Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[771] meowmeow2013-03-14 16:06:23

B.4521-re első körben F1, F2, F3, M C egy körön vannak: ez trivi, kb szögszámolgatás, innét szerintem legegyszerűbb a C-re való inverzió, ekkor a két kis kör két párhuzamos egyenes lesz, a nagy kör meg ezeket érinti belülről, az érintő kör meg vele egyenlő sugarú lesz, és érinti ezeket. Innét minimális számolással (a C-n átmenő kör egyenes lesz) adódik az állítás.

[770] w2013-03-14 15:41:55

Pontosítás: a konstans-együttható nulla.

Előzmény: [767] w, 2013-03-14 13:56:27
[769] w2013-03-14 15:41:18

B.4520-hoz nem kell Titu-lemma, van könnyebb megoldás is. Legyen p:=(y+z)/2, q:=(z+x)/2, r:=(x+y)/2. Ha ezekkel számolunk, a közepek közötti becslések nem lesznek olyan élesek. Átírva a feladatbeli kifejezést:

S=a^2\cdot\frac{-p+q+r}{2p}+...=\bigg(\frac{a^2q}{2p}+\frac{b^2p}{2q}\bigg)+\bigg(\frac{b^2r}{2q}+\frac{c^2q}{2r}\bigg)+\bigg(\frac{c^2p}{2r}+\frac{a^2r}{2p}\bigg)-\frac{a^2+b^2+c^2}2

Ezt háromszor AM-GM-mel becsüljük, ekkor a, b, c háromszögoldalak mellett teljesül az összefüggés. (További vizsgálat a hivatalos megoldás szerint.)

[768] w2013-03-14 15:25:38

B.4515 megoldása.

Tekinthetjük a második dobást (1+2+3+4+5+6)/6=3,5-nek. Ugyanis a nyeremény várható értéke még egy dobás esetén ennek felel meg. Így elég csak az első dobással foglalkozni, illetve annak következményeivel. Feltehető még, hogy a játékos stratégikusan játszik.

Legyen az első dobás eredménye "a", a zseton ára "x". A játékos elméletileg választhat: 100a-x, vagy 350a-2x legyen a nyeresége. Akkor dob másodszor, ha 100a-x<350a-2x, azaz x/250<a.

Innen próbálgatással kapható, hogy 500<x<750. Tehát összességében a következő egyenletet elég megoldani:

100(1+2)-2x+350(3+4+5+6)-8x=0

6600=10x, x=660.

Ha a zseton ára 660 pénzegység, az üzemeltetőnek pont nulla a várható nyeresége. Tehát ennél nagyobb árú zsetonok kellenek.

-

Megjegyzés Róbert Gidának: a pénzegységet én választom meg :P (a játékot nyilván forintra találták ki) amúgy ha szigorúan vesszük igazad van :-) Azért nem így írtam a beküldött dolgozatban.

Előzmény: [765] Róbert Gida, 2013-03-13 22:38:27
[767] w2013-03-14 13:56:27

g-nek nincs konstansegyütthatója, így osztható x-szel. Mellesleg, minden értéke p-vel osztható.

Előzmény: [766] Maga Péter, 2013-03-14 09:24:04
[766] Maga Péter2013-03-14 09:24:04

Először bizonyítsuk be, hogy f és f* konstans tagja ugyanaz. Milyen szükséges feltételt kapunk ebből g-re?

Előzmény: [764] w, 2013-03-13 19:28:01
[765] Róbert Gida2013-03-13 22:38:27

Fent van már a megoldás. Bár attól elég távol van, arról sokat nem ír, hogy hogyan jött ki a megoldás. Javítóként ilyenre 0 pontot adtam volna másolás gyanúja miatt.

Egyébként az általános esetben is mindig van optimális tiszta stratégia, azaz olyan, hogy minden x-re px az nulla vagy egy. (Ezt könnyű látni).

Forintot meg ne írj, a feladat nem beszélt forintról, a megoldás sem.

