 1. feladat legyen jonas-tól az érdekes feladatok topicból [4012]. (ebben most nincsen intelligens ellenfél)
A következőre gondoltam ezzel kapcsolatban:
Azt tippelem, hogy minden stratégia ugyanolyan jó, mint az egyenletesen random. 1 kártyára nyilvánvaló, több kártyára meg indukcióval:
Indukciós feltevés: a fent vázolt játékban, ha van n-n tetszőleges kártyalapotok (nem kell, hogy megegyezzen a tieid és az osztóéi), akkor egy teljesen jó stratégia* az egyenletes eloszlás, azaz, hogy a játék elején veszel egy permutációt, és azzal játszol végig. (Vagy minden kör elején egyet választasz egyenletesen, ez ugyanaz.)
* stratégia alatt most olyan stratégiákat értek, amelyek a k. körben a játék eddigi menete alapján megadnak minden kártyához egy valószínűséget, hogy melyiket mekkora eséllyel rakd a következő körben. (így néz ki egy stratégia, nem?)
n &tex;\displaystyle \implies&xet; n+1: legyen n+1, n+1 kártyalapotok, és játssz egy S stratégia szerint. Ekkor, az indukciós feltevés miatt az S' stratégia ugyanolyan jó, ahol az S'-t úgy kapom az S-ből, hogy az első lépést S szerint játszom, utána a maradékot (ami már egy n kártyás játék) egyenletesen.
Ekkor már csak azt kell belátni hogy az így definiált S' stratégiák között nincsen olyan, amelyik jobb lenne a teljesen egyenletesnél. S' már olyan, hogy csak a te lapjaidnak a függvénye hogy mit raksz (az első kört valahogy súlyozva, a többit meg egyenletesen random), az ellenfeled meg egyenletesen random rak.
Racionális valószínűségek esetén megadható egy véges eseménytér ahol megfelelően átrendezve az eseményeket egyenlő várható értéket kapunk, irracionális valószínűségekre meg azt mondjuk hogy a várható érték a benne szereplő valószínűségek folytonos függvénye.
| 
