Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[453] ágica2005-11-16 21:23:45

Az \root{n}\of{n} sorozat a 3. tagtól kezdve monoton csökkenően konvergál 1-hez, előtte viszont monoton nő, tehát a legnagyobb tagja \root3\of{3}\approx{1,442}.

Előzmény: [449] Lóczi Lajos, 2005-11-16 12:12:26
[452] Lóczi Lajos2005-11-16 20:39:28

Ja, nyilván a második lehetőségre gondoltál.

Előzmény: [451] Lóczi Lajos, 2005-11-16 20:37:51
[451] Lóczi Lajos2005-11-16 20:37:51

Hogy értve pozitív?

Pl. 2x2-esnél: (ad-bc)-ben "ad" és "bc" is pozitív számok, vagy "ad" és "-bc" pozitívak?

Előzmény: [450] Róbert Gida, 2005-11-16 19:42:03
[450] Róbert Gida2005-11-16 19:42:03

87. feladat Egy nxn-es mátrix determinánsának a kifejtésénél azt a meglepő dolgot tapasztaltuk, hogy mind az n! darab tag pozítiv, milyen n-re lehetségez ez?

[449] Lóczi Lajos2005-11-16 12:12:26

86. feladat. Legyen n pozitív egész. Az \root n \of{n} alakú számok között melyik a legnagyobb?

[448] Lóczi Lajos2005-11-16 10:48:32

Az 5 az több, mint a "pár", tehát tényleg komolyabb az eszköz :)

(Leibniz nevében inkább ne legyen "t" betű.)

Előzmény: [447] Róbert Gida, 2005-11-16 00:58:20
[447] Róbert Gida2005-11-16 00:58:20

Azért nem kellenek komoly eszközök ehhez.

Tovább számolva: legyen n>1 ekkor

{\bigg(1-\frac 1{n^2}\bigg)}^{2n}\leq 1-\binom {2n}{1}\frac 1{n^2}+\binom {2n}{2}\frac 1{n^4}-\binom{2n}{3}\frac 1{n^6}+\binom{2n}{4}\frac 1{n^8}=1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {7}{3n^3}+\frac {8}{3n^4}-\frac {8}{3n^5}+\frac {11}{6n^6}-\frac {1}{2n^7}

teljesül, hiszen könnyen bizonyíthatóan Leibnitz sor a binomiális sor részletösszegeinek sorozata, így most az első 5 tag egy felső becslést ad. Az egyenlőtlenség jobb oldalára pedig alsó becslést adva: \frac {n-1}{n+1}=1-\frac {2}{n+1}\geq 1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {2}{n^3}+\frac {2}{n^4}-\frac {2}{n^5}+\frac {2}{n^6}-\frac {2}{n^7}, ( ha nagy n-re akarnám belátni akkor elég lenne 4 tagot venni ) azaz elég belátni:

1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {7}{3n^3}+\frac {8}{3n^4}-\frac {8}{3n^5}+\frac {11}{6n^6}-\frac {1}{2n^7}<1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {2}{n^3}+\frac {2}{n^4}-\frac {2}{n^5}+\frac {2}{n^6}-\frac {2}{n^7}

Rendezve és 6n7-tel szorozva kell: 2n4-4n3+4n2+n-9>0 kell, ami n>1-re triviálisan teljesül. Így beláttuk a feladatot.

Kétségtelen kicsit számolós, de ezt szerencsére a Maple végezte el.

Előzmény: [446] Lóczi Lajos, 2005-11-15 21:53:28
[446] Lóczi Lajos2005-11-15 21:53:28

Azért szerintem ide kicsit komolyabb eszközök kellenek, mint az első pár tag. Egy standard módszer: (n-nek semmi jelentősége, hogy egész, ezért x-et írva)

vegyünk logaritmust és rendezgessünk egy kicsit, elegendő belátni, hogy x>1 esetén

f(x):=-2x\log (1 - x^{-2}) + \log (1 - \frac{2}{1 + x})>0.

Könnyen látható, hogy f limesze 1-ben jobbról +\infty, a végtelenben pedig 0. Továbbá

f''(x)=\frac{4}{x{\left( -1 + x^2 \right) }^2}>0,

tehát f konvex. Ezek miatt f pozitív és az egyenlőtlenséget beláttuk.

Előzmény: [444] Ali, 2005-11-15 14:40:53
[445] jonas2005-11-15 20:59:39

Szép feladat.

Próbáltam a bal oldalt becsülni az első három taggal:

\left(1 - \frac1{n^2}\right)^{2n} < 1 - 2n\frac1{n^2} + \binom{2n}2\frac1{n^4}

(ha n elég nagy ), de ez már nagyobb a jobb oldalnál. Gondolkozom még rajta.

Előzmény: [444] Ali, 2005-11-15 14:40:53
[444] Ali2005-11-15 14:40:53

Lehet, hogy nem ujjgyakorlat ?

85. feladat.

Biz.be, hogy n>1 egész esetén

\left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right)^{2n} < \frac{n-1}{n+1}

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]  

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák