Fórum: Differenciálszámítás

Üdv!

A 6sin²x+3sin2x kifejezés alsó és felső korlátját szeretném meghatározni, ábrázolás útján nem azt kaptam, mint a deriváltak alapján (eszerint az alsó 0, a felső 12, ábrázolva nem egészen). A deriválással lehet a hiba, de első néhány nekifutásra a lejjebb említett könyvel magam mögött nem jöttem rá.

Na, de hát deriválnia kell.

Köszönöm szépen a segítséget, paraméterezésre nem is gondoltam, de "bejött" :) A deriválást abból az érdekes könyvből már kitanulmányoztam kicsit régebben, de most átismételtem az egészet, mert hát ismerem a régi mondást :)

Nem biztos, hogy deriválnod kell, hiszen szinte biztos, hogy ennek a kifejezésnek a szélsőértékét kell meghatározni, igy elég a négyzetgyök alatti kifejezéssel foglalkozni, ezt tedd egyenlővé egy p paraméterrel, ekkor egy másodfokú paraméteres egyenletet kapunk, ennek vizsgáld a diszkriminánsát, ennek nemnegativnak kell lennie, figyelj még arra, hogy a négyzetgyökjel alatt nemnegativ szám áll(értelmezési tartományt keress az elején), már készen is vagyunk. Ha mindenáron deriválni akarsz, skko vegyed összetett függvénynek, és ezek alapján deriválj.Ezt remélem ismered, ha nem, akkor könnyedén megtanulhatod a Bolyai könyvek idevágó kötetét( Differenciálszámítás). Sok sikert!

üdv!

Egy fizika-feladat kapcsán jutottam a következő kifejezéshez, amit akárhogy próbálok, nem sikerül megfelelően deriválnom, ebben szeretnék segítséget kérni:

azt tudom hogyha a kitevőben egy egész szám: akkor a szorzatra bontjuk és a láncszabállyal megoldjuk könnyedén de a többire még nem jöttem rá..

nem nagyon volt időm rá de még nem jött ki...:)

A szabályokból, amiket felsoroltam, (közvetlenül) nem jön ki az x^x függvény deriváltja, ha elvileg ismered az alapokat, próbáld meghatározni (tehát ismertnek vesszük az összeg, szorzat, hányados, összetett függvény és inverz függvény deriválási szabályát, valamint az elemi függvények deriváltjait).

De egy egyszerű trükkel azért ki lehet számolni, szóval ha esetleg nem menne, akkor megbeszélhetjük, hogyan is kell, a Mihály-féle nagyágyú nélkül is (ami mellesleg nekem nagyon tetszik).

lemaradt, hogy a határértékről akkor még semmit se tudtam (bár most se tudok sokat), és egyáltalán nem tudtam az alapokat hozzá, és az ötletem onnan jött, hogy a matektanárom egyszer mondta azt a viccét hogy: Ne emlegesd hiába Isten nevét, majd az integrálszámításnál, és akkor se lesz hiába...:)

Én most 9-edikes vagyok és én is a Bólyai könyvből tanultam meg az integrálás és a differenciálást unatkozásból, és szerintem az tényleg igaz lehet, hogy mindenki meg tudja tanulni, de akkor nem értem hogy az x az x-ediken az miért okozott volna bármi gondot valakinekis hogyha a formákat (elvileg) tudja?

na szégyellem magam hogy erre nem voltam képes...köszönöm a megoldást!

Aha, most már értem.

Félreértettél, én a te levezetésedről írtam azt, hogy az teljesen jó, és csak kiemeltem valamit, ami a lépéssorban talán kevésbé nyilvánvaló. A minimumhely ismeretére itt nincsen szükség. Egyébként az x^x függvény helyett a logaritmusára áttérve, a   határértékre jutunk, ami kezdőknek talán könnyebben érthető lehet.

Attól függ, melyik D differenciáloperátor normáját akarod kiszámolni. Ha operátornormáról beszélünk, akkor tudnunk kell, D melyik (pl.) normált térből melyik térbe képez. Nézzünk két egyszerű példát.