Előzmény: [763] w, 2013-03-13 17:06:41
[764] w2013-03-13 19:28:01

Jó nehéz volt a mostani A582. Van arra bizonyításom, hogy g fokszáma p-nél kisebb. Hogyan tovább? Van-e megoldásotok?

Előzmény: [756] w, 2013-02-18 19:52:13
[763] w2013-03-13 17:06:41

Nem írtak ki a következő feladatra megoldást:

B.4515. Zseton bedobása után a játékautomata feldob egy szabályos játékkockát, majd megmutatja a dobás eredményét. Választhatunk: (1.) felvesszük a nyereményt - ami a dobott szám értékének 100-szorosa - és a játék véget ér, vagy (2.) újabb zsetont dobunk az automatába. Az utóbbi esetben a gép ismét dob, és a nyeremény a két dobott szám szorzatának a 100-szorosa. A játék legkésőbb a második dobás után véget ér. Legalább mennyi legyen a zseton ára, hogy az automata üzemeltetőjének hosszú távon nyeresége legyen?

____________________________________________________________________________________________________________

Tisztázásra vár, hogy mi a feladat helyes megoldása, hogy kell értelmezni a feltételeket. Nekem 660 jött ki, de érdekel a Ti megoldásotok is.

Igazoljuk, hogy ha a zseton ára 650 forint, a matematikus játékos számára nyereséges volna a játék.

Ezenkívül megkérdezném, mi volna, ha 1-től n-ig lehetnek a dobott számok, illetve ha más-más szorzót kap a dobott szám a kétféle körben. Mi van, ha három kör is van?

[762] w2013-03-13 07:20:17

B.4516. Mivel van 45 fokos szög, ezért TaFb és TbFa oldalfelező egyenesek ---> Euler-vonal.

[761] w2013-03-12 20:31:06

Már tudjuk, hogy semennyi :)

Előzmény: [755] Róbert Gida, 2013-02-18 17:01:51
[760] w2013-02-26 20:17:37

Igen. A.578 - köszönöm a segítséget.

Előzmény: [759] Fálesz Mihály, 2013-02-26 09:10:50
[759] Fálesz Mihály2013-02-26 09:10:50

Végiggondoltad már, hogy a Sawayama-lemma bizonyításait hogy lehet átírni kívülről érintő körre?

Előzmény: [756] w, 2013-02-18 19:52:13
[758] Fálesz Mihály2013-02-26 09:08:35

A nagy csendre való tekintettel,

Segítség az A.578.-hoz. Legyen f(x1,...,xk) egész együtthatós polinom, és p1,...,pk különböző prímszámok. Bizonyítsuk be, hogy

(1) Az f(\pm\sqrt{p_1},\dots,\pm\sqrt{p_k}) alakú számok szorzata egész szám.

(2) Ha f(\pm\sqrt{p_1},\dots,\pm\sqrt{p_k}) alakú számok közül valamelyik nulla, akkor mindegyik nulla.

Előzmény: [756] w, 2013-02-18 19:52:13
[757] w2013-02-21 15:41:58

Mi több, a B.4491. megoldása is könnyű.

Előzmény: [745] w, 2013-02-13 19:13:33
[756] w2013-02-18 19:52:13

Az A.580 feladat az A.574 feladat továbbgondolása, és az A.574 feladatra is csak 1 helyes megoldás érkezett. Habár az internetre raktak megoldást (A.574-re), szerintem A.580-ra legfeljebb 3 jó megoldás érkezhetett. Úgy tűnik, a szükséges elméleti háttér sajnálatosan mélyen belenyúlik az egyetemi tananyagba.

A.579 is kissé szerencsétlen volt, nem tudom, ki tud(hat) a Sawayama-lemmáról.

A decemberi feladatok jók voltak, szerintem az első kettőre rá lehetett volna jönni (???), de nagyon sokat kellett volna rajtuk gondolkozni.

Az A.572 nem tűnt olyan nehéznek a statisztika alapján, az A.570 és A.578 feladattal együtt örömmel látnék rájuk megoldást.

