Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

Lejárt A909. teljesen triviális, és sokkal rövidebb bizonyítás is van: legyen \(\displaystyle n=2^{p}\), ahol \(\displaystyle p\) prím, ekkor \(\displaystyle n^3-1=2^{3p}-1\). Ha \(\displaystyle q\) prím osztja \(\displaystyle 2^{3p}-1\)-et akkor nézzük a rendjét modulo 2, ez triviálisan osztja \(\displaystyle 3p\)-t, így \(\displaystyle o=1,3,p,3p\) lehet csak. Az \(\displaystyle o=1\) nem lehet, ha \(\displaystyle o=3\) akkor \(\displaystyle q=7\). Egyébként a rend \(\displaystyle p\) vagy \(\displaystyle 3p\), de akkor kis Fermat tétel miatt \(\displaystyle q-1\) osztható \(\displaystyle p\)-vel. Így tetszőleges \(\displaystyle p\geq N+6\) prím esetén az \(\displaystyle n=2^{p}\) megoldást ad, mert csak \(\displaystyle q=7\) illetve \(\displaystyle q\equiv 1\mod {p}\) lehet prímosztó, így a különböző prímosztók különbsége legalább N.

javítom előző hozzászólásomat: A hatvány: \(\displaystyle −6*R^2∗\cos(\alpha)∗\cos(\beta)∗\cos(\gamma)\). A "6"-os tényező lemaradt.

B.5460. feladat. Tehát adott egy \(\displaystyle ABC\) háromszög, az oldalak és szögek a szokott módon vannak jelölve. Legyen \(\displaystyle R\) a háromszög köré írt \(\displaystyle k\) kör sugara. Ennek a \(\displaystyle k\) körnek a középpontja legyen \(\displaystyle O\).

Legyen \(\displaystyle M_A\) a háromszög \(\displaystyle a\) oldalához tartozó magasságának talppontja.

Legyen \(\displaystyle M_B\) a háromszög \(\displaystyle b\) oldalához tartozó magasságának talppontja.

Legyen \(\displaystyle M_C\) a háromszög \(\displaystyle c\) oldalához tartozó magasságának talppontja.

Az \(\displaystyle M_BM_C\) egyenesnek a \(\displaystyle k\) körrel vett metszéspontjaira, és az \(\displaystyle M_A\) pontra illeszkedő kör legyen \(\displaystyle k_A\). Ennek a körnek a középpontja legyen \(\displaystyle O_A\).

Az \(\displaystyle M_CM_A\) egyenesnek a \(\displaystyle k\) körrel vett metszéspontjaira, és az \(\displaystyle M_B\) pontra illeszkedő kör legyen \(\displaystyle k_B\). Ennek a körnek a középpontja legyen \(\displaystyle O_B\).

Az \(\displaystyle M_AM_B\) egyenesnek a \(\displaystyle k\) körrel vett metszéspontjaira, és az \(\displaystyle M_C\) pontra illeszkedő kör legyen \(\displaystyle k_C\). Ennek a körnek a középpontja legyen \(\displaystyle O_C\).

Ekkor kiszámoltam, hogy a háromszög magasságpontjának a három körre vonatkozó hatványa: \(\displaystyle -R^2*\cos(\alpha)*\cos(\beta)*\cos(\gamma)\). A számolás nem volt egyszerű, sőt kimondottan nem volt egyszerű, de az eredmény nagyon egyszerű. Nem lehetne ezt az eredményt egyszerűen belátni?

Továbbá az \(\displaystyle O_A\), \(\displaystyle O_B\), \(\displaystyle O_C\) pontok rendre felezik az \(\displaystyle OA\), \(\displaystyle OB\), \(\displaystyle OC\) szakaszokat.

A B.5460. nyomtatásban megjelent szövegében az E,I,F és F,G,H körök hatványvonaláról kell a bizonyítandót belátni, ami persze nem igaz (még E,J,F-re sem).

Ellentétben a honlapon olvasható E,I,J és F,G,H körök hatványvonalával.

Amúgy szép példa.

Merthogy a B.5450. nyomatatott változatában a d < n feltétel miatt egy jóval könnyebb feladatot kapunk, melynek a megoldása, hogy nincsenek megfelelő pozitív egészek.

Vajon a javítás során az ezt a feladatot helyesen megoldók is 5pontot kapnak?

Ha egy feladat szövegezése lényegesen eltér az online és a nyomtatott verzióban, akkor melyik a mérvadó (B.5450.)?

Mi köze van a kártyalapoknak a most lejárt trigonometrikus egyenlőtlenséghez (B. 5441.)? Ha A + B + C = pi, akkor cosA + cosB + cosC = 1 + 4*sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2), illetve sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = 1 + 4*sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4). Kell: sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4) >= sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

A szögek összege pi/2 mindkét oldalon. Az A/2 és B/2 átlaga: (A+B)/4.

Nézzünk 3 számot: pl. 2, 4 és 6. Vegyük mindig a páronkénti átlagok szorzatát. Az összeg változatlan. A szorzat pedig tart 4*4*4=64-hez monoton növekedve.

2*4*6=48 3*5*4=60 4*4,5*3,5=63 4,25*4*3,75=63,75 ...

2 + 4 + 6 = 3 + 5 + 4 = ...

A példában persze van egy szinuszfüggvény is. Az (0; pi/2)-n monoton.

Láttam már olyan kártyás feladatot, kártyatrükköt, ahol a kártyalap is bement középre.

Kösz, így átfogalmazva már egyértelmű.

A csupa piros sor különleges a definíció szerint. (A megoldás ezzel kezd amúgy.)

Ha így nem tetszik, talán átfogalmazva jobb: "Minden kékre igaz a Feltétel" helyett "nincs olyan kék, amelyre nem igaz a Feltétel". Ez igaz a csupa piros sorra. (Akármi is legyen a feltétel.)

A kékek a főátló alatt vannak, a főátló piros, ekkor az első sorban nincs kék mező.

Akkor az első sor lesz különleges.

A C.1844 feladathoz

Ha a piros főátló alatti összes mező kék, a főátló felettiek (és a főátló is) pedig pirosak, azaz a kék mezőkre i>j.

Ekkor bármely kék színű mező sorában (k-adik sor) minden piros mező a kékektől jobbra (és a főátlóban vagy a főátló felett) helyezkedik el, vagyis az l>k vagy l=k reláció teljesül.

Fentiekből l>k>j vagy l=k>j következik, azaz l>j.

Különleges csak akkor lehet ez a sor, ha (l;j) is piros, de ez a mező l>j miatt szintén a főátló alatt helyezkedik el, ahol minden mező kék színű.

Ilyen színezés elérhető, ha Laci mindig egy főátló alatti - még nem színezett -mezőt színez kékre, míg Ági a feladat feltétele miatt kénytelen annak a főátlóra vett tükörképét pirosra színezni.

Ebben az esetben Ági nem talál különleges sort, ellentétben a bizonyítandóval.

Bemásolod a megoldásod?

Az előző hozzászólásom végét javítom:

⁦\(\displaystyle r^2‒d_A^2=4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)\)

\(\displaystyle r^2‒d_B^2=4y*(z(x‒y)+x(z‒y))/(9b)\)

\(\displaystyle r^2‒d_C^2=4z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)\)

A feltevés miatt: \(\displaystyle 0<a≤b≤c\) azaz \(\displaystyle x≥y≥z>0\).

Ezért \(\displaystyle z‒x≤0\) és \(\displaystyle y‒x≤0\), így \(\displaystyle 4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)≤0\), így \(\displaystyle r≤d_A\), azaz az \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön kívül, vagy annak határán helyezkedik el.

Ezért \(\displaystyle y‒z≥0\) és \(\displaystyle x‒z≥0\), így \(\displaystyle 4z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)≥0\), így \(\displaystyle r≥d_C\), azaz az \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön belül, vagy annak határán helyezkedik el.

B.5435

Én a következőképpen számoltam:

Az áttekinthetőség érdekében a következőképpen fogalmazom át a feladatot:

B.5435. Az ABC háromszög beírt köre a BC=a, AC=b, AB=c oldalakat rendre az \(\displaystyle E_A\), \(\displaystyle E_B\), \(\displaystyle E_C\) pontokban érinti. Legyen továbbá \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontok rendre az \(\displaystyle AE_A\), \(\displaystyle BE_B\) és \(\displaystyle CE_C\) szakaszok A-hoz, B-hez, illetve C-hez közelebbi harmadolópontja. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B,\) \(\displaystyle H_C\) pontok közül legalább egy a beírt kör belsejében vagy határán van.

A megoldáshoz felhasználom, hogy az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számok pontosan akkor lehetnek egy háromszög oldalai, ha vannak olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számok, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle a=y+z\), \(\displaystyle b=x+z\), \(\displaystyle c=x+y\). Ez az állítás a háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával könnyen igazolható. Továbbá ekkor ha \(\displaystyle s\) a háromszög kerületének fele, akkor \(\displaystyle x=s-a\), \(\displaystyle y=s-b\), \(\displaystyle z=s-c\) és ekkor \(\displaystyle s=x+y+z\). Továbbá ekkor \(\displaystyle a≤b≤c\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x≥y≥z\). A továbbiakban így használom az \(\displaystyle a=y+z\), \(\displaystyle b=x+z\), \(\displaystyle c=x+y\) helyettesítéseket, és felteszem, hogy \(\displaystyle 0<a≤b≤c\), azaz \(\displaystyle x≥y≥z>0\). Ekkor bebizonyítom, hogy \(\displaystyle H_C\) biztosan az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön belül vagy annak határán helyezkedik el, \(\displaystyle H_A\) biztosan az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön kívül vagy annak határán helyezkedik el. Az könnyen látható, hogy szabályos háromszög esetén a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontok mindegyike az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt kör kerületén van.

Legyenek α, β, γ az ABC háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaival szemközti szögei. Legyen \(\displaystyle t\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe.

Legyenek \(\displaystyle T_A\), \(\displaystyle T_B\), \(\displaystyle T_C\) pontok az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsainak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaira eső merőleges vetületei.

Legyenek \(\displaystyle m_A=AT_A\), \(\displaystyle m_B=BT_B\), \(\displaystyle m_C=CT_C\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaihoz tartozó magasságai.

Legyenek \(\displaystyle G_A\), \(\displaystyle G_B\), \(\displaystyle G_C\) pontok a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontoknak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaira eső merőleges vetületei.

Legyen \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt \(\displaystyle k\) kör középpontja, és legyen \(\displaystyle r=\sqrt{x*y*z/s}\) ennek a körnek a sugara.

Legyenek \(\displaystyle N_A\), \(\displaystyle N_B\), \(\displaystyle N_C\) pontok rendre a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontoknak az \(\displaystyle E_AO\), \(\displaystyle E_BO\), \(\displaystyle E_CO\) egyenesekre eső merőleges vetületei.

Ekkor a következő számolásokat lehet elvégezni (kevésbé részletezve):

\(\displaystyle T_AE_A=x*|z‒y|/(z+y)\), innen: \(\displaystyle N_AH_A=G_AE_A=2*T_AE_A/3=(2x|z‒y|)/(3(z+y))\).

\(\displaystyle T_BE_B=y*|x‒z|/(x+z)\), innen: \(\displaystyle N_BH_B=G_BE_B=2*T_BE_B/3=(2y|x‒z|)/(3(x+z))\).

\(\displaystyle T_CE_C=z*|y‒x|/(y+x)\), innen: \(\displaystyle N_CH_C=G_CE_C=2*T_CE_C/3=(2x|y‒x|)/(3(y+x))\).

\(\displaystyle m_A=2t/a=2*\sqrt{s*x*y*z}/a\), innen: \(\displaystyle H_AG_A=2/3*m_A=4/3*\sqrt{s*x*y*z}/a\). \(\displaystyle m_B=2t/b=2*\sqrt{s*x*y*z}/b\), innen: \(\displaystyle H_BG_B=2/3*m_B=4/3*\sqrt{s*x*y*z}/b\). \(\displaystyle m_C=2t/c=2*\sqrt{s*x*y*z}/c\), innen: \(\displaystyle H_CG_C=2/3*m_C=4/3*\sqrt{s*x*y*z}/c\).

\(\displaystyle ON_A=|N_AE_A‒OE_A|=|N_AE_A‒r|=|H_AG_A‒r|=((3*x+s)*t)/(3*s*a)\). \(\displaystyle ON_B=|N_BE_B‒OE_B|=|N_BE_B‒r|=|H_BG_B‒r|=((3*y+s)*t)/(3*s*b)\). \(\displaystyle ON_C=|N_CE_C‒OE_C|=|N_CE_C‒r|=|H_CG_C‒r|=((3*z+s)*t)/(3*s*c)\).

