Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[524] Róbert Gida2010-04-14 22:03:59

Pontosan nem ismerjük, az egyetlen ismert nemtrivi klasszikus Ramsey szám hipergráfokra az r3(4,4)=13. Felső becslésként a feladatra, bár lehet, hogy ismernek jobbat is, ezt kaptam: (r2 helyett r-et írok a gráfos Ramsey számoknál).

r(5,11)\ler(4,11)+r(5,10)\le191+442=633

r(5,12)\ler(4,12)+r(5,11)\le238+633=871

r(5,13)\ler(4,13)+r(5,12)\le291+871=1162

r3(4,5)\ler(r3(3,5),r3(4,4))+1=r(5,13)+1\le1162+1=1163

Azaz már 1163-ra is igaz, 11000 helyett. Bár ez a számolás használja a fenti ismert Ramsey számot, és 4 nemtrivi felső becslést a sima Ramsey számokra, lásd például itt

http://www.emis.de/journals/EJC/Surveys/ds1.pdf

Előzmény: [521] m2mm, 2010-04-14 20:30:31
[523] vogel2010-04-14 22:00:18

Ezért írtam az utolsó mondatom. És nem is az A-ra írtam a hsz-em, inkább a B-re.

Előzmény: [522] Tibixe, 2010-04-14 21:39:01
[522] Tibixe2010-04-14 21:39:01

Én konkrétan nem láttam olyan ,,versenyzőt'' aki ebben NEM ismerte fel a Ramsey-tételt még jóval azelőtt hogy nekiállt volna ,,józan ésszel''.

Persze ez csak 4-5 fős minta, de ennél nem sokkal többen küldik az A pontversenyt.

Előzmény: [520] vogel, 2010-04-14 18:17:27
[521] m2mm2010-04-14 20:30:31

És pontosan mennyi r3(4,5) értéke? Nekem becslésként 10626(\binom{24}{4}) jött ki, de az nem biztos, hogy ez a legjobb becslés.

Előzmény: [519] Róbert Gida, 2010-04-14 17:07:58
[520] vogel2010-04-14 18:17:27

Csak éppen a versenyzők 90 százalékának eszébe nem jut a Ramsey-szám, mert még nem is hallott erről. Inkább megpróbálja józan ésszel. Nem az egyetemi tananyaghoz kéne mérni a dolgot. Mondjuk aki A-t csinál, az már tájékozottabb lehet.

Előzmény: [519] Róbert Gida, 2010-04-14 17:07:58
[519] Róbert Gida2010-04-14 17:07:58

A504-es feladat egy sorban következik a halálismert Ramsey tételből. Ennyire potya A feladatot régen láttam.

Ugyanebben a számban a B4257. feladat pedig tulajdonképpen egy konkrét hipergráfos Ramsey szám becslését kéri (5 pontért) r3(4,5)\le11000

[518] Maga Péter2010-03-13 10:31:59

Tegnap este végiggondoltam. Szóval legyen p>3 prím. Ekkor

\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{p-k}\right)=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{p-k+k}{k(p-k)}=p\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{k(p-k)}.

Tehát itt elegendő, hogy a \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{k(p-k)} számlálója osztható p-vel, nevezője pedig nem (a közös nevezőre hozás és egyszerűsítés után). Ezt számoljuk mod p:

\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{k(p-k)}\equiv \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{-k^2}\equiv -\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\equiv -\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{p-1}k^2\equiv -\frac{1}{2}\cdot\frac{(p-1)\cdot p\cdot(2p-1)}{6}\equiv 0.

A 6 miatt nem megy ugyanez p=3-ra, p=2-re pedig már az első lépésben használt párosítás sem működik

Előzmény: [515] Maga Péter, 2010-03-12 13:47:26
[517] Tibixe2010-03-12 19:01:30

Erről a tételről nem is tudtam

( Wikipedián alig mutat oda link, biztos azért :) ).

[516] Róbert Gida2010-03-12 14:20:13

Tényleg, wikin is fent van. Ezzel kb. 2 perc munka megoldani az A feladatot. De a 4-edik jegyre még mindig nem látom a bizonyítást, azaz hogy miért lenne: \sum_{i=1}^{p} \binom{i\cdot p}{p}\cdot\binom{(p-i+1)p}{p} \equiv \binom{p+2}{3} \mod {p^4}, ha p>5 prím. (Ez p=2,3,5-re nem igaz.)

Előzmény: [515] Maga Péter, 2010-03-12 13:47:26
[515] Maga Péter2010-03-12 13:47:26

Az 0, ha p>3. Ha jol emlekszem Wolstenholme-tetel neven fut, bar annyira azert nem nehez. Most nem gondoltam pontosan vegig, de a p>3 feltetel ott jon be, hogy amikor az elso p-s primtenyezot kinyered, akkor utana at tudod pofozni az elso nehany szam negyzetosszegeve (talan p-1), es akkor van egy 6-os a nevezoben, ami p=2,3-ra elrontja a dolgot.

Előzmény: [513] Tibixe, 2010-03-11 23:05:16
[514] Róbert Gida2010-03-12 00:08:54

Ennyire azért nem foglalkoztam vele, csak egy soros programot írtam rá, hogy megnézzem, hogy a többi jegy hogyan alakul.

Amit te kérsz feladatként az viszont a Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből (Aritmetika és algebra) című könyvének 60.a feladata, ami egyébként dupla csillagos, megoldása a könyv végén. Pont ennek a megoldásának az ötletét használtam az én időmben egy hasonló A feladat megoldásához.

Előzmény: [513] Tibixe, 2010-03-11 23:05:16
[513] Tibixe2010-03-11 23:05:16

Hacsak nem vagyok eltájolva, ahhoz meg kéne határozni az első p-1 poz. egész reciprokösszegét modulo p2, amit nem tudom hogy oldasz meg mint p függvénye.

( így csak mod p kell, ami triviális )

Előzmény: [512] Róbert Gida, 2010-03-11 20:16:45
[512] Róbert Gida2010-03-11 20:16:45

(Lejárt) februári Kömalban: B. 4251-ben megkérdezik, hogy mi az utolsó 2 számjegy, A. 501-ben, hogy mi az utolsó 3 számjegye p>3 esetén. Régebben még a Kömal ezt úgy tette volna fel A feladatként, hogy mi az utolsó 4 számjegy p>5 esetén! Talán a 7 már túl nagy prím volt a feladatot ajánlónak, hogy nem nézte meg. Kár érte. \sum_{i=1}^{p} \binom{i\cdot p}{p}\cdot\binom{(p-i+1)p}{p}

[511] janomo2010-01-16 21:09:31

Nem értem, hogy mi a baj, megoldásokat idén már egyáltalán nem fogadnak el határidő után, főleg nem 3 nappal később.

Előzmény: [508] Róbert Gida, 2010-01-16 00:10:47
[510] Maga Péter2010-01-16 20:34:51

A.494. - szép kis Schweitzer-példa, ehhh...:S

Előzmény: [507] Fálesz Mihály, 2010-01-14 19:40:29
[509] Kós Géza2010-01-16 09:15:35

A határidő és a megoldások megjelenése között rövid, de elég idő telt el. Akinek valamilyen gondja volt a beküldéssel, szólhatott (volna).

Előzmény: [508] Róbert Gida, 2010-01-16 00:10:47
[508] Róbert Gida2010-01-16 00:10:47

Beküldési határidő után 3 nappal? Kicsit korainak tűnik, remélem nem élnek vissza vele. Még itt a fórumon is legalább egy hét után írtunk be megoldásokat.

Előzmény: [507] Fálesz Mihály, 2010-01-14 19:40:29
[507] Fálesz Mihály2010-01-14 19:40:29

A. 494., A. 495. és A. 496.

(A megoldások 13-a óta láthatók a fenti címeken.)

Előzmény: [505] Tibixe, 2010-01-12 20:06:28
[506] Róbert Gida2010-01-14 17:09:29

Komal.hu-n is megtalálod.

Előzmény: [505] Tibixe, 2010-01-12 20:06:28
[505] Tibixe2010-01-12 20:06:28

Az A496 megoldása megvan valakinek?

( nekem csak k\le5 esetben )

[504] Fálesz Mihály2010-01-12 17:19:57

Segítség: tükrözd a D pontot az AB és AC oldalakra.

Előzmény: [503] S.Ákos, 2010-01-12 14:00:47
[503] S.Ákos2010-01-12 14:00:47

A.495.-re tudna valaki mutatni megoldást? Köszönöm előre is. S.Á.

[502] HoA2010-01-03 21:51:50

Elegánsabb, ha elhagyjuk az R és T merőleges vetületeket. Jelöljük P1P4 és P3O metszéspontját U-val. S-et mint P1P4 és a P2-n át P3O-val húzott párhuzamos metszéspontját definiáljuk. Ekkor a P2P3US paralellogrammában SU=P2P3=b .

P1P4=1=P1Q-QS+SU+UP4=b-b3+b+b=3b-b3

Előzmény: [500] HoA, 2010-01-03 16:54:49
[501] zotyo582010-01-03 19:19:36

A 2009 emelt szintű 7/II/6.b szerintem helyesen így szólna Az f(x) függvény a téglalap esetén a ]0;9[ nyílt intervallumban értelmezett.

Az eredeti megoldása végtelen lenne, hiszen teljesül az origóra az összes feltétel, így a téglalap egyik oldala a [0;9] az x tengelyen, a másik két oldal az y tengely és az x=9 egyenes, a negyedik oldal eltávolodhat a végtelenbe...

Számomra ez volt a megoldás... Tudom általában értelemszerű a megoldás, de miért ne lehetne így is gondolkozni.

[500] HoA2010-01-03 16:54:49

Szemléletesebb megoldás a B. 4221. feladatra: ( Mutassuk meg, hogy ha az r sugarú körbe írt szabályos 18-szög oldala a, akkor a3+r3=3ar2. )

Legyen az egységsugarú körbe írt szabályos 18-szög oldala b, ekkor azt kell igazolni, hogy b3+1=3b. Ebben a körben a b hosszúságú húrhoz 10o kerületi és 20o középponti szög tartozik. Tekintsük a sokszög O középpontját és egymás utáni P1,P2,P3,P4 csúcsait. A P1P4 húrhoz 60oos középponti szög tartozik, P1OP4\Deltaszabályos, P1P4=1. A P1P2O=H0 20o csúcsszögű egyenlőszárú \Delta-ben az alap és a szár aránya b/1 = b. H0-lal egybevágó a P2P3O és a P3P4O háromszög. P2P1P4\angle=20o, mint a P2P4 ívhez tartozó kerületi szög. P2O és P1P4 metszéspontja Q, P1P4 és P2P3 párhuzamossága miatt P2O és P1P4 80o –os szöget zár be, így a H1=P2QP1\Delta hasonló H0-hoz, P1Q=b, P2Q=b2. Legyen P2 merőleges vetülete P1P4-re R, Q tükörképe R-re S. A H2=QSP2\Delta is hasonló H1-hez, QS=b3, QR=b3/2 . P1R=b–b3/2. Legyen P3 merőleges vetülete P1P4-re T. Hasonlóan adódik, hogy P4T=b–b3/2. A P2P3TR téglalapban RT=P2P3=b.

P1P4=1=P1R+RT+TP4=(b–b3/2)+b+(b–b3/2)=3b–b3 .

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]