Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Differenciálszámítás

  [1]    [2]    [3]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[10] Lóczi Lajos2008-04-20 22:48:57

Mert eltévesztettem :), arra is előjelhelyesen megy.

Előzmény: [9] Káli gúla, 2008-04-20 21:52:26
[9] Káli gúla2008-04-20 21:52:26

Miért mondod a hányadosnál, hogy előjeltől eltekintve?

Előzmény: [8] Lóczi Lajos, 2008-04-20 21:37:16
[8] Lóczi Lajos2008-04-20 21:37:16

Ez a trükk megy a szorzat deriválási szabályára és -- előjeltől eltekintve -- a hányadoséra is.

Világosítsatok fel kérlek, miért, nagyon kíváncsi vagyok :)

Előzmény: [5] Fálesz Mihály, 2008-04-20 11:10:43
[7] Káli gúla2008-04-20 20:48:56

Deriválás segítségével beláthatjuk például a sin x és cos x függvények addíciós képleteit. Legyen f(x)=sin (x+a)-sin xcos a-cos xsin a és g(x)=cos (x+a)-cos xcos a+sin xsin a. A deriváltakat kiszámolva azonnal látszik, hogy f '(x)=g(x) és g'(x)= - f(x), és ezért

(f2(x)+g2(x)) ' = 2ff '+2gg' = 2fg-2gf = 0

Tehát az f2(x)+g2(x) függvény deriváltja azonosan nulla, ami csak úgy lehet, ha ez a függvény állandó. Behelyettesítve x=0-t a függvények definíciójába f(0)=g(0)=0 adódik, vagyis f2(x)+g2(x)\equiv0, és így f\equiv0 és g\equiv0. (Ez a bizonyítás Szász Pál A differenciál- és integrálszámítás elemei c. könyvéből való.)

Hasonlóan megkaphatnánk a sin2x+cos2x\equiv1 azonosságot --ismertebb nevén Pitagorasz tételét-- is a bal oldal deriváltjának eltűnésére hivatkozva. Ez nem véletlen, mert az azonosság is az addíciós formula következménye:

1=cos 0=cos (x-x)=cos xcos (-x)-sin xsin (-x)=cos2x+sin2x

[6] jonas2008-04-20 15:34:26

Egy évvel később, vagyis amikor már többváltozós függvény deriválást és láncszabályt is ismered?

Előzmény: [5] Fálesz Mihály, 2008-04-20 11:10:43
[5] Fálesz Mihály2008-04-20 11:10:43

Egyszer az egyik hallgatóm így deriválta az f(x)g(x) függvényt.

a) Ha f konstans, akkor

 
\left( f^{g(x)} \right)' =
f^{g(x)} \cdot \ln f \cdot g'(x).

b) Ha g konstans, akkor

 
\left( f(x)^{g} \right)' =
g\cdot f(x)^{g-1} \cdot f'(x).

c) Ha egyik sem konstans, akkor a kétféle eredményt összeadjuk:

 
\left( f(x)^{g(x)} \right)' =
f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x) \cdot g'(x) +
g(x)\cdot f(x)^{g(x)-1} \cdot f'(x).

 

Egy darabig eltartott, amíg megértettem, hogy miért is műdödik. Az az igazság, hogy a módszert akkor még nem is volt szabad alkalmazni csak egy évvel később...

Előzmény: [4] Sirpi, 2008-04-20 09:58:27
[4] Sirpi2008-04-20 09:58:27

Deriválni tényleg nem bonyolult, bár akik megtanulják a képleteket (szorzat, hányados, összetett függvény, inverz függvény deriváltja, megspékelve az összes elemi függvény deriváltjának ismeretével), azokat azért zavarba lehet hozni akár a teljesen egyszerű f(x)=xx függvénnyel is. Nem kell rögtön lecsapni, de aki nem ismeri a módszert, az próbálja meg kitalálni, hogy mennyi az f'(x).

[3] lorantfy2008-04-19 23:07:38

Szia Róber Gida!

Jól letorkoltad szegény xxx00-t ezzel a "Topikot le is lehet ezzel zárni." beszólással. A matematikusok valahogy ilyenek - mint a bűvészek, akik a mutatványaik trükkjeit senkinek sem adják ki. Én tanár vagyok és így ha tanulok valami új dolgot, már közben azon kezdek gondolkodni, hogy magyarázom el majd másoknak. Szerintem jó érzés valakinek elmagyarázni valamit és látni, hogy abból amit mondtál neki megértette. Persze önállóan is meg lehet tanulni deriválni és integrálni, ehhez ajánlom a BÓLYAI-KÖNYVEK két kötetét.

Előzmény: [2] Róbert Gida, 2008-04-18 20:05:03
[2] Róbert Gida2008-04-18 20:05:03

Ez így van. Jóval nehezebb az inverz művelet, az integrálás. Topikot le is lehet ezzel zárni.

Előzmény: [1] xxxx00, 2008-04-18 19:24:08
[1] xxxx002008-04-18 19:24:08

Ennek a matematikai témának még nincs fórumtémája, ezért úgy gondoltam, nyitok egyet.

Hallottam egy érdekes mondást a deriválásról, ami szerint "egy lovat is meg lehet tanítani deriválni". Nektek mi a véleményetek erről?

  [1]    [2]    [3]