Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[16] Rácz Béla2003-11-25 22:51:00

Kösz, Peti!! Benned bíztam!

Szóval, kedves Géza! Irodalomként hivatkozom Pach Péter Pál alábbi hozzászólására!

[15] Pach Péter Pál2003-11-25 22:41:52

Én úgy emlékszem, hogy Tihamér éppen a k\gen esethez tartozó összefüggést nevezte Newton-tételnek. Biztos, hogy „sokkal könnyebb bizonyítani”? Az igaz, hogy ott működik egy olyan bizonyítás is, ami sokkal rövidebb, de a \sum-s felírás mindkettőt kihozza. Remélem mindenki kitalálja, hogyan működik a jelölés. :-)

s_1 \cdot h_{k-1} ={\sum a}{\sum {a^{k-1}}}={\sum {a^k}}+{\sum {a^{k-1}}b}

s_2 \cdot h_{k-2} ={\sum ab}{\sum {a^{k-2}}}={\sum {a^{k-1}b}}+{\sum {a^{k-2}}bc}

És így tovább…

Az ilyen típusú egyenleteket kell összeadni, hogy megkapjuk azt a tételt, amit (legalábbis ebben a témában) Newton-tételnek hívunk. A végén (az utolsó egyenletnél) egyébként éppen k\len miatt „jön be” a k-as szorzó.

Előzmény: [14] Rácz Béla, 2003-11-25 21:00:07
[14] Rácz Béla2003-11-25 21:00:07

Hát biztos az a baj, hogy nem ez a neve ...

Szóval, az állítás a következő:

Ha van n szám, és bármely i-re H(i) a számok i. hatványösszege, S(i) pedig az összes i-szeres szorzat összege (ami a Vieta-formulákban szokott pl. felbukkanni), akkor k <= n esetén

H(k) = S(1)*H(k-1) - S(2)*H(K-2) + S(3)*H(K-3) - ... + (-1)i*S(i)*H(k-i) + ... + (-1)k*S(k-1)*H(1) - (-1)k*k*S(k)

Például (k=3-ra):

H(3) = S(1)*H(2) - S(2)*H(1) + 3S(3), ez tényleg nagyon ismert.

Nagyon hasonló állítás igaz akkor is, ha k >= n, csak azt sokkal könnyebb bizonyítani.

Olimpiai felkészülésen mint ismert tételre hivatkoztak erre; azt hiszem, ott hallottam rá azt a nevet, hogy Newton-tétel. Most akkor utánanézek.

Előzmény: [10] Kós Géza, 2003-11-24 16:35:36
[13] Csillag2003-11-25 20:38:11

:)

Előzmény: [12] Kós Géza, 2003-11-24 19:27:19
[12] Kós Géza2003-11-24 19:27:19

Blöffölni tudni kell. :-)

Tegnap hallottam, hogy valaki egy versenyen hivatkozott a "Csimkin féle fokszámeltolási tételre", és ezt még egy hivatkozással is megtoldotta egy orosz nyelvű lap 30 évvel ezelőtti számára. Elhitték neki.

Előzmény: [10] Kós Géza, 2003-11-24 16:35:36
[11] Csillag2003-11-24 18:50:44

Szia Béla!

Ezt megkaptad!:)

Amúgy avass be, hogy hol olvastad a tételt!

Köszi mindannyiunk nevében!

GB

Előzmény: [9] Rácz Béla, 2003-11-22 20:49:47
[10] Kós Géza2003-11-24 16:35:36

Szia Béla,

Számomra nem egyértelmű, hogy mi az a ,,polinomos Newton-tétel'', de ha tisztességesen hivatkoztál rá, akkor nem lehet gond.

Előzmény: [9] Rácz Béla, 2003-11-22 20:49:47
[9] Rácz Béla2003-11-22 20:49:47

Az A. 326. példáról szeretnék kérdezni. (Géza, figyelem!)

Szóval: baj, ha felhasználtam a polinomos Newton-tételt, mint nagyágyú?

[8] lorantfy2003-11-22 16:48:22

Bocs! A vége rossz lett:

... amiből: (a+b+c)(a+b-c)=2ab

(a+b)2-c2=2ab, vagyis a2+b2=c2

Előzmény: [7] lorantfy, 2003-11-21 14:00:31
[7] lorantfy2003-11-21 14:00:31

Kedves Rizsa!

Jól néz ki a megoldás, de én az alábbi két egyenlet összevetéséből:

\frac{t^2}{(s-a)(s-b)}=\frac{ab}{2}

t2=s(s-a)(s-b)(s-c)

ezt kapom: s(s-c)=\frac{ab}{2}, amiből (a+b+c)(a+b)=2ab

Elírtál valamit vagy csak én vagyok túl fáradt?

Előzmény: [6] Rizsa, 2003-11-21 11:39:25
[6] Rizsa2003-11-21 11:39:25

en igy oldottam meg a b. 3671.t:

Ra = t/(s-a) Rb=t/(s-b), r=abc/4t

Ra+Rb= t*(1/(s-a)+1/(s-b))=t*c/((s-a)*(s-b))=2r=abc/2t, mert s-a+s-b=2s-(a+b)=c.

ebből t*t/((s-a)*(s-b))=ab/2. t*t=s*(s-a)*(s-b)*(s-c), egyszerusitve (s-a)*(s-b)=ab/2

s-a=(b+c-a)/2, s-b=(a+c-b)/2.

