Fórum: "ujjgyakorlatok"

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[473] Ali

2005-11-21 15:54:56

Érdekes, nem engedett többet beírni...

akkor folytatva q_n+1=2q_n=2ⁿ⁺¹q₀ , n $\ge$ 0. q_n -t kifejezve p_n segítségével,

$q_n = \frac{1}{2}ln\frac{p_n+\sqrt a}{p_n-\sqrt a}=2^{n-1}ln\frac{p_0+\sqrt a}{p_0-\sqrt a}$

Ebből

$p_n = \sqrt a \cdot\frac{(p_0+\sqrt a)^{2^n} + (p_0-\sqrt a)^{2^n}}{(p_0+\sqrt a)^{2^n} - (p_0-\sqrt a)^{2^n}}$

Előzmény: [472] Ali, 2005-11-21 15:54:11

[472] Ali

2005-11-21 15:54:11

Megoldás a 79. feladatra:

$p_{n+1}=\frac{1}{2}\left(p_n+\frac{a}{p_n}\right) \qquad ,a>0$

a.) eset: p₀>0

$\left(\sqrt{p_n} - \sqrt{\frac{a}{p_n}}\right)^2 \ge 0 \quad miatt \quad p_{n+1}=\frac{1}{2}\left(p_n+\frac{a}{p_n}\right) \ge \sqrt a \quad ,n\ge 0$

p_n monoton fogyó, ugyanis n $\ge$ 1 esetén $p_{n} \ge \sqrt a$ miatt

$p_{n+1}=\frac{1}{2}\left(p_n+\frac{a}{p_n}\right) \le p_n$

Egy monoton fogyó alulról korlátos sorozatnak létezik határértéke, esetünkben az

$x = \frac{1}{2} \left(x + \frac{a}{x} \right)$

egyenlet pozitív gyöke. Ezért $\lim_{n\to\infty} p_n = \sqrt a$

c.) eset: p₀<0. ekkor p_n monoton növő $-\sqrt a$ -hoz konvergáló sorozat.

b.) eset: p₂₀₀₅=? Tfh a>0 és $p_0 > \sqrt a$ és legyen $p_n = \frac{\sqrt a}{\th q_n}$ ,

ahol $\th x =\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

$\frac{1}{\th 2x} = \frac{1}{2}\left(\th x + \frac{1}{\th x}\right)$ és a rekurzív összefüggés miatt $\frac{1}{\th q_{n+1}} = \frac{1}{2}\left(\th q_n + \frac{1}{\th q_n}\right) = \frac{1}{\th2q_n}$

Előzmény: [397] Lóczi Lajos, 2005-10-30 21:09:38

[471] Lóczi Lajos

2005-11-21 14:32:42

Kíváncsi vagyok, hogy a matematikai programcsomagok hogyan reagálnának arra, ha megkérdeznék tőlük, mennyi a

$\sum _{n=2005}^{\infty } \frac{e^n n^{-n-\frac{3}{2}} n!}{\log_2 n}$

összeg értéke. És szerintünk mennyi?

[470] Róbert Gida

2005-11-18 00:47:56

94. feladat

Egy nxn-es mátrixot nevezzünk k-büvős négyzetnek, ha elemei pontosan az 1,2,3,...,n² számok továbbá teljesül minden 1 $\leq$ d $\leq$ k-ra, hogy minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban az elemek d-edik hatványösszege ugyanaz. Bizonyítsuk be ,hogy (4p+2)x(4p+2)-es k-büvős négyzet nem létezik, ha k $\geq$ 3 ( itt p egész ).

[469] Lóczi Lajos

2005-11-17 22:26:32

Köszönöm az érdekes fejleményeket az ügyben (és hogy vetted a fáradságot bepötyögni a mátrixokat :)

(Én kb. 2000-ben foglalkoztam ezzel a kérdéssel (lám, azóta sokminden felkerült az internetre...) és emlékszem, többszáz CPU-órát használtam fel. A 40800 ezek szerint a 4x4-es maximum, én is azt sejtettem, most már beugrott a szám. Láttam, hogy a 7x7-es eset alsó becslésével Pfoertner több, mint 2 évet számolt :-) )

A legérdekesebb, hogy ezek szerint nem mindig akkor adódik a maximális determináns, ha a főátlóban vannak a legnagyobb elemek.

Előzmény: [467] Róbert Gida, 2005-11-17 21:10:06

[468] Róbert Gida

2005-11-17 21:17:16

93. feladat

Egy nxn-es komplex elemű mátrix determinánsának kifejtésénél azt a meglepő dolgot tapasztaltuk, hogy mind az n! tag valós része pozitív. Milyen n-re lehetséges ez?

