Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[84] SAMBUCA2005-02-22 03:32:47

Na hell!

Ha vakinek van megoldása az A.363.-ra akkor beírhatná. Nagyon kiváncsi lennék...

SAMBUCA

[83] Szabó Dániel2005-02-19 20:00:21

Visszatérve a P. 3722. feladatra, melynek megoldása most jelent meg a KöMal-ban: az itt és Pecu által említett megoldásnál van egy egyszerűbb is. A tömegek és a tömegközépponttól való távolságok fordítottan arányosak.

[82] SAMBUCA2005-02-18 15:30:09

Bocs!

Akarom mondani n-dimenziós kockát n db különböző méretű n-dimenziós kockával kellene lefedni.

SAMBUCA

Előzmény: [81] SAMBUCA, 2005-02-18 15:17:54
[81] SAMBUCA2005-02-18 15:17:54

Helló!

Szerintem a feladat simán általánosítható n dimenzióra úgy, hogy a megfelelő méretű n-dimenziós kockát megfelelő méretű (n-1) dimenziós kockákkal fedjük le.

Ui. Kiváncsi lennék, hogy a megoldók hogyan oldották meg, de ezzel szerintem még várjunk 1-2 napot.

SAMBUCA (vajon ki??? \exists\forall )

Előzmény: [80] Strenner Balázs, 2005-02-18 10:58:28
[80] Strenner Balázs2005-02-18 10:58:28

Nekem nagyon tetszett. Viszont érdekes, hogy általánosítható-e a feladat magasabb dimenziókra több kockával. Pl. n-dimnezióban n+1 kockával. Az érzésem az, hogy igen, de nem tudom biztosan. Aki tudja, megírhatja.

Előzmény: [79] SAMBUCA, 2005-02-16 21:34:37
[79] SAMBUCA2005-02-16 21:34:37

Sziasztok!

Hogy tetszett az A pontversenyben a januári 2. feladat? :)

SAMBUCA

[78] rizs2005-01-22 11:16:30

a P.3735.-re godoltam :)

[77] Pecu2005-01-14 14:26:57

Sziasztok!

Az Iron által elkezdett hagyományt folytatva felírnám a P.3722. feladat eredményét. Ha jól emlékeszem közel 350 dolgozat érkezett, a fele lett három pontos, a másik fele pedig 0 pontos (szerintem ez lehet a másik feladat, aminek a statisztikája "megdöbbentő"), elvétve akadt csak 1 vagy 2 pontos. A baj az volt, hogy sokan azt írták, akkor lesz az A pont a súlypont, ha a háromszög és a négyzet területe megegyezik, mások pedig azt, ha a háromszög és a négyzet súlypontja egyenlő távolságra van az A ponttól. Ez pedig nem igaz, hiszen ha a két terület egyenlő, akkor a súlypontjuk nem egyenlő távolságra lesz A-tól, vagyis nem lesz 0 a forgatónyomaték, ugyanez a helyzet a másik esetben is. Szóval ezek a megoldások elvi hibásak, ezért a 0 pont. 1 vagy két pontot annak megfelelően adtam, hogy csak kisebb vagy komolyabb számolási hibák voltak a dolgozatban. A helyes megoldás az, ha a háromszög és a négyzet által az A pontra kifejtett forgatónyomatékok egyenlőségét vizsgáljuk, és a helyes b/a arány \frac{\sqrt{13}}2. Remélem ez így megfelel.

Üdv, Pecu

[76] rizs2005-01-12 23:48:42

hasonlóan az említett p feladathoz, a k.11. statisztikája is elég megrázó. 6 pontos dolgozat lett? :)

[75] eron2005-01-12 13:52:06

Sziasztok! Ironnak sikerült olyan hosszú téli álmot aludnia, hogy elfelejtette a jelszavát, így eron néven született újjá.. Néhány lelkes kritikus jelezte, hogy jó lenne, ha a javítók közül, akinek van rá lehetősége, a dolgozatok lepontozása után az általa javított megoldások típushibáiról, és a jó megoldásról szólna néhány szót. El is kezdeném :) A P. 3725.-ös feladatra több mint 400-an küldtek megoldást, ebből 10 4-pontos, >200 3, >100 2, a többi 1 és 0, ez engem is feldühítene első ránézésre :). Az történt ugyanis, hogy az emberek elég nagy többsége a víz hőtágulását a megadott tartományban állandónak tekintette, ami a sűrűségértékeket megnézve nem teljesen igaz. Ha emellett minden jó, akkor kapott vki 3 pontot. Pontos eredmény úgy adódna, ha azt is beleszámolnánk, hogy a kifolyó víz sűrűsége, hőmérséklete, stb. nem állandó, ha a kifolyás folyamatával számolunk, akkor ez elég hosszadalmas; egészen egyszerűen fel lehet azt írni, hogy a 20 fokos vízsűrűséggel mekkora tömegű víz fér el az eredeti térfogatú bojlerbe, majd 80fokon, a már kitágult bojlerben (hiszen az is tágul, különben minek mondták volna meg, hogy acél?) mekkora tömegű a víz. A maradék tömeg nyilván kifolyik, ennek a térfogatát pedig lehet becsülgetni, de nem változtat sokat a végeredményen, hogy változik a hőmérséklete. Annak ellenére, hogy a víz hőtágulási együtthatójának a változása a megadott tartományban aránylag nem túl nagy, a fél literrel összehasonlítva számottevő különbség adódik: a "3 pontos" módszer a víz új térfogatára 0,68l körüli értéket ad, a valódi érték pedig (emlékeim szerint) 2,2l körül van, vagyis arányaiban nagy az eltérés. További pontlevonás: ha a tartály tágulásával nem foglalkozik vki, elszámolja, vagy elvi hiba.

Remélem, ez korrekt. Üdv: Áron

[74] Kós Géza2004-11-11 12:06:55

Igen, ez az egyik megoldás. Gratulálok.

(A bekarikázott csempéket máshogy is meg lehet találni, például a legalsó sor valamelyik szélén.)

Előzmény: [73] Strenner Balázs, 2004-11-11 09:30:40
[73] Strenner Balázs2004-11-11 09:30:40

Kedves Géza!

Sokat gondolkoztam az A.344. feladaton, de végre sikerült találnom egy megolást. Remélem jó.

Tegyük fel, hogy van egy zárt hurok. A \sqrt2 hosszú oldalakat figyelmen kívül hagyva egy kígyószerű képződményt kapunk, aminek van egy belső határvonala (az ábrán piros), ami gráfos nyelven szólva nem tartalmazhat kört(mivel a hurok lyukmentes), tehát "fa". Ezért a fán haladva egyszer elérünk egy olyan rácspontba, amiből 3 irányba legfeljebb 1-1 ág indul, de összesen legalább 1. Vizsgáljuk ezeket a végződéseket. Az ábrán feltüntettem a szóba jövőket, ezek közül csak a bekarikázott lehetséges. Ekkor viszont a 3 csempét ki lehet cserélni 1-re, amivel rövidebb hurkot kapunk. És kész a végtelen leszállás.

Előzmény: [60] Kós Géza, 2004-06-04 10:25:03
[72] jenei.attila2004-08-17 14:24:27

Én is a rekurzió karakterisztikus egyenletéből kaptam a zárt alakot, amelynek komplex gyökei vannak, és a komplex számok hatványozására vonatkozó Moivre képletből (azt hiszem így hívják) adódik a zárt alak. Közvetlenül felismerni pedig szerintem nagyon nehéz lenne. A Csebisev polinomokkal való összefüggést esetleg észre lehet venni, de azok koszinuszos előállítását is ismerni kell.

Előzmény: [71] Kós Géza, 2004-08-17 14:13:35
[71] Kós Géza2004-08-17 14:13:35

A nevezőből az következik, hogy an értéke sohasem lesz pontosan 1, mert soha sem lesz egész szám.

A koszinuszos alak nem igazán kerülhető ki. El lehet mondani persze a megoldást úgy, hogy csak titokban tudjuk, hogy koszinuszokról van szó, de az ugyanaz.

A kérdés inkább az, hogy mennyire lehet kitalálni a koszinuszos alakot. Aki nem ismeri fel közvetlenül, az még kezelheti a sorozatot lineáris rekurzív sorozatként is, abból is kiderül. De erről inkább valaki olyan nyilatkozzon, aki meg is oldotta a feladatot. :-)

Előzmény: [70] jenei.attila, 2004-08-17 13:39:49
[70] jenei.attila2004-08-17 13:39:49

Igaz. Ezek szerint az an=cos(n*arccos(1/3)) összefüggésből azonnal következik a feladat állítása. Az igaz, hogy a rekurzióból kiolvasható hogy an nevezője 3n, de ebből hogyan következik a feladat állítása? Van -e olyan megoldás, ami nem használja fel a koszinuszos zárt alakot?

Előzmény: [69] Kós Géza, 2004-08-17 12:57:07
[69] Kós Géza2004-08-17 12:57:07

Szia Attila,

A feladat megoldásához nem szükséges bebizonyítani, hogy {\rm arc~cos}\frac13 irracionális. Ha racionális lenne, akkor az (an) sorozatban végtelen sokszor szerepelne az 1, és az állítás akkor is igaz volna.

Abban igazad van, hogy a Csebisev-polinomok egy kis kerülőt jelentenek. A rekurzióból --- ami a feladat szövegében is szerepelt --- közvetlenül kiolvasható, hogy an nevezője 3n.

Előzmény: [68] jenei.attila, 2004-08-17 11:00:07
[68] jenei.attila2004-08-17 11:00:07

Szia Géza!

Bocs, előbb valami hiba történt.

Köszi a megoldást. Egyébként a B.3740-es feladatról volt szó, ugyanis az ott szereplő rekurzív sorozat zárt alakja: an=cos(n*arccos(1/3)). Mivel arccos(1/3) irracionális, ezért cos(n*arccos(1/3)) tetszőlegesen közel kerülhet 1-hez. Én is a csebisev polinomokra gondoltam, csak már nem emlékeztem rá, hogy a cos(n*arccos(x)) polinomban nem 1 -e a főegyüttható (de ezek szerint nem). Egyébként a feladat viszonylag ártalmatlannak néz ki ahhoz, hogy a Csebisev polinomokat kellene bevetni. Van ennek valami egyszerűbb megoldása is? Persze a rekurzióból leolvasható, hogy an=Tn(1/3), és esetleg meg sem kell említeni, hogy itt a Csebisev polinomokról van szó, mégis ha valaki nem ismeri, elég nehezen jön rá, hogy pont egy ilyen polinom sorozatot definiáljon.

Előzmény: [66] Kós Géza, 2004-08-17 08:55:37
[67] jenei.attila2004-08-17 10:57:36

Szia Géza!

Köszi a megoldást. Egyébként a B.3740-es feladatról volt szó, ugyanis az ott szereplő rekurzív sorozat zárt alakja:

Előzmény: [66] Kós Géza, 2004-08-17 08:55:37
[66] Kós Géza2004-08-17 08:55:37

A {\rm arc~cos}\frac13 szám irracionális.

Jelöljük az n-edik Csebisev polinomot Tn-nel; ez az a polinom, amelyre cos n\alpha=Tn(cos \alpha). Például T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2-1, T3(x)=4x3-3x.

A Tn polinomokra sok érdekes összefüggés ismert, például Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x). Ebből a rekurzióból máris leolvasható az a két tulajdonság, amire most szükségünk lesz:

a) A Tn polinom pontosan n-edfokú és mindegyik együtthatója egész;

b) A fő együtthatója 2n-1.

Ha \alpha={\rm arc~cos}\frac13 fokban kifejezve mégis racionális lenne, akkor lenne olyan n\alpha többszöröse, ami egész és még 360 fokkal is osztható. Erre az n számra legyen Tn(x)=2n-1xn+an-1xn-1+...+a1x+a0; ekkor

3nTn(1/3)=Tn(cos \alpha)=3ncos n\alpha=3n,

2n-1+3an-1+9an-2+...+3na0=3n.

Minden tag osztható 3-mal, kivéve a 2n-1-t, ez pedig lehetetlen.

Előzmény: [65] jenei.attila, 2004-08-16 17:33:56
[65] jenei.attila2004-08-16 17:33:56

Egy KÖMAL feladattal kapcsolatban merült fel a következő kérdés: vajon arccos(1/3) fokban kifejezve irracionális -e?

[64] Káli gúla2004-07-05 12:15:08

Sziasztok! Kedves nadorp!

Az an és az 1/n harmonikus közepe helyett elég a minimumról belátni, hogy divergens. Ha A-val jelöljük azt a halmazt, ahol 1/n\leqan, akkor feltehetjük, hogy ezen az A halmazon \sum 1/n konvergens, és azt is, hogy \sum a_n divergens. Mivel an monoton és az A halmaz kicsi, ezért a \sum a_n sor az A komplementerén --ahol a \sum \min (a_n, 1/n) sorral azonos-- még inkább divergens lesz.

Előzmény: [63] nadorp, 2004-06-30 07:48:30
[63] nadorp2004-06-30 07:48:30

Sziasztok !

Ha valamilyen apró ötletet tudtok adni az A 348. feladathoz, azt nagyon megköszönném.

N.P.

[62] Pach Péter Pál2004-06-09 22:27:45

A B. 3699.-es feladat egyben a "Kavics Tanár Úr Pályázat" 2. feladata is volt. A lapban közölt megoldásnál szerintem elegánsabb megoldást olvashattok itt.

[61] Hajba Károly2004-06-04 10:45:00

Kedves Géza!

Túlzottan nem csodálkozom, hogy nem értesz mindent, mivel a fejemben sem állt még össze a kép teljesen, s a sok firkámat nem tudtam hirtelen feldolgozni, hogy érthetőbb legyen, amit gondoltam.

Hozzászólásodból kisejlik, hogyha jó is az elképzelésem, nagyon-nagyon izadtságszagú és lenne elegánsabb megoldás is.

Ha lesz egy kis időm, mindenképpen szeretnék még foglakozni vele.

Üdv: HK

Előzmény: [60] Kós Géza, 2004-06-04 10:25:03
[60] Kós Géza2004-06-04 10:25:03

Őszintén szólva, nem minden részletet értek... :-)

Az viszont biztos, hogy félreérthetően fejezhettem ki magam korábban. Én lényegében két különböző megoldást ismerek. Az egyik megoldás közvetlenül, a hurkok átrendezése nélkül bizonyítja, hogy minden hurok belseje páratlan számú négyzetből áll.

A másik megoldás a végtelen leszállás; ez minden teljesen kitöltött hurokból konstruál egy még kisebbet. (Lehetséges, hogy a paritás is kiderül, ha a megoldást kicsit ügyesebben mondjuk el.)

* * *

A feladatot a versenyben összesen ketten oldották meg, mindketten a végtelen leszállást találták meg.

Előzmény: [59] Hajba Károly, 2004-06-03 23:24:30

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]