Fórum: "ujjgyakorlatok"

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[163] lorantfy

2004-05-27 15:27:02

48. feladat: Hárman kártyáznak. A játék előtt pénzük aránya a:(a+1):(a+2), a játék után ugyanolyan sorrendben (a+1):(a+2):(a+3), s a kártyázás során csak egymástól nyerhettek. Egyikük 12 tallért nyert. Mennyi lehet az a egész szám értéke és hány tallérral ül le egy-egy játékos játszani, ha összesen kevesebb mint 2000 tallérjuk volt?

(Matematika próbaérettségi emelt szint 3. feladata alapján)

[162] lorantfy

2004-05-11 10:15:52

Kedves Károly!

Itt is köszönet a szép megoldásért. Már azt hittem feledésbe merül ez a szép kis trig. egyenlet.

Előzmény: [160] Hajba Károly, 2004-05-11 00:29:46

[161] Hajba Károly

2004-05-11 00:34:25

Ez lemaradt az előző hozzászólásom végéről $\alpha$ ₄=225° :o)

Előzmény: [160] Hajba Károly, 2004-05-11 00:29:46

[160] Hajba Károly

2004-05-11 00:29:46

Megoldás László nem is annyira ujjgyakorlat 32. feladatára:

$sin^2xsin2x+cos^2xcos2x = \frac12$

Három ismert trigonometriai egyenlőséget behelyettesítve:

$\frac{1-cos2x}{2}sin2x + \frac{1+cos2x}{2}cos2x = \frac{sin^22x+cos^22x}{2}$

Majd szépen rendezve:

sin2x-sin2xcos2x+cos2x+cos²2x=sin²2x+cos²2x

(sin2x+cos2x)-sin2x(sin2x+cos2x)=0

(sin2x+cos2x)(1-sin2x)=0

$\alpha$ ₁=67,5°;... $\alpha$ ₂=157,5°;... $\alpha$ ₃=45°

Előzmény: [109] lorantfy, 2004-02-10 08:18:20

[159] BohnerGéza	2004-05-09 11:13:36
A 42. feladathoz: (Mutassuk meg, hogy minden húrnégyszög felbontható n>=4 db húrnégyszögre.) A feladat régóta „áll”, ezért az „ujjgyakorlat” részét megírom, lerajzolom. Nem nehéz belátni, ha fel tudjuk bontani a 4-re, 5-re és 6-ra, akkor n>=4 tetszőleges db-ra is. Az ábrán látható négyszögekről – leírom, hogy kaptam azokat – „ujjgyakorlat” megmutatni, hogy húrnégyszögek. Ami nehezebb, meg kell mutatni, hogy létezik megfelelő G, G és I, illetve M pont. A nem triviális esetekben van hegyesszöge az ABCD húrnégyszögnek. Jelöljük egy ilyen csúcsát az A-val. ( Ekkor azt hiszem mindig léteznek az alább leírt felbontások esetén a megfelelő pontok. ) A négy részre bontást – ábra első része – úgy kapjuk, hogy megfelelő G-t választunk, majd legyen GR \|\| AD, GQ \|\| AB, valamint PBQB és GRDS húrtrapéz. Az öt részre bontást – ábra középső része – úgy kapjuk, hogy a G és I pontokat felvesszük megfelelő helyre úgy, hogy a rajtuk és a megfelelő csúcsokon átmenő körök messék egymást még a H illetve J pontban. Az hat részre bontást – ábra utolsó része – úgy kapjuk, hogy megfelelő M esetén a PBQM és MRDS „elég hosszú” paralelogrammák legyenek, majd azokat két-két húrtrapézra bontjuk.

Előzmény: [135] Csimby, 2004-04-11 22:16:40

[158] Hajba Károly

2004-05-07 12:27:10

Kedves Péter!

Nem nehéz belátni a $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$ egyenlőséget, s ebből következik, hogy k=2 feltétel is elég. A jobb oldalt tovább lehet bontani és így akármeddig lehet bontogatni.

Üdv: HK

Előzmény: [156] nadorp, 2004-05-07 11:11:48

[157] Kós Géza

2004-05-07 12:09:28

$\frac1n=\frac1{2n}+\frac1{3n}+\frac1{6n}.$

Az általánosabb feladat úgy szól, hogy minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokösszegeként. Ez ebben a formában nem ujjgyakorlat, de egy kis segítséggel az.

Vegyünk tehát egy pozitív racionális számot. A pozitív egészeket keressük ,,mohón'', azaz mindig a lehető legkisebbet válasszuk ki, ami még nem szerepelt, és a reciprokösszeg nem nő túl nagyra. Például, ha az 1,36 számot szeretnénk felírni, akkor a kiválasztott számok: 1, 3, 38, 2850.

47b feladat: Igazoljuk, hogy a mohó algoritmus mindig eredményre vezet.

Előzmény: [156] nadorp, 2004-05-07 11:11:48

[156] nadorp

2004-05-07 11:11:48

A 47. feladat kapcsán jutott eszembe.

47.a feladat: Bizonyítsuk be, hogy minden 1 nél nagyobb n pozitív egész szám reciproka előállítható k darab (2 $\leq$ k $\leq$ n²) különböző pozitív egész reciprokának összegeként.

Előzmény: [146] Hajba Károly, 2004-05-04 12:33:58

[155] nadorp	2004-05-07 10:42:13
Kedves Tamás ! László megoldásából látszik, hogy a téglalap akkor lesz négyzet, ha $DF_2=\sqrt{T_\Delta}$ . Nyilván $\frac{AB}2\leq{DF_2}\leq{AF_2}$ teljesül, tehát a megoldhatóság feltétele,hogy $\frac{AB}2\leq\sqrt{T_\Delta}\leq{AF_2}$ . Ez a feltétel pld. szabályos háromszög esetén teljesül,holott AC $\neq$ MB. Abban viszont igazad van, hogy nem minden esetben van megoldás. Pld. ha a háromszög AB oldalához tartozó magasságra $m_c<\frac{AB}2$ , akkor $T_\Delta=\frac{AB\cdot{m_c}}2<\frac{AB^2}4$ , tehát $\sqrt{T_\Delta}<\frac{AB}2$

Előzmény: [153] Bodoni Tamás, 2004-05-06 11:06:22

[153] Bodoni Tamás

2004-05-06 11:06:22

46b.feladat:

A feladat csak akkor megoldható, ha a háromszög MB magassága egyenlő az AC alappal. Remélem nem mondtam oktalanságot. Bemutatkozásként.

Előzmény: [151] Kós Géza, 2004-05-05 13:55:04

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?