Fórum: "ujjgyakorlatok"

Még mindig a már említett formulához vezető utamon született ez az eredmény is, talán érdekes lehet így új feladatként tűzöm itt ki (azért nem küldöm be sehova, mert személyes véleményem, hogy nem szeretem az időre menő matematika feladat megoldást, hiszen ha az sikeres, az úgyis időtlen marad! No meg ezt itt mindenki láthatja, szerencsére! :P ), viszont kitűztem facebook csoportba ( a Matematika mindenkinek ill. Versenymatek (nehezebb matekos feladatok csoportokban), és lehet megyek vele egy kört az artofproblemsolving-on, de egyelőre azokon még nem jött megoldás, így aki itt megcsinálja, biztosan első lesz, és szerintem az is dicsőség! :-) Mutassok meg, hogy igaz ez az állításom is:

Sajnos most egészségügyi okok miatt kisebb-nagyobb időre félre kell tegyem a vizsgálódásom, de megadok egy figyelemre méltó összefüggést, amely nyilván általánosítható kisebb kitevőkre (sőt szummás alakra is felírható!), aki izgalmasnak találja, bátran küzdjön vele, szerintem megéri ;) Wolfi-kód itt ;-).

Nagyon nagy köszönet Róbert Gida, hogy foglalkoztál vele, sok dolog volna még itt nekem is, megjegyzem, ehhez kapcsolódóan, de majd összeszedem (magam) valamikor, és azokat is mindenképp ideteszem. Próbálnék én itt általánosítani, de ez minden, csak nem könnyű (nekem), azért majd igyekszem, mert már ez a képlet is szerintem ránézésre megérte a belefektetett (nem kevés!) időm. És természetesen a saját (nem túl szép és elegáns) bizonyítási "utamat" is iderakom, csak jussak végre már el odáig.

(ui.: én meg most vettem észre, mennyi álnéven voltam itt már jelen!! :D , hú ha nem kallódnának el azok a jelszavak az emlékezetemben, de jó is volna... ha jól látom lejjebb, pár éve még Glomgold-ként írogattam ide... :) hiába, no, szeretjük a mesefigurákat... :D)

Nem vacakolva, komplex számokat használva, és a polinom számolásokhoz a pari-gp-t használva ez azért egy egzakt bizonyítás:
Ismert Euler képlet szerint:
\(\displaystyle exp(Ix)=cos(x)+Isin(x)\)
\(\displaystyle epx(-Ix)=cos(x)-Isin(x)\), amiből:
\(\displaystyle tan(x)=-I\frac{exp(Ix)-exp(-Ix)}{exp(Ix)+exp(-Ix)}=-I\bigg(1-\frac {2}{exp(2Ix)+1}\bigg)\) Legyen \(\displaystyle U=exp\bigg(\frac{4*I*\Pi}{180}\bigg)\), ekkor a formulád egyszerűen felírható: \(\displaystyle (-I)^{12}=1\) egyszerűsítéssel \(\displaystyle v\)-vel egyenlő, ahol

v=(1-2/(U+1))*prod(i=4,14,1-2/(U^prime(i)+1));
P=numerator(v);Q=denominator(v);
Mod(P-Q,polcyclo(90,U))
[próbáld ki itt, másold át az egészet a v=.. től: https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html ]

az eredmény: Mod(0, U^24 + U^21 - U^15 - U^12 - U^9 + U^3 + 1)

Azaz \(\displaystyle P-Q=0\), tehát \(\displaystyle v=\frac PQ=1\) ami kellett. Fent itt használtuk azt is, hogy \(\displaystyle U\) triviálisan egy primitív 90-edik egységgyök, tehát gyöke a megfelelő körosztási polinomnak, ami nálunk polcyclo(90,U), ami egyébként U^24 + U^21 - U^15 - U^12 - U^9 + U^3 + 1.

ps. most vettem észre, hogy \(\displaystyle P=Q=-U\) is igaz, érdekes, hogy ilyen alacsony fokú.

(Év)Zárásképpen leírom, hogy Sakkmath ötletfelvetését idén még kicsit tovább gondolva végül erre jutottam, ami - felsőbb matematikai tanulmányok hiányában számomra igen érdekes összefüggés, és amely - ahogy a legutóbbi hozzászólásomban is írtam, - összekapcsolja a még általam is tanult trigonometriát a számomra már kicsit ismeretlen, és mélyebb ismeretek nélkül igen homályos számelmélettel (de azért kezdem kapiskálni némi internetes nyomozás után, hogyan lehetne ezt szebben bebizonyítani, mert az út, amin idejutottam, szerintem kicsit faragatlan (de legalább komplex számokat és felsőbb matematikát nem használ :) ), ezért meg is kérdezem a fórumtagoktól, hátha látok sokkal ötletesebb és járhatóbb utat arra, hogyan lehet ezt a formulát ügyesen bebizonyítani, melyben p(n) az n-edik prímszámot jelöli?

... no és persze a dátumra tekintve kívánok ezúton is minden kedves fórumozónak Kellemes Karácsonyi Ünnepeket, és Sikerekben Gazdag Boldog Új Esztendőt!

Mivel azóta, mióta ide írtam, nem jött új hozzászólás a téma alatt (az enyim az utolsó), kicsit még erőltetem ezt. Sakkmath-tól megkérdezem, hogy ismert-e számára az az észrevétel, hogy a hivatkozott hozzászólásában leírt 2 feladata kapcsolatban áll valószínűleg egy mélyebb területtel, feltételezem a komplex számelmélet témaköréhez kapcsolható, amely sajnos számomra ismeretlen, felsőbb tanulmányok hiányában - viszont nagyon érdekelne (például ajánlható tankönyv/honlap, amiben ez a példa is megtalálható, szívesen utánaolvasnék). A lapon leírt feladata ugyanis szerintem kapcsolatban van a 45-nél kisebb prímszámok tangenseivel és a feladatában említett kettő hatványokkal. A választ előre is köszönöm.

Nekem is sikerült elrontanom.:) Természetesen mindenhol, ahol legutóbbi hsz-ban tan()-t írtam, ctg()-t kell érteni.

Bocsánat lehet, hogy én értettem félre. Nem véletlenül írtam, hogy nem a kérdésedre kerestem választ, hanem csak egy részeredményt számoltam ki. Csak a nevezetes szögeket szoroztam össze (azokat ahol 3 fok többszöröseinek tangenseit szorozzuk össze), míg lehet, hogy Te a teljes feladatod megoldására számítottál. [ Vagyis az alábbi részszorzatot vizsgáltam: \(\displaystyle tan (3 deg)tan(6 deg)tan(9 deg)… tan(39 deg)tan(42 deg) = tan(3\pi/180 rad)tan(2\cdotp3\pi/180 rad)…(3\cdotp13\pi/180 rad)tan(3\cdotp14\pi/180 rad) = tan(\pi/60)tan(2\cdotp\pi/60 rad)(3\cdotp\pi/60 rad)…tan(13\cdotp\pi/60 rad)tan(14\cdotp\pi/60 rad)]. \) Hozzászólásomban azt mutattam meg, hogy már a nevezetes szögek produktumából is mennyire érdekes és összetett feladat adódik, így – bár nem zárom ki, mégis – bizonytalannak véltem az annyira egyszerű felírás lehetőségének létezését.

Az előbb, a [931]-ben, sikerült elrontanom. Javítok: szerintem a WolframAlpha ezt a közelítő értéket adja a szorzatra.

Javítottam kicsit, ezt nézd meg, kérlek!