Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[574] Róbert Gida2010-10-12 20:09:03

Guinness világrekord, legrövidebb Kömal példamegoldás (K255):

0

[573] Blord2010-07-31 22:04:02

Köszi szépen!

Előzmény: [572] Erben Péter, 2010-07-29 19:22:13
[572] Erben Péter2010-07-29 19:22:13

Jelölés: \sqrt{x} = y \ge 0

y12-y6-2y4-1 = 2y3-2y7+2y  

y12+2y7    -y6-1-2y4-2y3-2y=0  

y12+2y7+y2-y2-y6-1-2y4-2y3-2y=0  

(y12+2y7+y2)-(y6+y2+1+2y4+2y3+2y)=0  

(y6+y)2-(y3+y+1)2=0

(y6-y3-1)(y6+y3+2y+1)=0

A második tényező pozitív, az első y3-ben másodfokú. Nemnegatív megoldása:

y = \root 3  \of {\frac{1+\sqrt{5}}{2}}

x = y^2 = \root 3  \of {\frac{3+\sqrt{5}}{2}}

Előzmény: [571] Blord, 2010-07-29 16:52:43
[571] Blord2010-07-29 16:52:43

Sziasztok!

Nekem sem igazán ment a 4275, én is nagyon hálás lennék egy megoldás(vázlat)ért. Valószínűleg rossz úton jártam, úgy kezdtem, hogy (gyök x)=a helyettesítés után a két oldalt négyzetre emeltem, a négyzet-b négyzet=(a-b)*(a+b), majd kis maple használat után még tovább alakítottam szorzattá, de ez az eljárás nagyon nem tetszett..

[570] rizsesz2010-07-25 15:37:03

Remélem jó irány :) ha kijön, kérlek szólj :) egy Bukarestbe tartó 4 órás buszút 3,5. órája környékén vettem elő és ki is jött a (2;3), (-1;1), (-1;0), de lehet, hogy van más megoldás is, azóta sem számoltam végig :)

Előzmény: [569] Blinki Bill, 2010-07-25 13:17:12
[569] Blinki Bill2010-07-25 13:17:12

Kösz :)

Előzmény: [568] rizsesz, 2010-07-25 11:34:04
[568] rizsesz2010-07-25 11:34:04

A 4277.-ben alakítsd át úgy a kifejezéseket, hogy minden x+y és x*y-nal kifejezve szerepeljen (nem egy nagy kaland) :)

utána használd fel a számtani-mértani közepek közötti összefüggést, majd átalakítások után kapsz egy felső korlátot x*y-ra (kijön, h legfeljebb 9).

ez akkor jó, ha x és y pozitív.

ha mindkettő negatív, akkor nincsen megoldás.

ha az egy negatív, a másik pozitív, akkor pedig helyettesítsd az egyiket a negatív előjelű értékkel (pl -y-nal); kicsit átalakul az egyenlet; onnan pedig zongorázd végig a legfelül leírtakat.

Előzmény: [567] Blinki Bill, 2010-07-25 09:59:52
[567] Blinki Bill2010-07-25 09:59:52

Feltenné valaki a B.4275. és a B.4277. feladatok megoldási vázlatát, esetleg egy indító ötletet? Köszönöm.

[566] Róbert Gida2010-07-15 15:19:41

"Hacsak az A504 nem,[519]hsz. :DDD"

Nem, az A506-ot 12-en oldották meg teljesen (5 pontosra), míg az A504-et 6-an. Egyébként az A jelű pontversenyben a tanévben 21 diáknak van pozitív pontszáma és mindössze 7-en vannak a Fazekasból. Ez azért nem sok.

Pozitívum viszont, hogy lánygimnázium is van az A pontversenyben, de oda fiú hogyan járhat?

Előzmény: [541] Blinki Bill, 2010-05-12 18:40:22
[565] Róbert Gida2010-06-18 01:20:38

Szép megoldás. A bizonyításodat követve: a1=3385021573484712-re a sorozat csak összetett számot tartalmaz.