Előzmény: [755] Róbert Gida, 2013-02-18 17:01:51
[755] Róbert Gida2013-02-18 17:01:51

Szoros lesz az idén ez a nemhivatalos online A pontverseny. A580-ra vajon hány megoldás érkezett? Nem tűnt valami egyszerűnek a bizonyítás.

[754] w2013-02-16 21:54:33

A.573. Legyen D={0,1,2,...,9} a számjegyek halmaza, és R\subsetD×D rendezett számjegypárok egy halmaza. Azt mondjuk, hogy egy (a1,a2,a3,...) végtelen számjegysorozat kompatibilis R-rel, ha (aj,aj+1)\inR minden j pozitív egészre. Határozzuk meg a legkisebb olyan K pozitív egészt, amire igaz, hogy ha egy tetszőleges R\subsetD×D halmaz legalább K különböző számjegysorozattal kompatibilis, akkor R végtelen sok számjegysorozattal kompatibilis.

Megoldásvázlat. Keressük azt a K számot, melyre lesz végtelen sok számjegysorozat, ami megfelel a feltételeknek, azonban (K-1)-re ezt már nem mondhatjuk biztosan. Így K-1 a sorozatok számának véges maximuma. A továbbiakban feltesszük, hogy a sorozatok száma véges.

Vegyünk egy olyan gráfot, melynek csúcsai D elemeit (a számjegyeket) jelentik, a csúcsokat irányítot szakaszok kötik össze, ezzel jelképezve az R halmaz rendezett párjait (az irány a pár első tagjából a másodikba mutat, egy csúcs önmagába is irányíthat). A végtelen sorozatnak az felel meg, hogy egy adott csúcsból indulva, a "nyilaknak" megfelelően utazva végtelen sokáig tekereghetünk a gráfban.

Első lépésben azt látjuk be, hogy a végtelen számjegysorozat periodikus. A sorozatban lesz végtelen sokszor fellépő azonos d számjegy (skatulyaelv), tekitsük az első hármat, ami a sorozatban előfordul. Ha ezek között más-más számjegysor szerepel, akkor végtelen sok sorozat lehetne, mert két módon is eljuthatunk a d-ből önmagába (a szorzási szabállyal 2.2....=\infty sorozat lehetne). Ugyanez elmondható a második háromra stb., a sorozat periodikus. Hasonlóan igazolhatjuk, hogy ez a periódus legfeljebb 10 számjegyet tartalmaz.

Ezután az R-t jelentő gráfban végzünk maximalizáló operációkat. Ki-ki lássa be, hogy valóban ezek optimalizálják a gráfhoz tartozó K(R) számot; a végső gráftól eltérő gráf esetén mindig végezhetünk ilyen operációt. Megvizsgáljuk a gráf részeit. A végtelen sorozat periódusainak megfelelő körök lesznek (1.), ezekbe más csúcsok irányítanak (akár közvetetten is) (2.), továbbá vannak olyan csúcsok is, amelyek semelyik körhöz sem kapcsolódnak (3.). Először minden kört összekapcsolunk nyakláncszerűen egy körré. A (3.) csúcsokat irányítsuk a körbe. Láthatjuk, hogy K(R) akkor is növekszik, ha ezeket egy (2.) típusú résszé olvasztjuk össze. Azaz, olyan gráfot kaptunk, ami csak egy-egy (2.) és (1.) típusú részt tartalmaz. Végül láthatóvá válik, hogy akkor a legjobb, ha R={(0,1);(0,2);...;(0,9);(1,2);(1,3);...;(1,9);...;(9,9)}, és ekkor K=29+1=513.

[753] w2013-02-15 21:27:02

Nem raktak az A.578. feladatra megoldást, úgyhogy ha lehet, megkérném a Fórumozókat, hogy segítsenek megoldást találni.

Nekem az (a) rész sikerült (illetve hátramaradt, hogy P(n) nem nulla). Szorozzuk össze képzeletben a zárójeleket. Vizsgáljuk meg azokat a kapott tagokat, amelyben \sqrt k ak-szor szerepel. Ha \forallak páros, akkor a kapott tag egész lesz, ne foglalkozzunk ezekkel a tagokkal (még). Legyen tehát valamely ak páratlan. Tekintsük a zárójeleknek olyan egyértelmű párosítását, melyre egy zárójelpár minden tagjának ellentétes előjele van, kivéve \sqrt k-nak (pl. n=4, k=2 esetén egy ilyen pár: -\sqrt1+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4 és \sqrt1+\sqrt2-\sqrt3-\sqrt4). Vizsgáljuk meg, hogy egy-egy tag melyik zárójelekből melyik számokból szorzódhatott össze (tehát egy lehetséges szorzótényező-választást figyelünk meg), és minden zárójel helyett a zárójel ily módon megadott párjából válasszuk a megegyező abszolútértékű számot. Ekkor ak paritása miatt az eredetivel ellentétes előjelű lesz a kapott tag. Tehát ezzel bemutattunk egy bijekciót a kétféle előjelű megfelelő tagokból, ezért "kiejtik" egymást. Innen P(n) egész szám.

Ha valaki tud mondani a (b) részre egy jó számolást, azt nagyon megköszönném. A P(n)>0 állítás bizonyítása talán a többi keletkezett tag megszámolásában rejlik.

[752] w2013-02-15 20:17:41

Azt értettem a korábbi hozzászólásom alatt, hogy a feladatot már korábban kitűzték általánosítva, így a januári feladat megoldását kitartó böngészéssel is meg lehetett volna találni... Persze a feladat 6-7. osztályos versenyfeladat-szint, úgyhogy mire kikeressük a feladatot, addigra 15-ször megoldhatnánk :-) Teljesen igazad van.

Előzmény: [749] rizsesz, 2013-02-14 11:27:25
[751] w2013-02-15 20:09:06

Köszönöm a megoldásokat, én éppen a Fálesz-féle sorozatra gondoltam, de a harmadik megoldás is nagyon tetszik.

Előzmény: [750] Róbert Gida, 2013-02-14 21:32:45
[750] Róbert Gida2013-02-14 21:32:45

Igen, ez egyszerűbb, mert nem kell hozzá végtelen sok prím létezése.

Harmadik bizonyítás: legyen a(n)=3*22n, ha n>0. Legyen néhány ilyen összege s, és ak a legkisebb benne, ekkor könnyen látható, hogy s=22k*(4*t+3). Így ha s teljes hatvány, akkor szükségképpen négyzetszám is (mert 2 kitevője s-ben 2 hatvány), de akkor 4*t+3 is, ellentmondás.

Előzmény: [747] Fálesz Mihály, 2013-02-14 06:38:32
[749] rizsesz2013-02-14 11:27:25

Ennel kicsit rovidebb azert az, hogy a 11-gyel oszthatosag elbol 7 lehetseges esetre redukal (33-99). Konnyeden kiesik a 44 es a 66, azert, mert 6-ra vegzodo negyzetszamok, tehat utolso elotti jegyuk paratlan, a 33, 55, 77 es 99 pedig azert, mert utolso elotti jegyuk paros.

Előzmény: [745] w, 2013-02-13 19:13:33
[748] Ali2013-02-14 10:18:33

A.574 megoldásában f^{(\nu)}(1) valószínűleg p^{(\nu)}(1) akar lenni, (\nu) meg a \nu -edik deriváltat akarja jelenteni.

[747] Fálesz Mihály2013-02-14 06:38:32

A 2.6n alakú számokat is választhatjuk.

Ha n1<...<nk, akkor S=2.6n1+...+2.6nk=2n1+1.3n1(1+6n2-n1+...+6nk-n1) prímtényezős felbontásában a 2 és a 3 kitevője n1+1, illetve n1, ezek relatív prímek, tehát S nem lehet teljes hatvány.

Előzmény: [746] Róbert Gida, 2013-02-13 20:25:50

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]