Ebből (b+c-a)*(a+c-b)=2ab.

c*c-(a-b)*(a-b)=2ab, amiből c*c=a*a+b*b, gamma=90fok. ugyanigy a masik szog 60 fok, tehat a harmadik szog 30fok. szerintem igy egyszerubb :)

[5] lorantfy2003-11-20 23:50:49

2. Ha \alpha=90o , akkor a hozzáírt körök középpontjai, az érintési pontok és az A csúcs négyzeteket alkotnak, igy

Ra=Z+X+Y,Rc=Y

Az Ra – Rc = R egyenletbe beírva Z + X = R.

Tehát a háromszögben AC = Z + X = R, és BC = 2 R miatt \beta=30o és \gamma=60o

[4] lorantfy2003-11-20 23:34:00

B.3670. megoldása

I. Ra+Rb=3R, II. Rb+Rc=2R amiből:

III. Ra–Rc=R

1.Belátjuk, II-ből következik, hogy a háromszög derékszögű,.

2.Belátjuk, III-ből következik, hogy \beta=30o és \gamma=60o

1. Az egyenlő érintőszakaszokat azonos betűkkel: X, Y, Z jelöljük. A BCO háromszögben

2Rsin \alpha=Y+Z

Ez a két szakasz Rb és Rc sugarakkal is kifejezhető:

Y =  Rc. \tan\frac{\alpha}{2} ,       Z = Rb. \tan\frac{\alpha}{2}

amiből

Y + Z = ( Rb + Rc) \tan\frac{\alpha}{2} = 2 R. \tan\frac{\alpha}{2}

Tehát \sin\alpha =\tan\frac{\alpha}{2} és 0<\alpha<180o, amiből \alpha=90o : a háromszög derékszögű.

[3] Suhanc2003-11-20 14:40:16

Üdvözlet mindenkinek! Leírom a rádiós feladatra a megoldásomat. Sajnos eléggé hosszúra sikerült: Ábrázoljuk az elemeket egy 8 csúcsú gráf pontjaival. Ha 2 csúcsot él köt össze, akkor azt a két elemet egy lépésben betettük a készülékbe. Ez alapján egy él /próbálkozás/ rossznak minősül, ha legalább egyik végpontja rossz csúcs (elem). Állítás: legalább 7 kísérletre van szükség. Először azt lássuk be, hogy 6 él esetén még nem biztos, hogy van köztük jó él. Indirekten bizonyítsunk, tfh:6 él minden esetben elég ahhoz, hogy legyen jó él! Válasszuk két részre a bizonyítást: 1. Van olyan csúcs a 8 közül,amelyből legalább 3 él indul. 2. Minden élből legfeljebb 2 él indul. 1. esetben tekintek egy olyan csúcsot, amelyből legalább 3 él indul. Legyen ez a csúcs (elem) rossz! Ekkor a hat csúcsból legalább három rossz! Ha a maradék (legfeljebb) 3 él 1-1 csúcsa rossz, úgy az összes él rossz. Ez lehetséges, mert 4 rossz elem van, és az előbb is legfeljebb 4 csúcsnak kellett rossznak lennie. Tehát ez esetben nincs biztosan jó él! 2. esetben legalább 4 olyan csúcsnak kell lennie, amelyből pontosan 2 él indul.Ellenkező esetben az élek számának maximuma (ha 3csúcsból 2, 5 csúcsból 1 él indul) 11/2 lenne, de nekünk 6 él kell. Tehát van 4 ilyen csúcs. Tekintek két olyan csúcsot, amelyből pontosan két él indul, és nem köti össze őket él. Ilyen biztosan van, mert 1 ilyen csúcsot legfeljebb 2 másik ilyen csúccsal köthetek össze, és legalább 3 másik van. Legyen a kiválasztott 2 csúcs rossz! Ekkor a hozzájuk tartozó 2-2 él rossz, tehát a 6 élből négy rossz. Ha a maradék 2 él 1-1 csúcsa rossz, akkor az összes él rossz. Ez lehetséges, mert négy rossz elem van, és most is legfeljebb 4 csúcsnak kellett rossznak lennie. Tehát ez esetben sem lesz biztosan jó él. Azaz 6 kísérlet kevés a biztos eredményhez! Most még azt kell belátni, hogy hét él esetén biztosan lesz jó él, ha megfelelően választjuk meg az éleket. Erre elégséges egy konstrukciót készíteni. Legyen a 8 csúcs A;B;...H, és legyenek AB; CD; CE; DE; FG; FH;GH; csúcsok éllel összekötve. Szintén indirekten bizonyítsunk, tfh: ki tudjuk választani a 8 csúcsból a négy rosszat, úgy, hogy a fenti 7 él között ne legyen jó! Ekkor CDE háromszögben a 3 csúcsból legalább kettő rossz, ellenkező esetben lenne a háromszögben jó él! Ugyanez igaz FGH háromszögre. Tehát C;D;E;F;G;H csúcsok közül legalább 4 csúcs rossz. Azaz a négy rossz csúcs ezen hat csúcs közt van.Tehát A és B csúcsok jók, azaz AB él jó!

Ha valakinek sikerült az ehavi utolsó B-s feladatot(ha jól emlékszem B.3671.) megoldani, szívesen megnézném, mert bajlódtam vele, de nem jött ki.

[2] Geg2003-11-19 22:59:02

Itt a fizika feladatokat is meg lehet vitatni, vagy csak a matematika szamara nyilt meg a tema ?

[1] lorantfy2003-11-19 22:26:04

Kedves Fórumosok!

Azt hiszem annak semmi akadálya, hogy a beküldési határidő után megvitassunk pontversenyben kitűzött feladatokat vagy aki úgy gondolja feltegye saját megoldását. A hivatalos megoldások úgyis elég sokára jelennek meg. Most még mindenki emlékszik a saját megoldására és összevethetné a feltett megoldásokkal. Én például szeretném látni a rádiós példa megoldását cserébe felteszem a 3670-est.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]