A \(\displaystyle H_A\) pont \(\displaystyle d_A=OH_A\) távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól a \(\displaystyle H_AN_AO\) derékszögű háromszögből (\(\displaystyle ON_A\), \(\displaystyle N_AH_A\) befogók, \(\displaystyle d_A=OH_A\) átfogók): \(\displaystyle d_A=\sqrt{ON_A^2+H_AO^2}\)

A \(\displaystyle H_B\) pont \(\displaystyle d_B=OH_B\) távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól a \(\displaystyle H_BN_BO\) derékszögű háromszögből (\(\displaystyle ON_B\), \(\displaystyle N_BH_B\) befogók, \(\displaystyle d_B=OH_B\) átfogók): \(\displaystyle dB=\sqrt{ON_B^2+H_BO^2}\)

A \(\displaystyle H_C\) pont \(\displaystyle d_C=OH_C\) távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól a \(\displaystyle H_CN_CO\) derékszögű háromszögből (\(\displaystyle ON_C\), \(\displaystyle N_CH_C\) befogók, \(\displaystyle d_C=OH_C\) átfogók): \(\displaystyle d_C=\sqrt{ON_C^2+H_CO^2}\)

Elvégezve a számolásokat:

\(\displaystyle d_A=\sqrt{x(+1ayz+4xbz+4xyc)/(9sa)}\)

\(\displaystyle d_B=\sqrt{y(+4ayz+1xbz+4xyc)/(9sb)}\)

\(\displaystyle d_C=\sqrt{z(+4ayz+4xbz+1xyc)/(9sc)}\)

\(\displaystyle r^2‒d_A^2=4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)\)

\(\displaystyle r^2‒d_B^2=4y*(z(x‒y)+x(z‒y))/(9b)\)

\(\displaystyle r^2‒d_C^2=4z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)\)

A feltevés miatt: \(\displaystyle 0<a≤b≤c\) azaz \(\displaystyle x≥y≥z>0\).

Ezért \(\displaystyle z‒x≤0\) és \(\displaystyle y‒x≤0\), így \(\displaystyle 4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)≤0\), így \(\displaystyle r≤d_A\), azaz az \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön kívül, vagy annak határán helyezkedik el.

Ezért \(\displaystyle y‒z≥0\) és \(\displaystyle x‒z≥0\), így \(\displaystyle z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)≥0\), így \(\displaystyle r≥d_C\), azaz az \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön belül, vagy annak határán helyezkedik el.

Még mindig a B.5429 feladattal vagyok:

Segédtétel: Ha az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle M_1\), \(\displaystyle M_2\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) pontok közül az \(\displaystyle M\) pont rajta van az \(\displaystyle M_1\) és \(\displaystyle M_2\) pontok által meghatározott egyenesen, akkor a következő összefüggés teljesül: \(\displaystyle [MM_1K][MM_2L]=[MM_1L][MM_2K]\)

Segédtétel bizonyítása: Legyen \(\displaystyle m_1=MM_1\), \(\displaystyle m_2=MM_2\), ,legyen \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle K\) pont távolságsa az \(\displaystyle M_1M_2\) egyenestől, legyen \(\displaystyle l\) az \(\displaystyle L\) pont távolsága az \(\displaystyle M_1M_2\) egyenestől.

Ekkor \(\displaystyle [MM_1K]=\frac{m_1k}{2}\), \(\displaystyle [MM_2L]=\frac{m_2l}{2}\), \(\displaystyle [MM_1L]=\frac{m_1l}{2}\), \(\displaystyle [MM_2K]=\frac{m_2k}{2}\) teljesülnek.

Ezeket az összefüggéseket beírva a bizonyítandó \(\displaystyle [MM_1K][MM_2L]=[MM_1L][MM_2K]\) összefüggésbe, egyenlőség adódik.

Segédtétel (Pascal-tétel): Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok pontosan akkor vannak egy kúpszeleten, ha az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) egyenesek \(\displaystyle U\) metszéspontja, \(\displaystyle AF\) és \(\displaystyle ED\) egyenesek \(\displaystyle V\) metszéspontja, \(\displaystyle BF\) és \(\displaystyle EC\) egyenesek \(\displaystyle W\) metszéspontja egy egyenesen vannak.

A feladat állításának bizonyítása:

Az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle W\), \(\displaystyle B\) pontok között az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle U\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [CAW][CUB]=[CAB][CUW]\).

Az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle E\) pontok között az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [FAB][FVE]=[FAE][FVB]\).

Az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle W\) pontok között az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle U\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [BDC][BUW]=[BDW][BUC]\).

Az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle W\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle D\) pontok között az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle W\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [BFV][BWD]=[BFD][BWV]\).

Az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle C\) pontok között az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [EDF][EVC]=[EDC][EVF]\).

Az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle W\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle V\) pontok között az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle W\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [CEA][CWV]=[CEV][CWA]\)

Az \(\displaystyle W\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle B\) pontok között az \(\displaystyle W\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [WUC][WVB]=[WUB][WVC]\) (Pascal-tétel: \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle W\) pontok egy egyenesen vannak.)

Összeszorozva az egyenleteket:

\(\displaystyle [CAW][CUB]*[FAB][FVE]*[BDC][BUW]*[BFV][BWD]*[EDF][EVC]*[CEA][CWV]*[WUC][WVB]\)

\(\displaystyle = [CAB][CUW]*[FAE][FVB]*[BDW][BUC]*[BFD][BWV]*[EDC][EVF]*[CEV][CWA]*[WUB][WVC]\)

Mivel a kúpszelet nem elfajuló (parabola, ellipszis, hiperbola), ezért egyik háromszög területe sem 0. Így ha az egyenlet mindkét oldalán ugyanannak a háromszögnek a területe van, akkor ezzel a területtel lehet egyszerűsíteni. Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket:

\(\displaystyle [ABC]*[CDE]*[EFA]*[BDF]=[BCD]*[DEF]*[FAB]*[ACE]\)

És ez éppen a bizonyítandó állítás. Ez a bizonyítás csak nem elfajuló kúpszeletek esetén jó.

B.5429. Megpróbálom homogén koordinátákkal ezt a megoldást.

Az \(\displaystyle A(x_A,y_A,z_A)\), \(\displaystyle B(x_B,y_B,z_B)\), \(\displaystyle C(x_C,y_C,z_C)\), \(\displaystyle D(x_D,y_D,z_D)\), \(\displaystyle E(x_E,y_E,z_E)\), \(\displaystyle F(x_F,y_F,z_F)\) pontok esetén a következő determinánst értelmezem:

\(\displaystyle [ABCDEF]=\det\begin{pmatrix} x_A^2&y_A^2&z_A^2&x_Ay_A&x_Az_A&y_Az_A\\ x_B^2&y_B^2&z_B^2&x_By_B&x_Bz_B&y_Bz_B\\ x_C^2&y_C^2&z_C^2&x_Cy_C&x_Cz_C&y_Cz_C\\ x_D^2&y_D^2&z_D^2&x_Dy_D&x_Dz_D&y_Dz_D\\ x_E^2&y_E^2&z_E^2&x_Ey_E&x_Ez_E&y_Ez_E\\ x_F^2&y_F^2&z_F^2&x_Fy_F&x_Fz_F&y_Fz_F\\\end{pmatrix}\)

Az \(\displaystyle A(x_A,y_A,z_A)\), \(\displaystyle B(x_B,y_B,z_B)\), \(\displaystyle C(x_C,y_C,z_C)\), \(\displaystyle D(x_D,y_D,z_D)\), \(\displaystyle E(x_E,y_E,z_E)\), \(\displaystyle F(x_F,y_F,z_F)\) pontok pontosan akkor vannak ugyanazon a kúpszeleten, ha a \(\displaystyle [ABCDEF]=0\) egyenlet teljesül:

Továbbá legyen \(\displaystyle P(x_P,y_P,z_P)\), \(\displaystyle Q(x_Q,y_Q,z_Q)\), \(\displaystyle R(x_R,y_R,z_R)\) pontok esetén \(\displaystyle [PQR]\) a következő kifejezés:

\(\displaystyle [PQR]=1/2*det\begin{pmatrix} x_P&y_P&z_P \\ x_Q&y_Q&z_Q \\ x_R&y_R&z_R\\ \end{pmatrix}\)

Derive programmal kiszámoltattam, hogy a következő egyenlőség teljesül:

\(\displaystyle [BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE]-[ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF]=\frac{[ABCDEF]}{16}\)

Ezen számolás szerint az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontosan akkor vannak egy kúpszeleten, ha a következő egyenlet teljesül:

\(\displaystyle [ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF]=[BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE]\)

Ezen bizonyítás szerint a kúpszelet lehet elfajuló is.

Annyi kérdésem van, hogy a "Derive"-s számolást "szépen" hogyan lehet elvégezni?

Amúgy a feladat nagyon tetszett, nagyon érdekes volt a feladat állítása, és nagyon tetszett a Kömal-ban közölt második megoldás.