Előzmény: [564] S.Ákos, 2010-06-16 18:20:41
[564] S.Ákos2010-06-16 18:20:41

a0=0 sorozatot nézzük, 7|a2 és 5.17|a3, illetve maradékokkal látható, hogy a6-nak van ezektől különböző prímosztója, mivel mindegyik 1. hatványon szerepel a6 felbontásában. Ebből kapjuk, hogy ha 7|ak tetszőleges sorozatban, akkor 7|ak+2n, analg módon a másik 3 prímre is minden 3-ik illetve 6-ik szám osztható vele. Innét konstruálunk egy olyan x számot a kínai maradéktétellel, amire x\equiv2(5), x\equiv0(7.17) és x\equiv1(p), ahol p a6 prímosztója. Ugyanis ekkor minden 3k+1-.ik tag osztható 5-tel, 3k+2-ik 17-tel, 2k-ik 7-tel, és 6k+5-ik p-vel. De ezek lefedik az összes maradékosztályt, így ilyen számok jók, és tudunk olyant választani, hogy mindegyik prímnél nagyobb legyen.

Előzmény: [563] Radián, 2010-06-15 13:05:11
[563] Radián2010-06-15 13:05:11

Hello!

Ha valakinek megvan és van rá ideje kérem írja le a B.4272-es feladat megoldását. Előre is köszönöm.

[562] BohnerGéza2010-06-03 16:10:11

A B.4269 feladattal kapcsolatban fölvetek egy "sejtést" a GEOMETRIA témában, az 1422. hozzászólásban. Felhasználom az itteni 560. hozzászólás észrevételét, melynek bizonyítása is igen szép.

Előzmény: [552] HoA, 2010-05-13 16:27:19
[561] S.Ákos2010-05-16 00:24:35

Ez független attól, hogy a körök sugarai egyenlők, tetszőleges AB szakaszon lévő belső pontra igaz, vagyis a beírt körök C-n át nem menő közös belső érintője átmegy az érintési ponton.

Előzmény: [560] damil, 2010-05-15 21:22:28
[560] damil2010-05-15 21:22:28

Itt egy ábra is amin kiemeltem a lényeget:

[559] damil2010-05-15 21:01:58

Bocs, elfelejtettem odaírni, hogy közös belső érintő (külsőt se írtam, nem látom honnan szedted). Két közös belső érintő van (kivétel az egyenlő szárúaknál). Az egyikre illeszkedik C és P, és azt állítom hogy a másikra illeszkedik a a beírt kör és az AB oldal érintési pontja.

Előzmény: [558] D. Tamás, 2010-05-15 11:29:15
[558] D. Tamás2010-05-15 11:29:15

Azt az állítást nem teljesen értem. Mit értesz az alatt, hogy a két kis kör közös külső érintője átmegy a beírható kör és az AB oldal érintési pontján? Tekintve, hogy az egyik közös külső érintőegyenese az AB egyenes, és az ABC háromszög beírt köre a háromszög mindegyik oldalát egy pontban érinti, ezért ez az állítás biztosan igaz. Bár szerintem valamit félreértek, mert ez így elég egyszerű feladat.

Megjegyzés: A korábbi állításodhoz, miszerint ha mindhárom oldalon felvesszük a feladatnak megfelelő pontot, és összekötjük a szemközti csúccsal, akkora három egyenes egy pontban metszi egymást csak speciális háromszögben igaz, egyenlőre nekem még csak szabályos háromszögbe bizonyult igaznak az állítás, hiszen ott a megfelelő pontokat a szemközti csúcsokkal összekötve megkapjuk a szabályos háromszög magasságait, s közismert, hogy egy tetszőleges háromszög magasságai egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.

[557] damil2010-05-15 09:26:55

Igazad van tényleg nem egy ponton mennek át. Számítógéppel rajzoltam meg, és az alapján úgy tűnt, hogy egy ponton mennek át. Most csináltam egy ábrát amint nagyon "lapos" a kiinduló háromszög, és ott már látszik hogy nem igaz.

Mi a véleményed a másik állításról? Azt is hasonlóan vettem észre, de még lehet, hogy igaz.

A PC szakasz hosszát meg megpróbálom kijavítani.

Előzmény: [556] D. Tamás, 2010-05-14 23:09:23
[556] D. Tamás2010-05-14 23:09:23

Az, hogy igaz-e az az állítás, hogy ha minden a háromszög oldalain megszerkesztjük a keresett pontokat,s ezeket a pontokat összekötjük a szemközti csúcsokkal, akkor a keletkező 3 egyenes egy pontban metszi-e egymást nehezebb problémának tűnik. Ebben a problémában jelenleg csak az ún. Ceva-tételt tudom használni, de sajnos nagyon ronda értékekkel kell számolnunk. De valószínűsítem, hogy az állítás nem igaz. (Egyébként honnan sejted ezt az állítást? Megszerkesztetted a kívánt háromszöget?)

