Fórum: "ujjgyakorlatok"

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[112] Máté2	2004-02-23 09:21:11
Köszönöm a megoldást. Lenne még egy feladatom Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan n pozitív egész, amelyre a valós számok halmazán értelmezett f(x)= cosx + cos (x*négyzetgyök alatt: (n² +1))
Előzmény: [111] lorybetti, 2004-02-22 23:23:42

[111] lorybetti

2004-02-22 23:23:42

Kedves Máté2 és Fórumosok!

Már több feladat is volt mostanában a Kömal pontversenyben a $\Delta$ hozzáírt köreivel kapcsolatban, így ez a feladat a jól megismert összefüggések használatával megoldható:

$r_a=\frac{T_\Delta}{(s-a)} ,\quad r_b=\frac{T_\Delta}{(s-b)}$

$T_\Delta=r_a \cdot r_b= \frac{T_\Delta^2}{(s-a)(s-b)}$

$T_\Delta=(s-a)(s-b)=\frac{c^2-(b-a)^2}{4}=$

a cos-tételt és a $\Delta$ területképletet alkalmazva:

$=\frac{a^2+b^2-2ab\cos\gamma-b^2+2ab-a^2}{4}=\frac{ab\sin\gamma}{2}$

leosztva 2ab-vel:

sin $\gamma$ +cos $\gamma$ =1

mivel $\gamma$ egy $\Delta$ szöge, ezért: $\gamma$ =90^o

(érdemes volt a Tex-el dolgozni, így, hogy már a végeredményt is láttam)

Előzmény: [110] Máté2, 2004-02-22 21:59:03

[110] Máté2	2004-02-22 21:59:03
Megtudnátok oldani nekem ezt a feladatot Egy háromszög két kisebbik oldalát, a-t és b-t érintő hozzáírt körök sugarai r_a és r_b. A háromszög területe t=r_a*r_b. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

[109] lorantfy

2004-02-10 08:18:20

32. feladat: Oldjuk meg a valós számok halmazán:

$\sin^2x\sin2x+\cos^2x\cos2x=\frac{1}{2}$

[108] lorantfy	2004-02-09 18:35:38
Kedves Zormac! Kösz a megoldást. A GEOMETRIA témában volt az említett feladat. Ha többet elárulok az ábráról akkor túl egyszerű lett volna, de Te jól értelmezted. Gratula!

Előzmény: [107] Zormac, 2004-02-09 17:04:03

[107] Zormac	2004-02-09 17:04:03
(egyébként gondolom, ez a feladat valahogy abból a - szintén valahol errefelé előfordult - feladatból született, hogy feldarabolható-e egy kör olyan egybevágó alakzatokra, melyek között van olyan, amely nem tartalmazza a középpontot még a határán sem - de önmagában is szép :-)
Előzmény: [106] Zormac, 2004-02-09 17:00:18

[106] Zormac

2004-02-09 17:00:18

31. megoldás

Remélem, jól értem az ábra szerkezetét...

Legyen a külső hat csúcs pozitív körüljárás szerint A, B, C, D, E, F. Akkor ABCDEF egy egységoldalú szabályos hatszög, amelynek területe legyen T₆ (egyébként $T_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ , de ez lényegtelen). A hatszög középpontja legyen O.

Legyen mondjuk a B pontból induló kis körív másik végpontja B₁ (amely rajta van az AC egyenesen, mégpedig C-hez közelebb). BB₁C egy afféle "amorf konkáv" háromszög :-), amelynek t területére

$t=T_{ABC}-T_{ABB_1}=\frac{T_6}{6}-\frac{\pi}{12},$

hiszen $T_{ABC}=T_{ACO}=\frac{T_6}{6}$ , másfelől T_ABB₁ az egységsugarú kör 30 fokos cikke, tehát területe valóban $\frac{\pi}{12}$ . Innen a keresett T területre

$T=T_6-6*t=T_6-6*(\frac{T_6}{6}-\frac{\pi}{12})=\frac{\pi}{2}$

adódik. Jééé!

Ilyenkor szokott az ember gyanút fogni, hogy nem bonyolított-e el egy elegáns geometriafeladatot randa számolással? És tessék, hát dehogynem!

(Sajnos nincs a kezem ügyében egy rajzoló tool, így csak szövegesen mondom, mit kell látni :-)

Hosszabbítsuk meg az alakzat határát alkotó köríveket "befelé", egészen a középpontig (mert ugye az látható, hogy ott találkoznak). A fenti jelölésekkel élve ekkor BB₁C és OB₁C egybevágó síkidomok, melyeknek B₁C oldala közös egyenes szakasz, másik két oldaluk pedig egységsugarú körív. E két egybevágó síkidom elforgatottjai együttesen a teljes kört kiadják s egy-egy egybevágó pár egyike "kint", másika "bent" van, tehát a kérdéses síkidom területe az egységsugarú kör területének fele, azaz valóban $\frac{\pi}{2}$ .

