Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[463] Róbert Gida2005-11-17 18:41:47

Megoldás a 89. feladatra:

A minimum egyszerű, legyen ugyanis:

A=\left(\matrix {1&2&3 \cr 4&5&6 \cr 7&8&9 \cr } \right)

Ekkor A sorai lineárisan összefüggnek, így determinánsa nulla, így a minimum is nulla. A maximumra egy egyszerű program segítségével mind a 9! esetet végignézve ( persze lehetne kevesebbel is ), kapjuk, hogy a maximum 412 és ezt pl.

B=\left(\matrix {9&4&2 \cr 3&8&6 \cr 5&1&7 \cr}\right)

mátrixon vétetik fel. Egyébként nem véletlenül 412-öt is felveszi, mert ha -412 állna elő, akkor 2 oszlopát felcserélve a determináns ellentettjére vált.

[462] Róbert Gida2005-11-17 18:24:53

Valójában az indukció miatt az is kell, hogy pozítiv tag is van a kifejtési tagok közt. Amit persze ugyanúgy beláthatsz.

Megoldásom: n=3-ra szorozzuk össze a kifejtési tagokat, ekkor mivel a mátrix minden eleme két permutációban szerepel és a 6 féle permutáció közt 3 páros és 3 páratlan, ezért szorzatuk páratlan, így a kifejtési tagok szorzata - \prod _{i,j}{a_{i,j}}^2<0, de akkor a kifejtési tagok közt van pozitív és negatív is, ami kellett.

Előzmény: [456] Káli gúla, 2005-11-16 23:29:23
[461] Lóczi Lajos2005-11-17 14:13:01

Igen, ezért (is) érdekes az 1/2 !

(Csak az elütést teszem szóvá: 1+1/x-et gondoltál írni f definíciójában. - Javítottam - Sirpi)

Előzmény: [460] Ali, 2005-11-17 12:10:35
[460] Ali2005-11-17 12:10:35

f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}

f'(x)=\left(ln(1+\frac{1}{x})-\frac{\alpha}{x}-\frac{1-\alpha}{x+1}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}

Jelölje g(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{\alpha}{x}-\frac{1-\alpha}{x+1}

g'(x)=\frac{\alpha}{x^{2}}+\frac{1-\alpha}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x^{2}(x+1)^{2}}\left(\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\alpha)(2x+1)\right)

További részletezés nélkül ebből már látszik, hogy miért is olyan érdekes az 1/2 :-)

Előzmény: [442] Ali, 2005-11-14 16:00:17
[459] Lóczi Lajos2005-11-16 23:53:33

90. feladat. Milyen értéket vehet fel egy 3x3-as mátrix determinánsa, ha minden mátrixelem (+1) vagy (-1)?

91. feladat. Mi a helyzet 4x4-es mátrix esetén?

[458] Lóczi Lajos2005-11-16 23:45:56

89. feladat. Mennyi lehet egy 3x3-as mátrix determinánsa abszolút értékének

a.) maximuma

b.) minimuma,

ha a mátrix elemei az 1, 2, 3,..., 9 számok (mindegyik pontosan egyszer)? Adjunk meg egy-egy extremális determinánsú elrendezést.

[457] Lóczi Lajos2005-11-16 23:39:47

88. feladat. Milyen \alpha\in[0,1] esetén lesz a [-1,1] intervallum komplementerén értelmezett x\mapsto \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha} függvény grafikonjának tükörszimmetriája?

[456] Káli gúla2005-11-16 23:29:23

Ha mínuszból páratlan sok van, akkor valamelyik pozitív együtthatós hármasban is páratlan sok mínusz van. Ha mínuszból páros sok van, akkor valamelyik negatív együtthatós hármasban is páros sok van.

Előzmény: [455] Róbert Gida, 2005-11-16 22:51:06
[455] Róbert Gida2005-11-16 22:51:06

Jó megoldás, először én is így csináltam n>3-ra, és n=3-ra végignéztem számítógéppel az 512 esetet, ez persze nem sok egy mai számítógéppel, kevesebb mint 1 másodperc alatt lefut. Aztán észrevettem egy számolás mentes bizonyítást n=3-ra! Mi lenne az?

Előzmény: [454] Lóczi Lajos, 2005-11-16 22:36:09
[454] Lóczi Lajos2005-11-16 22:36:09

Mivel csak az előjel számít, feltehető, hogy minden elem a mátrixban +1 vagy -1.

n=2-re lehet minden kifejtési tag pozitív, pl. a bal alsó sarokban -1, a többi +1.

n=3-ra összesen 29-féle \pm1 mátrix van, ezeket szisztematikusan végigvizsgálva 32-féle különböző "kifejtési tag 6-os" adódik, ám mindegyik tartalmaz legalább egy (-1)-est, ÉS +1-est, tehát a kívánt tulajdonságú 3x3-as mátrix már nincs.

És nincs n>3 esetén sem, mert -- pl. első sor szerint kifejtve -- a kifejtési tétel szerint ezt az nxn-es determinánst felírhatjuk n db (n-1)x(n-1)-es determináns előjeles összegeként, de akármelyik ilyen eggyel kisebb determináns kifejtésében lesz előjelváltás, tehát az eredeti nxn-es mátrix első sorát akárhogyan is választjuk meg \pm1-ek közül, az n db (n-1)! tagból álló kupac mindegyikében lesz előjelváltás.

Előzmény: [450] Róbert Gida, 2005-11-16 19:42:03

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]  

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák