Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[4] lorantfy2003-11-20 23:34:00

B.3670. megoldása

I. Ra+Rb=3R, II. Rb+Rc=2R amiből:

III. Ra–Rc=R

1.Belátjuk, II-ből következik, hogy a háromszög derékszögű,.

2.Belátjuk, III-ből következik, hogy \beta=30o és \gamma=60o

1. Az egyenlő érintőszakaszokat azonos betűkkel: X, Y, Z jelöljük. A BCO háromszögben

2Rsin \alpha=Y+Z

Ez a két szakasz Rb és Rc sugarakkal is kifejezhető:

Y =  Rc. \tan\frac{\alpha}{2} ,       Z = Rb. \tan\frac{\alpha}{2}

amiből

Y + Z = ( Rb + Rc) \tan\frac{\alpha}{2} = 2 R. \tan\frac{\alpha}{2}

Tehát \sin\alpha =\tan\frac{\alpha}{2} és 0<\alpha<180o, amiből \alpha=90o : a háromszög derékszögű.

[3] Suhanc2003-11-20 14:40:16

Üdvözlet mindenkinek! Leírom a rádiós feladatra a megoldásomat. Sajnos eléggé hosszúra sikerült: Ábrázoljuk az elemeket egy 8 csúcsú gráf pontjaival. Ha 2 csúcsot él köt össze, akkor azt a két elemet egy lépésben betettük a készülékbe. Ez alapján egy él /próbálkozás/ rossznak minősül, ha legalább egyik végpontja rossz csúcs (elem). Állítás: legalább 7 kísérletre van szükség. Először azt lássuk be, hogy 6 él esetén még nem biztos, hogy van köztük jó él. Indirekten bizonyítsunk, tfh:6 él minden esetben elég ahhoz, hogy legyen jó él! Válasszuk két részre a bizonyítást: 1. Van olyan csúcs a 8 közül,amelyből legalább 3 él indul. 2. Minden élből legfeljebb 2 él indul. 1. esetben tekintek egy olyan csúcsot, amelyből legalább 3 él indul. Legyen ez a csúcs (elem) rossz! Ekkor a hat csúcsból legalább három rossz! Ha a maradék (legfeljebb) 3 él 1-1 csúcsa rossz, úgy az összes él rossz. Ez lehetséges, mert 4 rossz elem van, és az előbb is legfeljebb 4 csúcsnak kellett rossznak lennie. Tehát ez esetben nincs biztosan jó él! 2. esetben legalább 4 olyan csúcsnak kell lennie, amelyből pontosan 2 él indul.Ellenkező esetben az élek számának maximuma (ha 3csúcsból 2, 5 csúcsból 1 él indul) 11/2 lenne, de nekünk 6 él kell. Tehát van 4 ilyen csúcs. Tekintek két olyan csúcsot, amelyből pontosan két él indul, és nem köti össze őket él. Ilyen biztosan van, mert 1 ilyen csúcsot legfeljebb 2 másik ilyen csúccsal köthetek össze, és legalább 3 másik van. Legyen a kiválasztott 2 csúcs rossz! Ekkor a hozzájuk tartozó 2-2 él rossz, tehát a 6 élből négy rossz. Ha a maradék 2 él 1-1 csúcsa rossz, akkor az összes él rossz. Ez lehetséges, mert négy rossz elem van, és most is legfeljebb 4 csúcsnak kellett rossznak lennie. Tehát ez esetben sem lesz biztosan jó él. Azaz 6 kísérlet kevés a biztos eredményhez! Most még azt kell belátni, hogy hét él esetén biztosan lesz jó él, ha megfelelően választjuk meg az éleket. Erre elégséges egy konstrukciót készíteni. Legyen a 8 csúcs A;B;...H, és legyenek AB; CD; CE; DE; FG; FH;GH; csúcsok éllel összekötve. Szintén indirekten bizonyítsunk, tfh: ki tudjuk választani a 8 csúcsból a négy rosszat, úgy, hogy a fenti 7 él között ne legyen jó! Ekkor CDE háromszögben a 3 csúcsból legalább kettő rossz, ellenkező esetben lenne a háromszögben jó él! Ugyanez igaz FGH háromszögre. Tehát C;D;E;F;G;H csúcsok közül legalább 4 csúcs rossz. Azaz a négy rossz csúcs ezen hat csúcs közt van.Tehát A és B csúcsok jók, azaz AB él jó!

Ha valakinek sikerült az ehavi utolsó B-s feladatot(ha jól emlékszem B.3671.) megoldani, szívesen megnézném, mert bajlódtam vele, de nem jött ki.

[2] Geg2003-11-19 22:59:02

Itt a fizika feladatokat is meg lehet vitatni, vagy csak a matematika szamara nyilt meg a tema ?

[1] lorantfy2003-11-19 22:26:04

Kedves Fórumosok!

Azt hiszem annak semmi akadálya, hogy a beküldési határidő után megvitassunk pontversenyben kitűzött feladatokat vagy aki úgy gondolja feltegye saját megoldását. A hivatalos megoldások úgyis elég sokára jelennek meg. Most még mindenki emlékszik a saját megoldására és összevethetné a feltett megoldásokkal. Én például szeretném látni a rádiós példa megoldását cserébe felteszem a 3670-est.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]