Előzmény: [105] lorantfy, 2004-02-01 22:31:20

[105] lorantfy	2004-02-01 22:31:20
31. feladat: Mekkora az alábbi egyenes szakaszokból és egységnyi sugarú körívekből álló síkidom területe?

[104] Gubbubu

2004-01-29 21:47:43

Kedves Csimby!

Mit is modnhatnék? Úgy látszik, a matematikának megvannak a maga Dr. Watsonai, akik ostoba és elhamarkodott kérdéseik és következtetéseik ellenére (esetleg) segítik ama Sherlock Holmesokat, akik éles elméjük és megfigyelőkészségük segítségével kibogozzák a rejtelmes ügyeket! Te pedig ez utóbbiak közé tartozol!

Az előbbi gondolatmenet nem jutott az eszembe annak ellenére, hogy Suhanc másik feladatát hasonló gondolatmenettel lehet megoldani (mentségemre szolgáljon, hogy még nem is nagyon volt időm gondolkozni a feladaton, csak kitűztem - az utóbbi időben nem matematikával, hanem különféle érdekes vírusprogramok, mint pl. a "Shimgapi-Mydoom.A", az "MSBLAST" és hasonlók blokkolásával és kiirtásával kell foglalatoskodnom, tegnap szinte egész délután és éjjel ezt csináltam, és csak közben írtam "unalmamban" egy-két hozzászólást ...)

Ám ha már megemlítettem, következzen itt a másik oszthatósági feladat megoldása:

"Suhanc 5." fa. megoldása:

Lássuk be, hogy 512 egész szám között van néhány darab, amelyek összege osztható 512-vel!

Ehelyett én belátom, hogy tetszőleges m pozitív egész számot választva ezek között van néhány, amelyek összege osztható m-mel (m=512 esetén adódik "Suhanc 5").

Legyenek számaink a₁,a₂,...,a_m $\in$ Z! Lehetnek köztük azonosak is, akár mind is azonosak. Tehát 512 db. nem feltétlenül különböző egész számról van szó.

Felírunk legalább m db., az a_i elemekből mint tagokból álló összeget úgy, hogy az ilyen összegek különbsége is összeg legyen. A legegyszerűbb ilyen lehetőség m db. ilyen összeg felírására:

a₁:=S₁

a₁+a₂:=S₂

a₁+a₂+a₃:=S₃

...

a₁+a₂+...+a_m:=S_m.

Két ilyen összeg különbsége is az a_i tagokból álló összeg, S_j-S_i=a_i+1+ai+2+...+a_j (j>i) Ha van olyan S_i összeg, amelynek m osztója, készen vagyunk. Ellenben az m db. S_i összeg maximum m-1-féle maradékot adhat mod(m). Ez az a szituáció és gondolatmenet, amellyel megoldottad az előző feladatot. A skatulya-elv alapján tehát valamely két összeg ugyanolyan maradékot ad mod(m), ami azt jelenti, hogy különbségük - ami maga is az a_i számok valamely összege - 0 maradékot ad mod(m). Ismét csak kész vagyunk.

Adalék: Mindkét feladatban arról volt szó, hogy adott néhány (n) szám, ezek közül kiválasztható k db. (0<k<n+1), amely osztható valamely m számmal.

Érdekes lehet a következő "additív számelméleti" függvény: M(n,m) legyen az a legkisebb szám, melyre igaz, hogy ha n db. tetszőlegesen választott egész szám közül kiválasztunk ennyi, azaz M=k(n,m) darabot, akkor ezek összege (a megadott és a kiválasztott számok konkrét értékétől függetlenül, biztosan) osztható legyen m-mel.

Egy másik érdekes függvény, k(n,m) legyen az a legkisebb szám, amelyre igaz, hogy ennyi darab, egyéb tekintetben tetszőlegesen választott egész szám között biztosan legyen n db., melyek összege osztható m-mel (ez egyfajta Ramsey-szám, csak nem gráfokra, hanem számokra).

Egy nevezetes állítás az Erdős-Ginzburg-Ziv-tétel, amely szerint k(m,m)=2m-1. Azaz 2m-1 db. tetszőlegesen választott egész szám között már biztosan van m db., melyek összege osztható m-mel (de 2m-2 db. szám között már nem biztosan).

Üdv mindenkinek:G.

Előzmény: [103] Csimby, 2004-01-29 13:35:52

[103] Csimby

2004-01-29 13:35:52

Kedves Gubbubu!

Nem csak prímekre van végtelen sok megoldás. Legyen az osztó: q tetszőleges poz. egész, ekkor az f(n),f(n+1),f(n+2),...,f(n+q) számok között biztosan lesz legalább 2 amely q-val osztva ugyan annyi maradékot ad, hiszen q-val osztva q féle különböző maradékot kaphatunk ez viszont q+1 db. szám (skatulya elv). Ekkor azonban nem tudjuk pontosan megmondani, hogy melyik kettő ad ugyan annyi maradékot, csak azt tudjuk, hogy biztosan lesz 2 amely ugyanannyi maradékot ad.

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?