The theorem you are looking for is the Dedekind-Kummer theorem, also called Dedekind's criterion – I submitted a quite short solution to A. 892 using this theorem. It seems to be one of the most important theorems (both from mathematical and historical POV) taught in introductory Number Fields courses.

B. 5429. Egyik megoldásomban először arra jutottam, hogy elég 3 kúpszeletre belátni az állítást: origó középpontú 1 sugarú kör, y = x*x egyenletű parabola, illetve y = 1/x (x nem 0) hiperbola. Területaránytartó leképezésekkel bármelyik kúpszelet ezek egyikébe vihető. Kör. Én is a T=(abc)/(4R) képletet használtam. Háromszögterületet 3x3-as determinánsból számolok, ha adott a háromszög 3 csúcspontja. Ha A(a, a*a), B(b, b*b), C(c, c*c), akkor a háromszög területének (kétszerese) (c-b)*(a-b)*(a-c) (vagy az ellentettje). Könnyen kijött, mert a 3x3-as determináns Vandermonde determináns. A hiperbolánál majdnem ugyenez, csak le kell osztani (abc)-vel. Parabolánál, hiperbolánál mindkét oldalon ugyanazok vannak. (Körnél is.) Ezek után könnyen találtam 12 pontot, és 10-10 háromszöget, ahol hasonló állítást tudtam felírni. Úgy csináltam, hogy a 12 pont tisztességesen keveredjen, barátkozzon, tehát nem úgy, hogy 12=6+6.

A közös nevezőre hozás is kellemes út a héroni azonosság felhasználásával.

kieg: természetesen az átlagolandó számok mind pozitívak, mivel ABC hegyesszögű, a szögek koszinuszai pozitívak, így bármely két oldal négyzetösszege nagyobb a harmadik négyzeténél a koszinusz-tétel szerint.

B.5418. egy lehetséges másik megoldása vázlatosan:

Vegyük a bizonyítandó egyenlőtlenség mindkét oldalának reciprokát, szorozzunk 3-mal, majd a bal oldalra alkalmazzuk a harmonikus és számtani közepek között egyenlőtlenséget.

Ekkor a jól ismert összefüggéshez jutunk, miszerint a háromszög oldalainak négyzetösszege kisebb vagy egyenlő, mint a köré írható kör sugara négyzetének kilencszerese.

A.892. Legyen \(\displaystyle \omega=\sqrt[3]{2}\). Nevezzük Kömal-racionálisoknak a \(\displaystyle \bf{Q}(\omega)\) számokat, és nevezzük kömal-egészeknek a \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\) alakú számokat. Ekkor az \(\displaystyle a+b\omega+c\omega^2\) alakú számok normája éppen az \(\displaystyle a^3+2b^3+4c^3-6abc\). Ezek után arra gondoltam, hogy \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\)-ban mennyire lehet számelméletet összehozni, van-e ott is számelmélet alaptétele, hogyan lehet jellemezni a \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\)-beli prímeket vagy felbonthatatlanokat? És ezek után ezt a feladatot meg lehet-e oldani a \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\)-beli számelmélet alaptételével? Persze, lehet, hogy rossz az elképzelésem, de amikor megláttam ezt a feladatot, rögtön ezekre gondoltam.

Egyszeruen lathato, hogy barmilyen haromszogre letezik kivulrol erinto kor. Hasznald a hivatalos megoldasbeli inverziot egy altalanos haromszogben, azt hogy harom egymast erinto kort egy kor vagy csak belulrol vagy csak kivulrol erint es hogy egy inverzio kozeppontjat nem tartalmazo kor kepe inverzio kozeppontjat nem tartalmazo kor. Az, hogy mikor van csak 1 mindharmat erinto kor (es egy egyenes, ami mindharmat erinti) es mikor van 2 mindharmat kivulrol erinto, a Descartes (kissing circles) tetelbol olvashato le, es az elobbi a tipikus bevezeto sangaku-feladat kicsit mashogy elmondva.

Még mindig a B.5410-es feladaton pampogok. Tehát a tetszőleges \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsaiba megszerkesztjük az \(\displaystyle r_A=s-a\), \(\displaystyle r_B=s-b\), \(\displaystyle r_C=s-c\) sugarú \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_B\), \(\displaystyle k_C\) köröket, amelyek kívülről érintik egymást. Milyen egyszerű feltételt lehet adni arra, hogy létezzen olyan \(\displaystyle k_{kölső}\) kör, amely kívülről érinti a \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_B\), \(\displaystyle k_C\) köröket?