Fórum: "ujjgyakorlatok"

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[22] Suhanc

2003-12-04 21:40:43

A teljes négyzetek:

(a-b/2)²+(c-1)²+3/4*(b-2)²<=0

Nyilván c=1, b=2 a=1

[21] lorantfy

2003-12-04 20:15:31

7. feladat:

Mely egész a, b, c, számokra igaz:

a²+b²+c²+4 $\leq$ ab+3b+2c

(1965. évi Kürschák példa alapján)

[20] lorantfy

2003-12-04 15:45:19

Az 5. feladatnál: Ha valaki persze nem akar nagyon trükközni, emelje csak négyzetre mindkét oldalt (ha a bal oldal negatív az egyenlőtlenség úgyis igaz) és alakítsa teljes négyzetté:

9x²+24xy+16y² $\leq$ 25x²+25y²

0 $\leq$ 16x²-24xy+9y²

0 $\leq$ (4x-3y)²

Láttam én már olyan Kürschák feladatot, ahol a megoldáshoz semmi más nem kellett csak ügyesen teljes négyzetekké alakítani.(Előkeresem!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32

[19] Kós Géza

2003-12-04 14:11:14

Lényegében ugyanaz, de talán kicsit egyszerűbb megtalálni a megoldást Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel:

$\big(3x+4\sqrt{1-x^2}\big)^2\le\big(3^2+4^2)\bigg(x^2+\sqrt{1-x^2}^2\bigg)=25.$

Egyenlőség akkor áll, ha $x:\sqrt{1-x^2}=3:4$ .

Azzal maximálisan egyetértek, hogy az ilyen trükköket hasznos megtanulni és begyakorolni.

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48

[18] lorantfy

2003-12-04 14:09:36

Kedves Nádor P.!

Nagyon gyors voltál és persze nagyon ügyes!

Most aztán megoldásod alapján rögtön általánosíthatjuk is a feladatot:

6.feladat:

Legyenek a,b,c egy derékszögű háromszög oldalai.

Bbh. $\frac{ax+by}{c}\leq \sqrt{x^2+y^2}$ .

(Más módszerrel oldjuk meg!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32

[17] nadorp

2003-12-04 13:36:32

Megoldás az 5. feladatra.

Legyenek p és q pozitív egész számok, melyek értékét majd később adjuk meg. Ekkor a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés miatt

$\frac{\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y}{p+q}=\frac{p\cdot\frac{3x}{5p}+q\cdot\frac{4y}{5q}}{p+q}<=\sqrt{\frac{p\cdot\frac{9x^2}{25p^2}+q\cdot\frac{16y^2}{25q^2}}{p+q}}$

Ebből

$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y<=\sqrt{\frac{p+q}{p}\cdot\frac{9}{25}x^2+\frac{p+q}{q}\cdot\frac{16}{25}y^2}$

Látszik, hogy a p=9 q=16 választással épp a kívánt egynelőtlenséget kapjuk.

Előzmény: [15] lorantfy, 2003-12-04 13:01:55

[16] Hajba Károly	2003-12-04 13:25:06
Kedves László! Én a geometria oldaláról közelítve találtam egy "csűrcsavarta" megoldást. A maximumhely X koordinátájának keresésekor nem számít, ha az egész függvényt elosztom 4-gyel. Így egy origón átmenő, 0,75 meredekségű egyenes és origó központú egység sugarú kör összegét kapjuk. Torzítsuk el képzeletben a körív minden pontját úgy, hogy az egyenes és X tengely közötti távolsággal távolítsuk az X tengelytől el. Ez a függvény képe és egyben egy ellipszis is. Szerkesszük meg a kőr és a hozzá tartozó ellipszis pontokhoz illesztett, összetartozó érintőket. Ezen érintők az Y tengelyen metszik egymást, mivel ott az eltolás 0. Az ellipszis maximumhelyéhez tartozó érintő párhuzamos az X tengellyel. Könnyen belátható, hogy e két érintő által bezárt szög $\alpha$ , így a kör ezen érintőpontját az eredeti egyenes y=x tengelyre történő tükrözött egyenessel képzett metszéspont adja. Ezt visszatéve a függvényekre, a megoldást a kör és az egyenes inverzének metszéspontja adja. $\root\of{1-x^2} = \frac43x$ Ennek eredménye éppen $X=\frac35$ HK

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14

[15] lorantfy

2003-12-04 13:01:55

Na ez már igen!

Kedves Péter!

Köszönöm a megoldást!

Érdemes a "közepek" közötti összefüggéseket jól begyakorolni, mert versenyfeladatoknál és néha-néha még KÖMAL feladatokban is nagy hasznát vehetjük!

Akkor próbálkozzatok ezzel:

5.feladat Bbh. $\frac{3x+4y}{5}\leq \sqrt{x^2+y^2}$

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48

[14] Pach Péter Pál

2003-12-04 11:06:48

Megoldás a 4. feladatra

Írjuk fel a számtani és a négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget 9 darab $\frac{x}{3}$ -ra és 16 darab $\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}$ -re:

$\frac{9\cdot\frac{x}{3}+16\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}}{25}\le\sqrt{\frac{9\cdot\left(\frac{x}{3}\right)^2+16\cdot\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}\right)^2}{25}}$

Mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozva:

$\frac{3x+4\sqrt{1-x^2}}{25}\le\frac15$

$3x+4\sqrt{1-x^2}\le5$

Így a kifejezés maximuma 5, amit pontosan akkor vesz fel, ha $\frac{x}{3}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}$ , azaz, ha $x=\frac35$ .

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14

[13] lorantfy

2003-12-04 00:16:58

Kedves Attila!

Szép a megoldás. Köszönet érte!

$\sqrt{1-x^2}$ -ből adja magát ez a helyettesítés, de sajnos a 9-edikesek még nem tanulták matekból a szögfgv-ket. Kérdés a tankönyvírók hogy gondolták a megoldást? Hátha valakinek van még más ötlete.

Előzmény: [12] evilcman, 2003-12-03 22:47:58

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?