Egyéb érdekesség: Ha megszerkesszük a c oldalon a feladatból ismert P pontot, és a többi oldalon is hasonló eljárással a Q és R pontokat, akkor azt vehetjük észre, hogy PC2+QA2+RB2=s2 ahol s az ABC háromszög félkerülete!

[555] D. Tamás2010-05-14 22:21:08

A PC szaksz hossza nem jó. Ha ilyen "ronda" lenne, akkor fel sem adtam volna feladatnak.

[554] damil2010-05-14 16:32:16

Nekem ez jött ki: PC=\frac{a^2-b^2+c^2+\sqrt{a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 + 2 a b c^2 - b^2 c^2}}{2c} Örülnék ha valaki leellenőrizné.

Miközben a B.4269.-es feladatot oldottam észrevettem két érdekes dolgot. A két kis kör másik közös érintője (amelyik nem megy át C-n) átmegy a beírható kör és az AB oldal érintési pontján.

Ha mindhárom oldalon felvesszük a feladatnak megfelelő pontot, és összekötjük a szemközti csúccsal, akkora három egyenes egy pontban metszi egymást.

Bizonyítani nekem még nem sikerült őket.

Előzmény: [553] D. Tamás, 2010-05-13 20:12:11
[553] D. Tamás2010-05-13 20:12:11

A B.4269.-es feladattal kapcsolatban: Határozzuk meg a PC szakasz pontos hosszát az a,b és c szakaszok felhasználásával! Igazoljuk, hogy derékszögű háromszögben ha az átfogón szerkesztettük meg a P pontot, akkor a PC szakasz hossza pontosan megegyezik a derékszögű háromszög területének négyzetgyökével!

[552] HoA2010-05-13 16:27:19

B.4269 megoldása „A KöMaL pontverseny” témában leírtak kapcsán. Tekinsük a feladatot megoldottnak. Legyen ABC\Delta körülírt köre k, beírt körének középpontja O . Az APC és BCP háromszögek beírt k1 , k2 köreinek középpontja O1 ill. O2 . Mivel ezek a körök ABC\Delta 2-2 oldalát érintik, O1 ill. O2 rajta vannak az AO ill. BO szögfelezőkön. A körsugarak egyenlősége miatt O1O2 párhuzamos AB -vel. Ugyancsak az érintés miatt O1C felezi az ACP , O2C a BCP szöget. O1O2C\Delta C-nél levő szöge ezért \gamma/2 . Nagyítsuk az O középpontból az O1O2C\Delta-et úgy, hogy O1 képe A legyen. Ekkor a párhuzamosság miatt O2 képe B lesz. A C pont C’ képe egyrészt rajta van az OC egyenesen, másrészt az AB szakasz \gamma/2 látőszögű, C oldali körívén.

A szerkesztés menete: Rajzoljuk meg az AB szakasz \gamma/2 látószögű körívét a C -t tartalmazó oldalon. Ennek a CO egyenessel alkotott metszéspontja C’ .Húzzunk párhuzamost C-n keresztül AC’ -vel, metszéspontja AO -val legyen O1, valamint C-n keresztül BC’ -vel, metszéspontja BO -val legyen O2. Az O1 középpontú, AB -t érintő kör C -ből húzott, AC -től kölönböző érintője metszi ki AB -ből P-t.

Igazolás: ABC’\Delta és O1O2C\Delta hasonlósága miatt O1O2 párhuzamos AB -vel, e középpontok körüli AB-t érintő körök sugara egyenlő. O1 és O2 rajta vannak az AO ill. BO szögfelezőkön, ezért e körök az AC ill. BC oldalakat is érintik. Legyen ACO1\angle=\gamma1 , BCO2\angle=\gamma2 . \gamma1+\gamma2=\gamma-\gamma/2=\gamma/2 Az érintés miatt PCO1\angle=ACO1\angle=\gamma1 , így PCO2\angle=\gamma2.\gamma1-\gamma2=\gamma\gamma/2-\gamma1=\gamma/2-\gamma1=\gamma2 , tehát CP az O2 körüli BC -t érintő kört is érinti.

[551] vogel2010-05-12 22:20:15

Szerintem a szerkesztőségben kéne ócsárolni a feladatokat, szemtől szemben. Esetleg javasolni feladatot.

Előzmény: [540] Róbert Gida, 2010-05-12 18:14:10
[550] Tibixe2010-05-12 22:16:20

Nem várom, hogy megoldja ( biztos van jobb dolga ), de legalább mérje fel, hogy nem könnyű.

Előzmény: [548] m2mm, 2010-05-12 22:08:40

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]