Fórum: "ujjgyakorlatok"

"Az egy oszlopon lévő korongok sorrendje is számít, mert nem tudnak helyet cserélni egymással." ezt a mondatot akár ki is lehetett volna hagyni. A korongok nincsenek számozva, mindegy milyen sorrendben tesszük az oszlopra a korongokat. Csak az számít, hogy a (számozott!) rudakon hány korong van és azokon az egyes korongok piros vagy kék oldala van-e felül.

Nem értem, mit jelent az, hogy a korongok sorrendje számít. Ha azt, hogy meg vannak számozva eleve, akkor persze más a válasz. Ha azt, hogy megszámozzuk őket, miután kiderült melyik oszlopon vannak, akkor is. Az idézett képletben \(\displaystyle \binom{n+k-1}{k}\cdot 2^k\)-van, ez azt jelenti, hogy mindegy milyen sorrendben tesszük az oszlopra a korongokat, csak az számít melyik oldaluk van felül. Ekkor tényleg 40193 leosztás van. A sorrend itt csak abban számít, hogy hanyadiknak van felül a kék illetve piros fele.

n korongra és n rúdra: a(n), és itt a harmadik formulából látható igazán, hogy erről a sorozatról van szó.

A következő összeszámlálási problémát kisiskolás koromban hallottam, amikor még nem tudtam megoldani.

Van egy állványunk hat számozott oszloppal. Van hat egyforma lyukas korongunk, amiknek az egyik oldala pirosra, a másik kékre van színezve. A korongokat az állvány oszlopaira szeretnénk fölrakni, de nem kell minden korongot fölhasználni, egy részét ki is lehet dobni. Két elrendezést különbözőnek tekintünk a szerint, hogy melyik oszlopon hány korong van, és az egyes korongoknak melyik színű oldala van felül. Az egy oszlopon lévő korongok sorrendje is számít, mert nem tudnak helyet cserélni egymással. A kidobott korongokról nem számít, hogy melyik oldala van felül. Lássuk be, hogy 40193 különböző elrendezés van.

Elvileg kimérhető, de a gyakorlatban nehéz lenne. Az a baj, hogy már az exponenciális lecsengést is nehéz pontosan kimérni, mert valamilyen izotóp mennyiségét kell szétválasztanod az összes többitől. A valóságban radioaktív bomlásnál mindig jelen vannak más atomok is, ami a mérést lehetetlenné teszi.

Vajon egy radioaktív bomlást megfigyelve kimérhető-e az Euler-féle szám, vagy csak az mérhető ki, hogy valami exponenciális a lecsengése, és az alap meg a konstans egymás függvényei?

Legyenek &tex;\displaystyle {a_0} = 0,{a_1} = 2, {a_{n+1}}=\sqrt{2 - \frac {a_{n-1}}{a_n}},&xet; ahol &tex;\displaystyle n\ge1.&xet; Számítsuk ki: &tex;\displaystyle \lim_{n\to\infty}{2^n{a_n}}.&xet;

Egy l betű lemaradt a végéről. A helyes cím: http://www.komal.hu/hirek/anket/2005/anket2005.h.shtml

Sajnos a link nem működik úgy ahogy elképzeltem, megpróbálom újra, ezen az oldalon Gál Péter előadásában olvashatók a bizonyítások: http://www.komal.hu/hirek/anket/2005/anket2005.h.shtm

Köszönet a segítségért, mindenképp szánok rá időt, hogy beleolvassak. Közben azt is megemlítem, hogy saját kérdésemre reflektálva éppen itt a KÖMAL-os hozzászólások között találtam a témába vágó egy-két tételt, amely szintén hasznos lehet valamely későbbi bizonyítás során: Gál Péter előadása