Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Számelméleti érdekességek

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[97] Yegreg2006-10-11 18:54:08

Nem hiszem, hogy valós kitevőkre túl érdekes lenne. Racionálisakra inkább.

[96] Cckek2006-10-10 21:49:38

Ez valóban így van. Vajon mi történik az nr+mq=ks egyenlet esetében ahol n,m,k\inN r,q,s\inR

Előzmény: [95] Yegreg, 2006-10-10 20:31:02
[95] Yegreg2006-10-10 20:31:02

Ha \sqrt{a}+\sqrt{b} egy egész gyöke, akkor ab négyzetszám. Legyen (a;b)=d, és a=a1d, b=b1d, ahol nyilván (a1;b1)=1, ekkor ab=k2, azaz a_1b_1=(\frac{k}{d})^2, de mivel a1 és b1 rel. prímek, így csak úgy lehet a szorzatuk négyzetszám, ha maguk is négyzetszámok, ebből következik, hogy mindig olyan alak kerekíthető ki a gyökösszegből, amilyet írtál.

[94] Cckek2006-10-10 19:03:16

Ez valójában azt jelenti hogy: \root\of{2}+2\cdot \root\of{2}=3\cdot \root\of{2}  Olyat mely nem n\cdot\root\of{a}+m\cdot \root\of{a}alaku???

Előzmény: [93] Yegreg, 2006-10-10 18:56:35
[93] Yegreg2006-10-10 18:56:35

Szerintem én erre a kérdésre válaszoltam. Akkor írható fel ilyen gyökként, ha ab négyzetszám. Pl. 2.8=16, \sqrt2+\sqrt8=\sqrt{18}.

Előzmény: [91] Cs.Balázs, 2006-10-10 18:04:56
[92] Cckek2006-10-10 18:32:07

Már Newton binomális képletéből következik hogy egyiknek sem:)

Előzmény: [91] Cs.Balázs, 2006-10-10 18:04:56
[91] Cs.Balázs2006-10-10 18:04:56

Rendben,pontosítok: \sqrt{a}+\sqrt{b} = \root{n}\of{x}  Pl: \sqrt3+\sqrt5 milyen x természetes számnak lesz az n-edik gyöke? Persze az a és b négyszetszámok esetektől tekintsünk el.

[90] Cckek2006-10-10 14:10:15

És ilyenek: {\root n\of{u}}+{\root m\of{v}}={\root p\of{w}} ahol u,v,w prímszámok???

Előzmény: [89] Lóczi Lajos, 2006-10-10 13:27:52
[89] Lóczi Lajos2006-10-10 13:27:52

Vagy esetleg ilyenek:

\root 3 \of{2-\frac{10}{3
   \sqrt{3}}}+\root 3 \of {2+\frac{10}{3 \sqrt{3}}}=\sqrt{4}

.

Előzmény: [88] Sirpi, 2006-10-10 10:42:49
[88] Sirpi2006-10-10 10:42:49

pl: \root 3\of{16} + \root3\of{54} = \root 3 \of{250}

Bár gondolom nem nagyon van olyan példa, ami ennél trükkösebb (pl. hogy a kitevők - egyszerűsítéstől eltekintve - különbözőek).

Előzmény: [87] Lóczi Lajos, 2006-10-10 01:35:56
[87] Lóczi Lajos2006-10-10 01:35:56

Nem egészen világos a kérdésfelvetés "Hogyan írható fel általánosan két gyökszám összege egy természetes szám gyökeként (akár magasabb fokú is,nem csak négyzetgyök)?"

Tudnál egy konkrét példát írni, mire gondolsz?

Előzmény: [80] Cs.Balázs, 2006-10-09 16:08:35
[86] Lóczi Lajos2006-10-10 01:34:26

Persze itt a sor konvergenciáját meg kell vizsgálni, nem minden a és b szám esetén értelmes a szumma. (k index áll benne amúgy i helyett.)

Ha (1+x)^\alpha sorfejtését írjuk fel, az (-1,1)-en konvergál (a végpontokbeli konvergencia függ \alpha-tól), ebből nyilván ki lehet találni a fenti alakra is.

Előzmény: [84] Cckek, 2006-10-09 19:29:51
[85] Cckek2006-10-09 20:56:52

Mikor igaz? a1a2...am mod p=(a1+a2+...+ammod p ahol p prímszám.

[84] Cckek2006-10-09 19:29:51

Talán a Taylor sorbafejtésből adodó:

(a+b)^r=a^r+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{r(r-1)\cdots{[r-(k-1)]}}{k!}a^{r-k}b^k

Előzmény: [80] Cs.Balázs, 2006-10-09 16:08:35
[83] S.Ákos2006-10-09 19:23:57

igaz, a nincs két olyan j és i amelyre j=i, így módosítva helyes a kérdés

Előzmény: [79] Cckek, 2006-10-08 19:04:43
[82] Yegreg2006-10-09 17:57:21

Igazából, elég, hogy ab négyzetszám legyen

[81] Yegreg2006-10-09 17:52:41

A binomiális tétel általánosítását majd valaki okosabb leírja, szerintem tudom, hogy hogy néz ki, de nem vagyok benne biztos, hogy be is tudnám bizonyítani.

