Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[433] nadorp2005-11-09 15:29:46

Ez a megoldás csak egy adalék, hiszen a példát már megoldottátok. Úgy rémlik, hogy általános esetben is valami hasonló módszerrel kezelik a lánctörteket.

Könnyű látni, hogy igaz az alábbi két állítás:

1. Ha r_n>\sqrt2-1, akkor rn>rn+2 és r_{n+2}>\sqrt2-1

2. Ha r_n<\sqrt2-1, akkor rn<rn+2 és r_{n+2}<\sqrt2-1

Mivel r_1>\sqrt2-1, ezért r1>r3 és r_3>\sqrt2-1 is teljül. Innen indukcióval nyerjük, hogy

r_1>r_3>r_5>...>\sqrt2-1 Teljesen hasonlóan

r_2<r_4<r_6<...<\sqrt2-1

A páratlan és páros indexű tagokból álló két sorozat külön külün szigorúan monoton és korlátos, tehát konvergens. Mivel r_{n+2}=\frac{r_n+2}{2r_n+5}, ezért a hátérték mindkét esetben kielégíti az x=\frac{x+2}{2x+5} egyenletet, aminek egyetlen pozitív megoldása a \sqrt2-1. Ha most "összefűzzük" a két sorozatot, akkor elég nagy n-től kezdve a páros és páratlan indexű elemek mindegyike elég közel lesz \sqrt2-1-hez ( ez most nem precíz megfogalmazás!!), azaz az eredeti sorozatnak is ez a határértéke.

Előzmény: [427] Lóczi Lajos, 2005-11-09 11:26:20
[432] Ali2005-11-09 15:10:08

Fordítva.

Előzmény: [431] Ali, 2005-11-09 15:08:33
[431] Ali2005-11-09 15:08:33

Úgy van :-) A páratlan indexű szigorúan monoton növekvő, a páros indexű szigorúan monoton csökkenő. Találkoznak \sqrt2-1 -nél.

Előzmény: [430] Káli gúla, 2005-11-09 14:54:54
[430] Káli gúla2005-11-09 14:54:54

"Melyik sorozat monoton?" Mind a kettő :)

Előzmény: [429] Ali, 2005-11-09 14:46:56
[429] Ali2005-11-09 14:46:56

Melyik sorozat monoton ? Csak nem az rn ?

r_{2k-1} > \sqrt 2-1; r_{2k} < \sqrt 2-1, ahol k>0 egész.

Érdekelne az egyszerűbb megoldásod.

Előzmény: [425] Lóczi Lajos, 2005-11-09 02:28:48
[428] Gubbubu2005-11-09 13:46:47

Egy tényleg egyszerűke kis feladat, kisebbeknek (a "szultán és rabok" néven is ismert fa. egy variációja):

Gilgames, Uruk város pateszije (uralkodója), a Legyőzhetetlen Bika, Az Istenek Ereje, Istár Istenasszony Kegyeltje, Győzedelmes Minden Égtájak Seregei Fölött, Kedves Az Égiek Előtt. etc. etc. trónra kerülése után az ilyen alkalmakkor szokásos közkegyelemben részesíti a Borzalmak Háza (az uruki börtön) nyomorult lakóit. Megbízza száz hű emberét, hogy az első mindegyik ajtót nyissa ki, a második minden másodikat zárja be, a harmadik minden harmadikat nyissson ki, a negyedik minden negyediket zárja be ... és így tovább. Mely sorszámú cellák rabjai szabadulnak?

[427] Lóczi Lajos2005-11-09 11:26:20

Jó, nyilván arra vonatkozott a kérdés, hogy minél kisebb apparátussal hogyan bizonyítható az állítás; vagy hol nézhet utána az érdeklődő az idézett tételnek :)

Előzmény: [426] ágica, 2005-11-09 06:18:00
[426] ágica2005-11-09 06:18:00

Én úgy tudom, hogy egy szám lánctört közelítései konvergálnak az adott számhoz, tehát ezt nem kell bizonyítani :) A -1-nek pedig az 1/n sorozat nem a lánctört-közelítéseinek a sorozata :)

Előzmény: [423] Lóczi Lajos, 2005-11-08 23:04:28
[425] Lóczi Lajos2005-11-09 02:28:48

Micsoda kacifántos megoldások születtek :-) (Én csak szimpla monotonitási érveléssel csináltam az egészet.)

Előzmény: [424] Róbert Gida, 2005-11-09 00:32:00
[424] Róbert Gida2005-11-09 00:32:00

Ez a 80. feladat elég közismert a diofantikus approximáció elméletben, de azért van elemi megoldása is: Nézzük az r_n+1=\frac {p_n}{q_n} sorozatot, ahol lnko(pn,qn)=1, ekkor a sorozatból pl. p1=3;q1=2 teljesül. Ekkor a rekurzióból:

\frac {p_{n+1}}{q_{n+1}}= 1+\frac 1{2+r_n}=1+\frac {1}{1+\frac {p_n}{q_n}}=1+\frac {q_n}{q_n+p_n}=\frac {2 q_n+p_n}{q_n+p_n}

. De mivel lnko(pn,qn)=1 ezért itt a nevező és a számláló relatív prímek, azaz pn+1=2qn+pn és qn+1=qn+pn. Teljes indukcióval könnyen bizonyítható, hogy:

pn2=2*qn2+(-1)n+1

teljesül. Ebből az egyenletből:

{(\frac {p_n}{q_n})}^2=2+\frac {(-1)^{n+1}}{q_n^2}

. Mivel a rekurzióból qn szigorúan monoton nő, ezért (\frac {p_n}{q_n})^2 tart 2-höz, de nyilván \frac {p_n}{q_n}>0 ezért \frac {p_n}{q_n} tart \sqrt 2-höz, azaz az eredeti sorozat \sqrt 2-1-hez.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]  

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák