Fórum: "ujjgyakorlatok"

Az előzőben értelemszerűen 64 egyes számjeggyel értendő.

Nyilvánvaló, hogy legalább 64 egyes szükséges is, mert minden szám egyessel kezdődik. A kérdés tehát a következő: le lehet-e írni 64 egyessel, de 63-nál kevesebb nullával az összes pontosan 7-jegyű bináris számot, és ha igen, akkor hány nulla kell ehhez?

Nos, 64 számjeggyel fel lehet írni őket:

1001000010101011001011011010000011001110011000011101010011110010\ 011011111110100101000110101111011000100010111011100011111000000

Azonban ez 127 számjegy, ezért nem valószínű, hogy egy fiú egy sorba fel tudja írni őket (ha több sorba írja, akkor már meg kell ismételni legalább egy 1-est). Itt a fórumon sem fért el egy sorban, ezért meg kellett törnöm. Én tehát arra szavazok, hogy Jancsi ugrat minket, valójában Juliska írta a számsort.

Lehet, hogy ennél kevesebb számjeggyel is meg lehet csinálni, nem tudom.

Sejtés a 67.b feladatra: Ha veszünk egy n számjegyű számot (csupa 0-ból és 1-ből, akkor a keresett "láncban" mindig 2^n-1 darab 1-es lesz (és ekkor 2^n-1-1 db 0).

n=2 esetén variációk: 11,10 a lánc:110 és 2^n-1=2, azaz itt müködik

n=3 esetén variációk: 111, 110, 101, 100 a lánc: 1110100 és 2^n-1=4, azaz itt is működik

n=4-re is megnéztem, azt most nem írom le, tehát ha a sejtés igaz, akkor n=7 esetén 2^n-1=64 lesz. Azaz elvileg Jancsi igazat mondott.

Arra gondoltam csavarként, hogy írhatja folyamatosan egymás után a számjegyeket és bármely egymás után következő hét számjegy lehet egy új 7-jegyű szám, ha 1-es áll az elején.

67.b feladat: Jancsi azt állítja, hogy sikerült felírnia az összes 7 jegyű 1 és 0 számjegyből álló számot 64 db 1-es felhasználásával? Igaza van-e Jancsinak?

Szép egyszerű és jó a megoldás. Nincsen semmi csel, ez egy "ujjgyakorlat" volt :-)

Az első számjegy csak 1-es lehet a további 6 helyiértéken pedig 0 vagy 1, tehát kétféle számjegy állhat. Így 2⁶=64 db ilyen szám van. Írjuk egymás alá ezeket a számokat. Az első oszlopban 64 db 1-es van a többi oszlopban pedig a számjegyek fele 1-es fele 0. Így 64+6*32=256-szor kellett Jancsinak leírnia az 1-es számjegyet.( Feltéve persze, hogy nincs valami trükk a felírásban, ami Csimbytől azért elvárható! )

67.feladat Jancsi felírta az összes olyan hétjegyű egész számot, amely csak 0 és 1 számjegyeket tartalmaz. Hányszor írta le az 1-es számjegyet?

Hello Fiúk!

Kösz a megoldásokat! Valóban a nagy Fermat spec. esete és könnyen belátható. Joci tanulj TeX-et, megéri. Ha már megvan a lehetőség szép képletek írására, használjuk ki!

Ha a-1,a,a+1 köbeit vesszük és rendezzük, elegánsabban kijön. Átalakítások után azt kapjuk, hogy a2(a-6)=2. (az a után a 2 a négyzetet jelölné, csak még lusta voltam a TeX-et megtanulni :) A szorzat mindét tagja egész, mert 'a' is az. Az egyes eseteket gyorsan végig lehet futni.

Suhanc egyenletét és a kongruencia szabályait felhasználva:

Ha a 0 maradékot ad 4-gyel osztva, akkor a bal oldal osztható 4-gyel, a jobb oldal 3 maradékot ad 4-gyel osztva.

Ha a 1 maradékot ad 4-gyel osztva, akkor a bal oldal 1 maradékot, a jobb oldal 3 maradékot ad 4-gyel osztva.

Ha a 2 maradékot ad 4-gyel osztva, akkor a bal oldal osztható 4-gyel, a jobb oldal 1 maradékot ad 4-gyel osztva.

Ha a 3 maradékot ad 4-gyel osztva, akkor a bal oldal 3 maradékot, a jobb oldal 1 maradékot ad 4-gyel osztva.

Mind a 4 esetben ellentmondásra jutottunk, tehát nincsen olyan a amely eleget tenne a feltételeknek.