Fórum: "ujjgyakorlatok"

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[873] Lóczi Lajos	2014-05-29 11:07:35
Legyen &tex;\displaystyle f&xet; egy olyan valós függvény, amely a &tex;\displaystyle (0,2e)&xet; intervallumon van értelmezve. Azt is tudjuk, hogy &tex;\displaystyle f'(x)>0&xet; minden &tex;\displaystyle x\in (0,2e)\setminus \{e\}&xet; esetén. Bizonyítsuk be, hogy ekkor &tex;\displaystyle f(0)<f(2e)&xet;.

[872] koma	2013-12-27 18:12:58
köszönöm szépen a válaszokat:)

[871] nadorp	2013-12-27 10:17:16
Te voltál a gyorsabb :-)
Előzmény: [869] Ménkűnagy Bundáskutya, 2013-12-27 10:12:24

[870] nadorp

2013-12-27 10:16:38

A térfogat tetszőlegesen kicsi lehet. Legyen a három él x,x és 45-2x, ahol x-et később választjuk meg. Ekkor a térfogatra

$V=x^2(45-2x)=\frac x2\cdot2x(45-2x)\leq \frac x2\frac{45^2}4=\frac{45^2}8x$

Innen látszik, hogy ha x elég kicsi, akkor a térfogat is kicsi, azaz a térfogatnak nem elfajuló téglatest esetében nincs minimuma, de tetszőlegesen közel lehet 0-hoz.

Előzmény: [868] koma, 2013-12-27 09:52:30

[869] Ménkűnagy Bundáskutya	2013-12-27 10:12:24
Ha a téglalapot elfogadod lapos téglatestnek, akkor a,45-a,0 (0 $\leq$ a $\leq$ 45) élekkel 0 a minimális térfogat. Ha nem, akkor nincs minimális térfogat: a,a,45-2a (0<a<22,5) élekkel a térfogat tetszőlegesen kicsi pozitív lehet (amint a mondjuk nagyon közel van 0-hoz).
Előzmény: [868] koma, 2013-12-27 09:52:30

[868] koma

2013-12-27 09:52:30

Sziasztok,

Egy téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek összege 45 cm. Mekkora lehet legfeljebb a téglatest térfogata?

Ez számomra világos AM-GM-el egyszerűen oldható.

Viszont a minimális térfogatot hogyan tudnám meghatározni? Ezt nem látom jelenleg.

Kellemes ünnepeket mindenkinek!

[867] w

2013-10-30 19:44:47

Nem, én kérek bocsánatot, nem figyeltem. :-)

Így már világos.

Előzmény: [866] csábos, 2013-10-30 17:46:30

[866] csábos	2013-10-30 17:46:30
Bocsánat, ez 847-re volt válasz.
Előzmény: [857] w, 2013-10-25 18:19:41

[865] w

2013-10-29 19:29:11

Igen. Amire eredetileg gondoltam, az lényegében ezt a gondoltatmenetet csomagolja be, és egyáltalán nem induktív.

Legyen $\epsilon$ harmadik komplex egységgyök, azaz $\epsilon=\cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{2\pi}3(=e^{2i\pi/3})$ . Most csak annyira lesz szükségünk, hogy létezik olyan $\epsilon$ szám, melyre $\epsilon$ ²+ $\epsilon$ +1=0.

Jelöljük f_k(n)-nel azon n-jegyű pozitív egészek számát, amelyek k maradékot adnak 3-mal osztva. Ekkor mivel nyilván $\epsilon$ ³=1, ezért $\epsilon$ ^a= $\epsilon$ ^a+3b tetszőleges a,b egész számokra. Emiatt meggondolhatjuk, hogy

$\sum_{k=0}^2 f_k(n)\epsilon^k=\sum_{x_1,\dots,x_n\in\{2,3,7,9\}}\epsilon^{x_1+x_2+\dots+x_n}.$

Utóbbi összeg viszont nyilván nem más, mint ( $\epsilon$ ²+ $\epsilon$ ³+ $\epsilon$ ⁷+ $\epsilon$ ⁹)ⁿ, ahol $\epsilon$ ²+ $\epsilon$ ³+ $\epsilon$ ⁷+ $\epsilon$ ⁹= $\epsilon$ ²+1+ $\epsilon$ +1=1. Vagyis

f₀(n)+f₁(n) $\epsilon$ +f₂(n) $\epsilon$ ²-1=0.

Ez egy $\epsilon$ -ban másodfokú egyenlet; megoldásai: $\epsilon$ és $\epsilon$ ². Viszont x²+x+1 is olyan másodfokú polinom, melynek gyökei $\epsilon$ és $\epsilon$ ², ezért a két szóban forgó polinom igazából egymás többszöröse. Ebből adódik, hogy f₀(n)-1=f₁(n)=f₂(n), ahol viszont f₀(n)+f₁(n)+f₂(n)=4ⁿ, ezért $f_0(n)=\frac{4^n+2}{3}$ .

A fent leírt módszer általánosabb feladatok megoldására is alkalmas: például keressük meg, hány n-jegyű számnak lesznek a számjegyei 1,3,4,5,6,9 kozüliek, és 7-tel oszthatók.

Egy másik gyakorló feladat például a következő. Hány p-elemű részhalmaza van az {1,2,...,2p} halmaznak, melynek elemeinek összege p-vel osztható, ahol p páratlan prímszám?

(De ezek már tényleg nem ujjgyakorlatok.)

Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03

[864] nadorp	2013-10-28 19:35:23
Elegáns
Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?