Mindkét esetben Df jelentse az f valós függvény deriváltját, C¹ szokás szerint a folyt. diffható függvények halmazát, C pedig a folytonos függvényeket.

a.) ha D:C¹[0,1]C[0,1], a kiindulási és a képtéren a norma a maximumnorma (azaz ), akkor az operátornorma definíciója szerint számolva azt kapjuk, hogy ||D||=+, vagyis e két normált tér között a differenciáloperátor nem korlátos.

b.) ha D:C¹[0,1]C[0,1], a képtéren a norma a maximumnorma, de a kiindulási téren a normát módosítjuk: , akkor a D operátor normájára azt kapjuk, hogy ||D||=1, azaz az operátor most korlátos.

Tényleg lemaradt, de Jonas válaszakor kiszúrtam és javítottam, és azt hittem, másnak fel se fog tünni. Bocs.

Egyébként mert miért elég, hogy az exponenciális fv. fogy? A gondot az okozza, hogy a kitevő ugyan nő, ami csökkenti a kifejezés értékét, de az alap is nő, ami viszont növeli. Ez azt eredményezi, hogy 1/e-ig csökken az x^x, utána pedig növekszik.

Lemaradt egy x kitevő a második képlet közepén. Az exponenciális fv fogy, ha a<1, teljesen jó levezetés, és nincs is benne derivált. (Ha lenne, akkor egyébként is kellene tudni az x^x deriváltját, ami zavarba ejtő :-).

Mi nem vili? x^x közre van fogva két 1-hez tartó sorozattal, akkor ő is egyhez tart. Azt valóban nem részleteztem, hogy miért tartanak 1-hez, egyelőre csak :-)

Heh. Úgy kezted, hogy deriválás nélkül is kijön.

A második levezetést pedig egyáltalán nem értem.

Közvetlenül nem következik, de ha már témánál vagyunk, egyszerű deriválással kijön, hogy az x^x függvény a 0-nak jobboldali környezetében szigorúan monoton csökken, és ilyenkor elég tetszőleges 0-ban tartó sorozatra vizsgálni a konvergenciát.

Vagy máshogy, ha , akkor , és igazából ha itt tudjuk, hogy és (amik elég könnyen jönnek, hasonlóan az -hez), akkor készen vagyunk deriválás nélkül is.

Abból, hogy a jobb oldal konvergens, miért következik, hogy a bal oldal is az?

Nem, ez deriválás nélkül is kijön:

Hiszen közismert, hogy . Ha nem tudod ennek a bizonyítását, majd valaki biztos beírja :-)

Én pedig szeretnék egy olyan laikus kérdést feltenni, hogy mi a limes x az x-ediken értéke ha x tart a nulla felé (elnézést az írásmódért). Deriválással kijön az ilyen? Vagy hogy kell kiszámolni?

A topikkal kapcsolatban mesélek valamit. Én még másodikban találkoztam a deriválással és funkcionálisan sikerült is megtanulnom. Nyílván akkor még nem érthettem annyira mint akkor, amikor egyetemre mentem. Egyetemen pedig először azt tanultam meg, hogy deriválni az egy dolog, de ismerni, hogy az valóban mi is... na az már egy egészen más tészta.

Amikor a Lie algebrákról tanultunk valamit, akkor először, hogy a deriválás egy operátor... Erről jut eszembe, hogyan lehetne kiszámítani a deriválás operátor normáját. Engem az érdekelne, hogy a deriválásról, mint operátorról mit érdemes tudni. (A linken kívül: http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_algebra a link csak olvasatra jó! kicsit nem tudok linket beszúrni texben)

Az integrálás nehézségét elsősorban arra értettem, hogy számítógépes programot nehéz rá írni, ami a beadott fv-t integrálja. Persze van ilyen algoritmus (Risch algoritmus sokat tud), Maple/Mathemtica használja is.

Nemrég volt a tv-ben egy magyar középiskolás aki deriváló programot írt és valami díjat is nyert vele. Azért ez is figyelemreméltó.

Persze, leesett mire gondoltál itt, és én is megértettem, miért jogos az az említett szabály, hogy pl. f(x)g(x), f(x)/g(x), vagy f(x)^g(x) deriválását szabad úgy elvégezni, hogy "úgy deriválunk, mintha az egyik konstans lenne, majd mintha a másik, és ezeket az eredményeket összeadjuk" -- hiszen ezek mind xF(f(x),g(x)) deriválásának speciális esetei.