A második kérdésre: Ha jól számoltam, akkor \sqrt{a}+\sqrt{b} az x4-2(a+b)x2+(a-b)2 polinom egyik gyöke, ami egyetlen egészből volt n-edik gyökkel ritkán (a=b) írható fel.

[80] Cs.Balázs2006-10-09 16:08:35

Üdv,kedves fórumosok! A következő kérdés merült fel bennem,ehhez kérném segítségeteket: Mi az általánosított binomiális tétel (tetszőleges valós n kitevőre)? Valamint: Hogyan írható fel általánosan két gyökszám összege egy természetes szám gyökeként (akár magasabb fokú is,nem csak négyzetgyök)? Előre is köszönöm: Balázs

[79] Cckek2006-10-08 19:04:43

Ha így vetjük fel a kérdést valóban minden m-re van megoldás:)

Előzmény: [78] Csimby, 2006-10-08 17:33:16
[78] Csimby2006-10-08 17:33:16

Legyen a baloldalon nm db. tag és mindegyik 1. :-)

Előzmény: [76] S.Ákos, 2006-10-08 15:13:49
[77] Cckek2006-10-08 16:25:59

Ezer oldal sem lenne elég, hogy erre valaki válaszoljon. Mindenesetre már m>2 esetben, ha a baloldalon két szám áll a nagy Fermat tételt kapjuk. Ha m=2 van megoldás, m=3-ra is például: 33+43+53=63 A Wikipedia-n is találsz hozzászolásokat. Probálkozhatsz előbb a x12+x22+...+xn2=xn+12 egyenlettel is mely n=2 esetben a Pitágoraszi számhármasokat származtatja.

Előzmény: [76] S.Ákos, 2006-10-08 15:13:49
[76] S.Ákos2006-10-08 15:13:49

Sziasztok!

A következő kérdésem lenne: Mely m esetén van megoldása a

am+bm+...+lm=nm

egyenletnek, ha a,b,...,l,m,n pozitív egészek, és tetszőleges sok tag szerepel a bal oldalon?

[75] nadorp2006-09-11 12:46:40

Igazad van, tágabb értelemben természetesen a Cn-ek határértéke létezik. Egyébként csak arra akartam utalni, hogy a tört minden n-re az 1 és Cn közt vesz fel valamilyen értéket. Kérdés, hogy minden számhoz elég közel kerül-e.

Előzmény: [74] Gubbubu, 2006-09-11 12:09:49
[74] Gubbubu2006-09-11 12:09:49

Kukacoskodok: én nem határértékről, hanem szuprémumról beszéltem.

(((((De még ettől eltekintve sem vagyok bizonyos benne, hogy nincs értelme határértékről beszélni, hisz rögzített n esetén ugyanis Cn egy konkrét kibővített valós szám (Az n-változós S függvény és a szintén n-változós produktum függvények hányadosának szuprémuma, ha a független változók a prímszámok P halmaza n-edik hatványának elemei, és emellett még különbözőek is - ez a szuprémum vagy véges, vagy végtelen, de mindenképp létezik, így a kibővített valós számok egy sorozatának kibővített valós számokbeli határértékéről van szó - biztos, hogy ez nem értelmes? Persze ez nagyon mellékes megjegyzés, hiszen nem egy formálisan megfogalmazott, precíz feladatot adtam fel [főleg azért nem, mivel a formalizmustól a TEX egy kicsit viasszatart], így aztán bizonyos pongyolaság óhatatlan; ahol nem, ott igyekeztem javítani))))).

Egyébként köszönöm a választ, azt hiszem, ez így most már lassan megoldottnak nevezhető.

Előzmény: [73] nadorp, 2006-09-11 11:45:43
[73] nadorp2006-09-11 11:45:43

A kérdésfelvetés nem jó, mert nincs értelme határértékről beszélni, hiszen C nem csökken és nem is nő,hanem 1 és végtelen közt tetszőlegesen nagy lehet. Az \frac{S(p_1,...,p_n)}{p_1...p_n} tört értéke tetszőlegesen nagy lehet, ha n-et növeljük ( erre adtam példát az első n darab prímmel), de tetszőlegesen meg is közelítheti az 1-et ( nyilván mindig nagyobb 1-nél), mint az alábbi példa mutatja:

Legyen n tetszőleges, és tekintsünk n darab n2-nél nagyobb prímet. Ekkor \frac{S(p_1,...,p_n)}{p_1...p_n}<\left(1+\frac1{n^2}\right)^n, ami 1-be tart ha n tart végtelenbe.

Előzmény: [71] Gubbubu, 2006-09-11 11:25:59

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]