[122] w | 2013-07-29 14:46:06 |
Igen. Nézzük sorra a feladatokat. Aki nem akar segítséget hallani, ne olvasson tovább. Az 1. feladat tényleg ismert/könnyű. A 2. feladat lényege (azaz van-e n2=10a1+10a2+...+10ak, a1<a2<...<ak, k>1) még nyitott kérdés. A 3., 4., 6., 7., 8., 10. szerintem megoldott feladat, némelyik egyszerű és elemi bizonyítással rendelkezik. A 9. viszont komoly nyitott probléma.
|
Előzmény: [121] jonas, 2013-07-29 14:29:21 |
|
[121] jonas | 2013-07-29 14:29:21 |
Pár megjegyzés.
1. Ezt ismerem, úgyhogy nem lőném le. Szerintem valamelyik versenyen is szerepelt egy változata.
2. Van: 0, 1, 100, 10000, 1000000. Vicces, hogy (1/3)2-ben szintén csak ezek a számjegyek vannak.
4. Végtelen hosszú biztos nincs, ugyanazért, amit az 1. feladatból tanultunk: egy számtani sorozat számai közt bármilyen kezdő számjegysorozat előfordul, ezért tetszőlegesen nagy számjegyösszegű szám is lesz. n alapú számrendszerben n számtani sorozat biztos van ilyen, pl. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Az a kérdés ezért, hogy ugyanabban a számrendszerben lehet-e tetszőlegesen hosszú sorozat.
7. Nem tudom, de ha van, akkor kell benne negatív együtthatónak lennie.
|
Előzmény: [120] w, 2013-07-29 13:54:53 |
|
[120] w | 2013-07-29 13:54:53 |
Néhány további számelméleti érdekesség/kérdés:
1. Igaz-e, hogy van olyan kettőhatvány, amely 10-es számrendszerben két darab 1-es számjeggyel kezdődik? Kezdődhet akárhány 1-essel egy kettőhatvány (k alapú szr.-ben)? Mi a helyzet más számjegyek vagy hatványalapok esetén?
2. Van-e csak 0-kból és 1-esekből álló négyzetszám (10-es számrendszer)?
3. Konvergál-e az xn:=sin (n2)+sin (n3) sorozat? És ?
4. Van-e tetszőlegesen hosszú számtani sorozat egyenlő számjegyösszegű számokkal (akármilyen szr.-ben)? És végtelen hosszú számtani sorozat?
5. Melyik a legnagyobb 2-hatvány (ha van), melynek minden számjegye páros?
6. Van-e egyszerű bizonyítás arra, hogy , ahol s(a) a számjegyek összegét jelenti?
7. Van-e PZ[x] polinom, melyre ?
8. Van-e 100-jegyű Niven-szám?
9. Igaz-e, hogy ?
10. Mi az {1;2;...;N} halmaz legbővebb részhalmaza, amely nem tartalmaz számtani sorozatot?
|
|
|
[118] Maga Péter | 2013-07-29 13:07:47 |
Van elemibb. Shapiro az Annals of Mathematics-ban két cikkben (On primes in arithmetic progressions (I), On primes in arithmetic progressions (II)) 1950-ben publikált rá elemi bizonyításokat. Szalay Mihály Számelmélet (SMT sorozat, Typotex) könyvének függelékében is van egy elemi bizonyítás (azt hiszem, lényegében a második cikkbéli, de ebben elég bizonytalan vagyok).
A Szalay-könyv egyébként is jó, ajánlom. Az Annals régi számai mind fenn vannak a JSTOR-on, itt.
|
Előzmény: [117] w, 2013-07-29 11:09:06 |
|
|
[116] Maga Péter | 2013-07-28 11:34:24 |
A honlapomra feltöltöttem a Dirichlet-tétel általam ismert legegyszerűbb bizonyítását.
Ez a bizonyítás valami egészen valószínűtlenül csodálatos. Szinte semmi számolás nincs benne, néhány mély tényből vezeti le a tételt.
Az egyetlen hátránya, hogy nem elemi, valamennyi komplex függvénytanra szükség van hozzá (de csak az alaptételekre és -fogalmakra: hatványsorba fejtés, pólus). A linkelt jegyzet első fele ezek áttekintése, utána a bizonyítás mindössze kb. 6 oldal.
Azt hiszem, KöMaL-cikknek nem alkalmas, éppen emiatt a komplex függvénytan miatt (vagy mégis? Géza, mit gondolsz?).
|
|
|
[114] Bnum | 2012-07-04 21:03:52 |
Itt az oldaluk: http://people.inf.elte.hu/nebsabi/snproject/ A film eléggé érthetetlen volt.
|
|
[113] Róbert Gida | 2012-07-04 14:50:26 |
http://www.hirado.hu/Hirek/2012/07/03/19/Ader_Janos_diszvacsorat_adott__megmutatjuk.aspx
És még egy ingyen vacsorát is kaptak Kádár Jánostól. Nektek a képgalériát megnyitja a böngésző?
|
Előzmény: [112] Róbert Gida, 2012-05-19 14:52:37 |
|
[112] Róbert Gida | 2012-05-19 14:52:37 |
http://index.hu/tudomany/2012/05/17/titkosito_algoritmus_magyar_diakoktol/
(A videót is érdemes megnézni, bár ott pont a lényeget, a vetítést nem látjuk.)
index: "A diákok felfedezésében nem csak az számít úttörőnek, hogy az alkalmazási lehetősége meglehetősen széleskörű – operációs rendszerek, netbankok és adminisztrációs felületek titkosításához egyaránt használható –, hanem az is, hogy az s(n) függvényt még soha nem használták titkosításra."
Ez így nem teljesen igaz, szemiprímekre: (n)=n-s(n)+2, azaz mondhatjuk, hogy a legtöbbet használt titkosító algoritmus az RSA éppen az s(n)-et is használja. (RSA-nál az n nyilvános).
videó: "n-ből s(n) értéke könnyen meghatározható." Ez sem igaz, ha n felbontása ismert akkor már tényleg könnyű, de ezt a felbontást nehéz megtalálni.
videó: "Ez a függvény alkalmas egyirányú kódolásra." Csak szeretnétek.
Az univerzum életkorára 1011 évet mondtak. Ez is meglehetősen pontatlan.
Negyedik helyet szereztek. Semmi újat nem csináltak a fiúk, még csak nem is használható. Nem baj, fiatalok. Mit csinálhatott az első helyezett ebben a kategóriában?
|
|
|
|
|
[108] Sirpi | 2011-06-21 12:59:08 |
Rég írtunk ide, de sebaj.
Szóval a kérdésem az lenne, hogy egy nem konstans számtani sorozat legfeljebb hány egymás utáni eleme lehet négyzetszám. A választ sikerült megtalálnom google-kereséssel, de a bizonyítást nem. Bár az se lenne rossz, ha valaki megoldja :-)
|
|
|
[106] Cs.Balázs | 2006-11-28 20:32:47 |
Sziasztok! A következő kérdésem lenne : Mely k-ra van végtelen sok megoldása a egyenletnek? l;k;nZ+
Balázs
|
|
|
|
|
|
|
[100] Yegreg | 2006-10-11 22:31:25 |
A "valós kitevőre nem túl érdekes"-t a te problémafelvetésed és a korábbi probléma alpján mondtam, ugyanis az eredeti feladatban a te szövegezésed szerint n,m és r,q adott, és keresendő volt k és s, de ha s valós, akkor még k fixálásával is lesz jó s.
A te értelmezésedben nyilván sokkal érdekesebb a probléma, bár a valós kitevőt még mindig megtévesztőnek tartom, mert pl. r=e, q=, s= esetén kicsit megfoghatatlan a dolog. Egyébként a q=r=s is érdekes, és ha egészek, akkor eléggé ismert és úgy is nagyon nehéz probléma, szóval ez az általánosítás eléggé húzós dolog. Mindenesetre könyebben kezelhető további speciális esetek megoldása érdekes lehet.
|
|
[99] Cckek | 2006-10-11 19:36:54 |
Ezzel sajnos nem érthetek egyet. Először is minden racionális szám valós is, másodszor ha q,r,s természetes számok akkor különböző érdekes sejtéseket kapunk. PL:n=1 akkor m=2, q=3, k=3, s=2 az egyetlen megoldás!Ez a Mihailescu által nem is olyan rég bebizonyított Catalan sejtés.Ha r,q,s>2 n, m, k számoknak van közös prím osztojuk. Ez a Beal sejtés. Úgy gondolom, hogy a valós eset ezt mind egybefogná, hiszen valójában arra redukálódna, hogy az felület milyen kordinátájú pontokon megy át.
|
Előzmény: [97] Yegreg, 2006-10-11 18:54:08 |
|
|