[467] Róbert Gida

2005-11-17 21:10:06

Legyen x(n) a maximális determináns az nxn-es mátrixok közt, melynek elemei pontosan az 1,2,..,n² számok. Triviálisan x(1)=1 és x(2)=10 ( főátlóban 4 és 3 ). Megoldásom szerint x(3)=412 Ekkor Sloane adatbázisában az 1,10,412 sorozatra rákeresve egyetlen találatot ad, a miénket! Ez az A085000 sorozat: http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A085000 Még állítólag 3 tag ismert a sorozatból!

x(4)=40800, mátrixot nem ad meg hozzá.

x(5)=6839492 mátrixot is ad hozzá:

$A=\left(\matrix {25&15&9& 11 &4\cr 7& 24& 14& 3& 17 \cr 6& 12& 23& 20& 5\cr 10& 13& 2& 22& 19\cr 16& 1&18& 8& 21 \cr}\right)$

x(6)=1865999570 ehhez is ad mátrixot:

$B=\left(\matrix {36& 24& 21& 17& 5& 8\cr 3& 35& 25& 15& 23& 11\cr 13& 7& 34& 16& 10& 31\cr 14& 22& 2& 33& 12& 28 \cr 20& 4& 19& 29& 32& 6\cr 26& 18& 9& 1& 30& 27\cr}\right)$

Alsó becslések ( Hugo Pfoertner ): x(7) $\geq$ 762140212575 és x(8) $\geq$ 440857916120379, x(7)-re ez már jobb becslés, mint amit Sloane-nál találhatunk, ez a http://www.recmath.org-on található. Itt éppen a te problémád egy javasolt programozási versenyfeladat, hogy minnél jobb becslést találjunk x(n) sorozatra. Nagyon kevés nyílt programozási verseny van a weben, jó ha 2. Ezek közül az egyik a híres Al Zimmermann prog. verseny: évente van 3-4 feladat és nagyon nagy dolognak számít ezen nyerni. Jelenleg is tart egy verseny: cél az 1,2,3,...,n sugarú körök bepakolása egy minimális sugarú körbe, hogy a körök diszjunktak legyenek. Ez a feladat 5 $\leq$ n $\leq$ 50-re.

Előzmény: [464] Lóczi Lajos, 2005-11-17 19:10:22

[466] Káli gúla

2005-11-17 20:21:54

Igazad van, bár csupa negatív tagnál felcserélhetnénk két sort, és akkor csupa pozitív tagot kapnánk.

Egy újj gyakorlat. 92. feladat. A két és háromdimenziós kockának van egy érdekes tulajdonsága: ha a csúcsokat valahogy két azonos elemszámú részre bontjuk (elfelezzük), akkor a két ponthalmaz egybevágó lesz. Megvan-e ez a tulajdonsága a négydimenziós kockának is?

Előzmény: [462] Róbert Gida, 2005-11-17 18:24:53

[465] Róbert Gida

2005-11-17 19:15:26

Megoldás a 90. feladatra:

Ha A egy nxn-es mátrix, melynek minden eleme +-1, akkor a mátrix determinánsa osztható 2^n-1-gyel. Ez n=1-re trivi, indukcióval, ha n=k-ra igaz, akkor n=k+1-re is igaz. Induljunk a csupa 1 mátrixból, ennek sorai összefüggnek, így determinánsa nulla, egy-egy lépésben a mátrix egy elemét -1-re változtatva bármely mátrixot megkaphatunk. Egy lépésben a mátrix determinánsát kifejtve abban a sorban, ahol egy elemet megváltoztattunk: az eredeti determináns+-2*aldetermináns lesz az új determináns, de az aldetermináns az indukció miatt osztható 2^k-2-vel, így a determináns 2^k-1-gyel osztható marad. Ami kellett.

Ha n>1 akkor a 0 mindig lehet a determináns: legyen A csupa 1 mátrix. Elég pozitív determinánsokat előállítani, mivel a determináns előjelet vált, ha két oszlopát felcseréljük.

n=3-ra a determináns legfeljebb 6, mivel 6 darab kifejtési tag van. De a determináns osztható 4-gyel. Így csak -4,0,4 lehet, ezek közül mindegyik előáll, az előbbiek miatt elég 4-re előállítást mutatni: legyen

$A=\left(\matrix{-1&1&1\cr 1&-1&1\cr 1&1&-1\cr}\right)$

n=4-re 24 darab kifejtési tag van és a determináns osztható 8-cal, így csak -16,-8,0,8,16 lehet és mindegyik előáll, elég -8-ra és -16-ra példát mutatni: legyen

$B=\left(\matrix{ -1&1&1&1\cr 1&-1&1&1 \cr 1&1&-1&1 \cr 1&1&1&-1 \cr}\right)$

. Ekkor det(B)=-16 . Legyen

$C=\left(\matrix{-1&-1&1&1 \cr 1&-1&1&1 \cr 1&1&-1&1 \cr 1&1&1&-1\cr}\right)$

Ekkor det(C)=-8

[464] Lóczi Lajos

2005-11-17 19:10:22

Régebben a 4x4-es analóg esetet is végigszámoltam, azzal a feltevéssel, hogy a főátlóban állnak a maximális elemek (tehát 16, 15, 14, 13). Aztán ha jól emlékszem valaki végigszámolta mindet és meghatároztuk a maximális elrendezést. Sajnos, nem látszott az általános minta. Milyen jó lenne látni pl. az 5x5-ös, stb. eseteket is... (tehát a mátrixot 1,2, ... , n² számokkal feltöltve)

Aki ehhez hasonló problémákat akar keresgetni az interneten, az a Hadamard-féle maximális determinánsproblémára keressen pl. rá. Számos speciális alakú mátrix esetén ismert a maximum, de nem találtam eddig sehol eredményeket a fent feltett kérdésemre. Persze általánosabban is vizsgálható lenne a kérdés. Pl. egy ujjgyakorlat a következő:

Adott 4 valós szám. Mely elrendezés mellett lesz a belőlük képzett 2x2-es determináns abszolút értéke maximális?

Előzmény: [463] Róbert Gida, 2005-11-17 18:41:47

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?