJ $\angle$ -et.)

Az is lehet, hogy Jerry egy kicsit „köröz”, esetleg csigavonalszerűen úszik ki a partra. Ilyenkor a Jerry számára minimális úthosszt úgy kapjuk, hogy egy ívet k-n fut (esetleg többször is körbefut k körvonalán), utána pedig érintőirányban kiúszik a partra. De Tom és Jerry szögsebessége megegyezik, így együtt „köröznek”, utána pedig már az előbb elmondottak érvényesek.

Elkezdődött a focimeccs a TV-ben, úgyhogy a másik részt csak később írom le. (Esetleg a szünetben…)

Előzmény: [31] Kós Géza, 2003-11-24 19:09:43

[31] Kós Géza

2003-11-24 19:09:43

Jöjjön a klasszikus feladat megoldása.

A $\sin\varphi=\frac1p$ eredménynek van egy nagyon fontos geometriai jelentése. Az ilyen irányú egyenes érinti a K körüli, 1/p sugarú kört. Ez a kör pedig arról nevezetes, hogy a kerületén Jerry éppen olyan szögsebességgel tud úszni, mint amilyennel Tom a parton fut.

Tételezzük fel, hogy Jerry egy 1/p-nél kisebb sugarú körön úszik körbe. Ezen a körön Jerry szögsebessége mindig nagyobb, mint Tom szögsebessége, Jerry ezért elérheti, hogy éppen Tommal ellentétes oldalon legyen. Mindezt persze Tom is nagyon jól tudja. Tom tehát egy helyben áll, és csak akkor mozdul meg, ha $JK\ge\frac1p$ ...

Mi történik ezután?

[30] Kós Géza	2003-11-24 18:54:05
Nem baj, először mindig bonyolultabban oldjuk meg a feladatokat, aztán kihagyjuk a fölösleges kerülőket. :-)
Előzmény: [29] Pach Péter Pál, 2003-11-24 18:33:29

[29] Pach Péter Pál	2003-11-24 18:33:29
Tényleg jól elbonyolítottam...

[28] Kós Géza	2003-11-24 11:07:50
A számolás egyszerűbben is megy, ha tudjuk, hogy a sin $\varphi$ a kérdés. Legyen a kör sugara 1, Jerry sebessége 1, Tom sebessége p. Azt az $\alpha$ szöget kell megtalálnunk, amire $f(\alpha)=\frac{\alpha}{p}-JP$ minimális. A koszinusz-tételből $f(\alpha)=\frac{\alpha}{p}-JP= \frac{\alpha}{p}-\sqrt{1+x^2-2x\cos\alpha},$ és, a szinusz-tételt is felhasználva, $f'(\alpha)= \frac1p-\frac{x\sin\alpha}{\sqrt{1+x^2-2x\cos\alpha}}= \frac1p-\frac{x\sin\alpha}{JP}=\frac1p-\sin\varphi.$ A korábbi képletekből látszik jobban, hogy csak $x\ge\frac1p$ esetén kapunk értelmes eredményt.

Előzmény: [26] Pach Péter Pál, 2003-11-23 23:15:41

[27] Pach Péter Pál	2003-11-23 23:22:20
Még valami. [25]-ben hátulról a 8. sor helyesen: "Tehát a Jerry számára ideális szög $\varphi =Arc\ctg\sqrt{p^2-1}$ ."
Előzmény: [25] Pach Péter Pál, 2003-11-23 18:55:25

[26] Pach Péter Pál	2003-11-23 23:15:41
Elfelejtettem odaírni, hogy $\ctg\varphi =\sqrt{{p^2}-1}$ -ből $\frac1{\sin^2\varphi} =1+\ctg^2\varphi=p^2$ , vagyis az ideális $\varphi$ szögre $\sin\varphi =\frac1p$ és Jerry ilyen szöggel akkor tud kiúszni a partra, ha attól való távolsága legfeljebb $1-\frac1p$ . Úgy látszik mindig kihagyok valamit... :-)

[25] Pach Péter Pál

2003-11-23 18:55:25

A kört vegyük egységsugarúnak! A [20]-[22]-[23] hozzászólások jelöléseit fogjuk használni. Képzeljük azt, hogy Tom kezdetben abban a pontban van, ahol a KJ félegyenes metszi a kört. (Az időkülönbséget konstanssal toltuk el.) Tomnak $\alpha$ , Jerrynek pedig $JP=\sqrt{x^2+1-2x\cos\alpha}$ távol távolságot kell megtennie P-ig. (KJP háromszögben JP-re koszinusztételt írtunk fel.) Így $\frac{\alpha}{p}-\frac{\sqrt{x^2+1-2x\cos\alpha}}{1}$ kifejezést akarjuk maximalizálni. A függvény p-szeresének (konstansszorosának) deriváltja $1-\frac{px\sin\alpha}{\sqrt{x^2+1-2x\cos\alpha}}$ . A $1-\frac{px\sin\alpha}{\sqrt{x^2+1-2x\cos\alpha}}=0$ egyenletet megoldva:

$1-\frac{px\sin\alpha}{\sqrt{x^2+1-2x\cos\alpha}}=0$

x²+1-2xcos $\alpha$ =p²x²sin² $\alpha$ =p²x²-p²x²cos² $\alpha$

A cos $\alpha$ -ban másodfokú egyenlet általunk keresett megoldása az egyszerűsítések után a [22]-ben már említett:

$\cos\alpha =\frac{1+\sqrt{(p^2-1)({p^2}{x^2-1})}}{{p^2}x}$

KJP háromszögben felírt szinusztételből: $\frac{\sin{(\alpha +\varphi)}}{\sin\varphi}=\frac1x$ , amiből $\ctg\varphi =\frac{\frac1x -\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .

Először számoljuk ki sin $\alpha$ -t:

$\sin\alpha =\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}=…=\frac{\sqrt{-2+{p^2}+{p^2}{x^2}-2\sqrt{p^2-1}\sqrt{{p^2}x^2-1}}}{{p^2}x}$

Bevezetve a $a=\sqrt{p^2-1}$ és a $b=\sqrt{{p^2}x^2-1}$ egyszerűsítő jelöléseket, kiszámoljuk ctg $\varphi$ -t:

$\ctg\varphi=\frac{\frac1x -\frac{1+ab}{{p^2}x}} {\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab}}{{p^2}x}}=\frac{a^2-ab}{a-b}=a=\sqrt{p^2-1}$

Tehát a Jerry számára ideális $\varphi$ szög Arcctg (p²-1).

Előfordulhat, hogy az így kapott $\varphi$ szög olyan nagy, hogy ilyen szög alatt a körvonal egyik pontjából sem látjuk KJ-t. Határozzuk meg azt a legkisebb x távolságot, amihez a körvonalnak már van olyan pontja, amelyből KJ $\varphi$ szög alatt látszik! Ilyenkor a $\varphi$ szögű látókör éppen érinti a kört. KJP háromszögben felírt szinusztételből: $x=KJ=\frac{\sin\varphi}{\sin(\alpha +\varphi)}\ge\sin\varphi$ , az egyenlőség meg is valósulhat.

Tehát azt kaptuk, hogy amennyiben Jerry távolsága a parttól legfeljebb 1-sin $\varphi$ , az ideális $\varphi$ szögre $ctg\varphi=\sqrt{p^2-1}$ . Bocs mindenkitől, hogy ilyen hosszan írtam.

[24] Kós Géza

2003-11-22 21:34:43

Szia Péter,

Az eredményt érdemes átírni $\varphi$ -re, úgy sokkal szebb a végeredmény, és a folytatásban is hasznos lesz.

Az is kiderül belőle, hogy Jerrynek mennyire kell ,,közel'' lennie a parthoz. Ha ugyanis a KJ távolság egy bizonyos értéknél kisebb, a képlet nem ad értelmes eredményt.

Előzmény: [22] Pach Péter Pál, 2003-11-21 22:16:16

[23] Pach Péter Pál	2003-11-22 11:03:42
Elfelejtettem leírni, hogy x=KJ.
Előzmény: [22] Pach Péter Pál, 2003-11-21 22:16:16

[22] Pach Péter Pál

2003-11-21 22:16:16

Kedves Géza!

A legújabb feladat is kijön deriválással, azonban van egy-két kérdésem. Mit jelent az, hogy Jerry a parthoz közel úszkál? Adott p esetén azt mondjuk, hogy megállapításaink 1- $\varepsilon$ <OJ esetén érvényesek? Gondolom 1<p ki van kötve. Jerrynek milyen irányban szabad úsznia? (Pl. feltehető, hogy P a jobboldali félkörön van?) Ezeken kívül az is problémám, hogy én JKP $\angle$ -et tudtam jól kezelni, nem pedig $\varphi$ -t. Persze átírhatom $\varphi$ -re a végén, de úgy elég ronda lesz (legalábbis szerintem). Arra lennék kíváncsi, hogy van-e valami fontossága a $\varphi$ szögnek, vagy át lehet térni $\alpha$ =JKP $\angle$ -re.

Egyébként azt kaptam, hogy a (szerintem érdekes) eseteknél $\cos\alpha = \frac{1+\sqrt{(p^2-1)({p^2}{x^2}-1)}}{{p^2}x}$ esetén maximális a Jerry javára eltelt idő.

Remélem nem számoltam el.

[21] Kós Géza	2003-11-20 16:16:02
Béla, hol vagy???
Előzmény: [4] Rácz Béla, 2003-11-09 02:01:51

[20] Kós Géza

2003-11-20 16:15:30

Most egy kicsit térjünk vissza a klasszikus feladathoz.

Jerry most kör alakú medencében úszik, közel a parthoz. Látja, hogy Tom az ábra szerinti irányból érkezik. Jerry ismét kiválaszt egy P pontot a parton, és egyenesen oda úszik. A JP szakasz a P-ből húzott sugárral $\varphi$ szöget zár be. Tom most is p-szer gyorsabban fut, mint ahogy Jerry úszik, és nem csak az számít, hogy ki ér oda előbb, hanem az eltelt idők különbsége is.

Milyen $\varphi$ szöget válasszon Jerry?

[19] Kós Géza

2003-11-20 16:06:14

Ügyes.

Egy apróság. Az első részben Jerry a sebességtől függetlenül utolérheti az átlót, mert az átló csak véges hosszú utat tehet meg.

[18] Pach Péter Pál

2003-11-19 22:19:18

Folytassuk Tom stratégiájával. (Most $p>\sqrt2$ .) Tom az egyik sarokban helyezkedik el. Jerry közelségét veszélyesnek értékeli, amint az a kiválasztott csúcshoz illesztett d befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszögbe lép. Megnézi, hogy Jerry az átló melyik oldalán tette ezt, és átszalad (maximális sebességével) a szomszédos csúcsok közül abba, amelyik Jerrytől távolabb van.

Nem mondtuk még meg, hogy mi alapján határozzuk meg d-t. Természetesen d-t úgy választjuk meg, hogy kezdetben Jerry távolsága ne legyen veszélyes: d<d₁. Szeretnénk, hogy mialatt Tom átfut a másik csúcsba, Jerry ne érhesse el a másik csúcshoz tartozó veszélyes körzetet. Hogy Jerry elérje a másik egyenlőszárú, derékszögű háromszöget, legalább 1-2d távolságot kell úszva megtennie, Tom pedig 1 egységnyit fut a parton. (A négyzetet egységoldalúnak vettük.) Mivel Tom sebessége legalább $\sqrt2$ -szöröse Jerryének, ezért d-t elég kicsinek választva elérjük, hogy Jerry biztonságos távolságban maradjon Tomhoz képest. (Legyen $d<\frac{{\sqrt2} -1}{2\sqrt2}$ .)

Már csak azt kell megvizsgálni, hogy Jerry el tudja-e kapni Tomot az átfutás közben. Ha Jerry az 1. feladat szerinti ideális $\varphi$ szöggel odaúszik a parthoz, de Tomnak már csak hűlt helyét találja, akkor nincs esélye elkapnia Tomot. (A partnak nincs olyan pontja, amit előbb, vagy éppen akkor tudna elérni, mint Tom.) Jerry útjának legyen x a hossza. Ekkor Tomnak legfeljebb x(cos $\varphi$ +sin $\varphi$ ) utat kell megtennie. Tudjuk, hogy $\sin\varphi =\frac1{p}<\frac1{\sqrt2}$ , amiből $\varphi$ <45^o. Ha $x(\cos{\varphi}+sin{\varphi})<x\sqrt2$ teljesül, akkor Jerry nem kaphatja el Tomot. De:

$x(\cos{\varphi}+sin{\varphi})<x\sqrt2$

sin 2 $\varphi$ <1

Ez azonban tényleg teljesül $\varphi$ <45^o miatt. Azt kaptuk, hogy $d=\frac{min(d_1; \frac{{\sqrt2} - 1}{2\sqrt2})}{2}$ esetén Tom meg tudja valósítani ezt a szaladgálós játékot, és így Jerry nem tudja elkapni.

[17] Pach Péter Pál

2003-11-19 21:59:18

Kicsit fogalmazzuk át a feladatot. Jerry tulajdonképpen Tom tükörképét akarja elkapni, ami a partvonalon mozog maximálisan p sebességgel. A rövidség kedvéért képzeljük azt, hogy szerepcsere történt, és Jerry Tomot el akarja kapni. (Tom tükörképe ugyanúgy viselkedik, mint Tom.)

Kezdjük Jerry stratégiájával. ( $p<\sqrt2$ ) Jerry odaúszik az egyik átlóra, és eléri, hogy az átlóra vett vetülete Tom vetületével egybeessen. Ezt nyilván meg tudja tenni, hiszen nagyobb az „átló irányú” sebessége, mint Tomé. A negyedsíkos feladathoz hasonlóan ezt az állapotot fenn tudja tartani, sőt még nincs kihasználva a maximális sebessége. Jerry sebességét vegyük egységnyinek. Legyen $p=\sqrt2 -\varepsilon$ . Jerry a következőket teszi: fenntartja azt az állapotot, hogy vetületeik egybeesnek (ehhez legfeljebb $\frac{\sqrt2 -\varepsilon}{\sqrt2}$ nagyságú sebességkomponens kell, de közben felvesz egy, az átlóra merőleges $\varepsilon$ nagyságú sebességkomponenst is, mellyel a négyzet azon feléhez közelít, melybe Tom esik. Ellenőrizhetjük, hogy Jerry eredő sebessége kisebb, mint 1:

$\left({\frac{\sqrt2 -\varepsilon}{\sqrt2}}\right)^2+{\varepsilon}^2=1+\varepsilon \left(\frac32\varepsilon -\sqrt2 \right)<1$

(Ez akkor igaz, ha $\varepsilon$ nem túl nagy, pontosabban, ha $\frac{2\sqrt2}{3}$ -nál kisebb. Ha ez nem teljesül, akkor Jerry „úgy tesz”, mintha lassabb lenne: maximális sebességét tudatosan a kritikus határ alá csökkenti.) Ha Jerry ezt a stratégiát követi, akkor korlátos időn belül eléri a partot - s ebben a pillanatban elkapja Tomot.

[16] Kós Géza	2003-11-19 13:22:53
Segítek. $p_0=\sqrt2$ .
Előzmény: [15] Kós Géza, 2003-11-13 12:20:18

[15] Kós Géza

2003-11-13 12:20:18

Ügyesen megoldottátok az első két feladatot, jöjjön hát a harmadik. Ez egy incselkedős feladat lesz.

Jerry négyzet alakú tóban úszik, méghozzá nagyon gyorsan, ha nem is olyan nagy sebességgel, mint ahogy Tom fut a parton. Jerry -- szokásához híven -- incselkedik. Úgy akar kiúszni a partra, hogy Tom éppen a vízpart ellentétes pontján legyen. (Ezután kiölti Tomra a nyelvét, de ez most nem lényeges.)

A feladat ismét egy p₀ szám megtalálása. Ha p<p₀, akkor -- Tom tetszőleges kiinduló pontja és taktikázása esetén is -- Jerry terve sikerülhet. Ha viszont p>p₀, akkor Tom mindig tud úgy mozogni, hogy Jerry ne a vele ellentétes ponton másszon ki a partra.

[14] Kós Géza	2003-11-13 11:30:50
Én is produkáltam egy ábrát. :-) Én T₀-lal Jerry vetületét jelöltem a külső szögfelezőn (vagy bármilyen, a szöfelezőre merőleges egyenesen). A T pont pedig a JT₀ egyenes és a vízpart metszéspontja. A T₀ pont sebessége minden pillanatban legfeljebb akkora, mint Jerry sebessége. A T pont sebessége pedig pontosan $\sqrt2$ -ször akkora, mint a T₀ sebessége. Ha tehát $p\ge\sqrt2$ , akkor Tom megteheti, hogy a T ponttal együtt mozog. Ha viszont $p<\sqrt2$ , és Jerry a megfelelő irányba, "vízszintesen" úszik, akkor Tom nem érheti utol a JT₀ egyenest.

Előzmény: [11] Pach Péter Pál, 2003-11-13 00:26:03

[13] Pach Péter Pál	2003-11-13 00:30:05

[12] Pach Péter Pál	2003-11-13 00:27:28

[11] Pach Péter Pál

2003-11-13 00:26:03

Azt fogjuk bizonyítani, hogy $p_0 =\sqrt{2}$ .

Kezdjük a b) állítás igazolásával! Tom nyerő stratégiája az, hogy mindig a part azon T pontjában tartózkodik, amely illeszkedik a J ponton (a J pont Jerry aktuális tartózkodási helye) keresztül a partvonalat alkotó derékszög (belső) szögfelezőjével párhuzamosan húzott egyenesre. Ha ezt garantálni tudja, akkor Jerry számára nincs menekvés, ugyanis a part egy J pontjához tartozó T-re T=J, ami azt jelenti, hogy abban a pillanatban, hogy Jerry kilép a partra, már Tom is ott van, és elkapja.

Tom a kiindulási helyzetét meg tudja választani megfelelően (hiszen Jerry nem veszi észre, amikor odaoson), csak azt kell megvizsgálni, hogy fenn tudja-e tartani ezt az állapotot. Jerry sebessége egy vizsgált pillanatban legyen v_J! v_J vektort bontsuk fel egy, a szögfelezőre merőleges v₁, és egy azzal párhuzamos v₂ nagyságú komponensre. Nyilvánvaló, hogy ha Tom meg akarja őrizni azt a tulajdonságot, hogy JT párhuzamos a szögfelezővel, akkor ebben a pillanatban sebességét $\sqrt{2} v_1$ -nek megválasztania, éspedig úgy, hogy a szögfelezőre merőleges egyenesen vett vetülete ugyanarra haladjon, mint Jerryé. (Ez akkor is igaz, ha közben „fordul” a negyedsík csúcspontjában. :-))

Szerencsére

$v_T =\sqrt{2} v_1 \le \sqrt{2} \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2}=\sqrt{2} v_J \le p v_J$

triviálisan teljesül $p\ge \sqrt{2}$ miatt.

Ezzel a b) részt igazoltuk.

Az eddigiek alapján látszik, hogy Jerrynek érdemes mindvégig a szögfelezőre merőlegesen haladnia, és hogy a következő stratégiával biztosan kijut a partra:

Megfigyeli, hogy attól a T₀ ponttól, amelyre JT₀ párhuzamos a szögfelezővel, milyen irányban helyezkedik el Tom. Ezután a Tom helyzetével ellentétes irányban a szögfelezőre merőlegesen egyenesen kiúszik a partra. Amennyiben Tom éppen T₀-ban, Jerry véletlenszerűen választ a két irány közül. (Pl. ha nem a szögfelezőn van, akkor azt, amelyiknél kevesebbet kell úsznia.) Tomnak legalább $\sqrt2$ -ször akkora utat kell megtennie, mint Jerrynek, ha el akarja kapni, így $p<\sqrt{2}$ miatt Jerry valóban előbb éri el a part kiszemelt pontját.

Ezzel bizonyítottuk, hogy a keresett p₀ érték a $\sqrt{2}$ .

Felteszek három ábrát a megoldáshoz, hogy áttekinthetőbb legyen.

[1] [2] [3]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?