Fórum: "ujjgyakorlatok"

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[413] Káli gúla

2005-11-01 20:15:01

Kedves László!

Az $y=\frac{5x}{x+5}$ jelöléssel az egyenlet x²+y²=11 alakú. A helyettesítésből (*) xy=5(x-y), ezért

x²+y²=(x-y)²+2xy=(x-y)²+10(x-y)=11.

A $\sqrt{11}$ sugarú kör a (*) hiperbolának csak a jobb oldali ágát metszi, ahol y $\le$ x, így az 1 és a -11 közül csak az x-y=1 gyök jó. Ezt visszaírva (*)-ba az x(x-1)=5 egyenletet kapjuk, aminek a gyökei $x=\frac{1\pm \sqrt{21}}2$ .

Előzmény: [409] lorantfy, 2005-10-31 13:56:12

[412] Lóczi Lajos	2005-10-31 22:27:10
(Pontosítok: amit a legutolsó mondatban írtál, annak nincs köze a limesz definíciójához; az csak annyit jelent, hogy a $\sqrt{2}-1$ torlódási pontja a sorozatnak.)
Előzmény: [406] Suhanc, 2005-10-31 10:30:45

[411] Lóczi Lajos	2005-10-31 17:47:59
Amit írtál az annyit mond: ha feltesszük, hogy a határérték létezik, akkor az értéke csak $\sqrt{2}-1$ lehet. (Tehát a limesz létét is meg kellene mutatni, de nem muszáj a definíció alapján, ahogyan írtad, egyszerűbb hivatkozni olyan állításokra, mint pl. "ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens" -- ilyesmit kell keresni pl.)
Előzmény: [406] Suhanc, 2005-10-31 10:30:45

[410] Lóczi Lajos	2005-10-31 17:40:43
De attól még a válaszom a 83. feladatra ugyanaz: lásd a [394]-es hozzászólást.
Előzmény: [405] Edgar, 2005-10-31 07:39:29

[409] lorantfy

2005-10-31 13:56:12

Kedves Attila!

Kösz a szép megoldást! Beírom az én megoldásomat is.

76. megoldása helyettesítéssel:

$x^2+\frac{25x^2}{(x+5)^2}=11$

$\frac{25x^2}{(x+5)^2}=25 \big(\frac{x+5-5}{x+5}\big)^2= 25 \big(1-\frac{5}{x+5}\big)^2$ itt legyen $A=\frac{5}{x+5}$ ebből $x=5\frac{1-A}{A}$ ezt visszaírva az eredeti egyenletbe:

$25 \big (\frac{1-A}{A}\big )^2 +25 (1-A)^2=11$

$\big (\frac{1}{A}-1\big )^2 +(1-A)^2=\frac{11}{25}$

$\frac{1}{A^2}-\frac{2}{A}+2-2A+A^2=\frac{11}{25}$

$\big (A+\frac{1}{A}\big)^2-2\big (A +\frac{1}{A})-\frac{11}{25}=0$

$B=\big (A +\frac{1}{A})$

25B²-50B-11=0

$B_1=\frac{11}{5} \quad B_2=\frac{-1}{5}$

Az első gyök ad valós megoldást A-ra:

$A_1=\frac{11+\sqrt21}{10}\quad A_2=\frac{11-\sqrt21}{10}$

Ezt visszahelyettesítve:

$x_1=\frac{1-\sqrt21}{2}\quad x_2=\frac{1+\sqrt21}{2}$

Előzmény: [407] jenei.attila, 2005-10-31 11:58:40

[408] jenei.attila	2005-10-31 12:23:36
Közvetlenebb helyettesítéssel: $y:=\frac{-5x}{x+5}$ , amiből látszik, ha x gyök, akkor y is az.
Előzmény: [407] jenei.attila, 2005-10-31 11:58:40

[407] jenei.attila

2005-10-31 11:58:40

Végezzük el az y:=-x és

$z:=\frac{5y}{y-5}$

helyettesítést. Ezzel az eredeti egyenlet

$y^2+\frac{25y^2}{(y-5)^2}=11$

, illetve

$z^2+\frac{25z^2}{(z-5)^2}=11$

alakú lesz. Vagyis, ha y gyöke az egyenletnek, akkor z is az. De

$yz=\frac{5y^2}{y-5}$

és

$y+z=\frac{y^2}{y-5}$

. Ezért a másodfokú egyenlet gyökeinek és együtthatóinak összefüggése szerint y és z egy x²+px-5p=0 alakú egyenelet gyökei, míg az eredeti egyenletből kapott negyedfokú egyenlet 3. és 4. gyöke szintén a x²+qx-5q=0 alakú egyenlet gyökei. Elvégezve a két másodfokú egyenlet összeszorzását és az együtthatók összehasonlítását p=1, q=-11 -et kapunk, amiből az eredeti gyökök könnyen megkaphatók.

Előzmény: [382] lorantfy, 2005-10-29 11:54:41

[406] Suhanc

2005-10-31 10:30:45

Próba-szerencse:

Legyen $\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}=S$ !

Ekkor nyilván $0<S<\frac{1}{2}$ Tehát ezen intervallumon keressük S értékét!

Fenti egyenletünk reciprokát véve:

$2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}= \frac{1}{S}$

Azaz: $2+S= \frac{1}{S}$

Amiből: S²+2S-1=0

Itt S értékére két lehetőség van, ebből fenti kikötéseinket 1teljesíti: $S=\sqrt2 -1$

Ez elfogadható S keresés? Avagy szükséges, hogy minden $\varepsilon$ -ra mutassuk a_n-t. amire $\varepsilon> |(a_n-(\sqrt2 -1)|$ ?

Előzmény: [398] Lóczi Lajos, 2005-10-30 21:17:15

[405] Edgar

2005-10-31 07:39:29

jajajj, feladatom törvényen kívül került, mert nem adtam néki számot :-( Legyen:

83. feladat: Oldd meg a természetes számok körében:

x⁵-y²=4

Előzmény: [393] Edgar, 2005-10-30 19:32:45

[404] Róbert Gida	2005-10-30 23:32:26
A probléma nekem is megtetszett: valóban a Maple 9.5 sem tudja egyszerűsíteni a simplify paranccsal a formulát, ezután megpróbáltam a Mathematica 5.1-gyel, hogy mit tud: az egyszerübb Simplify itt sem egyszerűsít, de a bonyolultabb FullSimplify paranccsal 0.75 másodperc alatt megmondja, hogy az érték $14*\sqrt 2$ . Csodálatos, hogy már ilyen computeralgebra rendszer is van.
Előzmény: [392] Edgar, 2005-10-30 19:21:55

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?