Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[161] Hajba Károly2004-05-11 00:34:25

Ez lemaradt az előző hozzászólásom végéről \alpha4=225° :o)

HK

Előzmény: [160] Hajba Károly, 2004-05-11 00:29:46
[160] Hajba Károly2004-05-11 00:29:46

Megoldás László nem is annyira ujjgyakorlat 32. feladatára:

sin^2xsin2x+cos^2xcos2x = \frac12

Három ismert trigonometriai egyenlőséget behelyettesítve:

\frac{1-cos2x}{2}sin2x + \frac{1+cos2x}{2}cos2x = \frac{sin^22x+cos^22x}{2}

Majd szépen rendezve:

sin2x-sin2xcos2x+cos2x+cos22x=sin22x+cos22x

(sin2x+cos2x)-sin2x(sin2x+cos2x)=0

(sin2x+cos2x)(1-sin2x)=0

\alpha1=67,5°;...\alpha2=157,5°;...\alpha3=45°

Előzmény: [109] lorantfy, 2004-02-10 08:18:20
[159] BohnerGéza2004-05-09 11:13:36

A 42. feladathoz: (Mutassuk meg, hogy minden húrnégyszög felbontható n>=4 db húrnégyszögre.) A feladat régóta „áll”, ezért az „ujjgyakorlat” részét megírom, lerajzolom. Nem nehéz belátni, ha fel tudjuk bontani a 4-re, 5-re és 6-ra, akkor n>=4 tetszőleges db-ra is.

Az ábrán látható négyszögekről – leírom, hogy kaptam azokat – „ujjgyakorlat” megmutatni, hogy húrnégyszögek. Ami nehezebb, meg kell mutatni, hogy létezik megfelelő G, G és I, illetve M pont.

A nem triviális esetekben van hegyesszöge az ABCD húrnégyszögnek. Jelöljük egy ilyen csúcsát az A-val. ( Ekkor azt hiszem mindig léteznek az alább leírt felbontások esetén a megfelelő pontok. )

A négy részre bontást – ábra első része – úgy kapjuk, hogy megfelelő G-t választunk, majd legyen GR || AD, GQ || AB, valamint PBQB és GRDS húrtrapéz.

Az öt részre bontást – ábra középső része – úgy kapjuk, hogy a G és I pontokat felvesszük megfelelő helyre úgy, hogy a rajtuk és a megfelelő csúcsokon átmenő körök messék egymást még a H illetve J pontban.

Az hat részre bontást – ábra utolsó része – úgy kapjuk, hogy megfelelő M esetén a PBQM és MRDS „elég hosszú” paralelogrammák legyenek, majd azokat két-két húrtrapézra bontjuk.

Előzmény: [135] Csimby, 2004-04-11 22:16:40
[158] Hajba Károly2004-05-07 12:27:10

Kedves Péter!

Nem nehéz belátni a \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)} egyenlőséget, s ebből következik, hogy k=2 feltétel is elég. A jobb oldalt tovább lehet bontani és így akármeddig lehet bontogatni.

Üdv: HK

Előzmény: [156] nadorp, 2004-05-07 11:11:48
[157] Kós Géza2004-05-07 12:09:28

\frac1n=\frac1{2n}+\frac1{3n}+\frac1{6n}.

Az általánosabb feladat úgy szól, hogy minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokösszegeként. Ez ebben a formában nem ujjgyakorlat, de egy kis segítséggel az.

Vegyünk tehát egy pozitív racionális számot. A pozitív egészeket keressük ,,mohón'', azaz mindig a lehető legkisebbet válasszuk ki, ami még nem szerepelt, és a reciprokösszeg nem nő túl nagyra. Például, ha az 1,36 számot szeretnénk felírni, akkor a kiválasztott számok: 1, 3, 38, 2850.

47b feladat: Igazoljuk, hogy a mohó algoritmus mindig eredményre vezet.

Előzmény: [156] nadorp, 2004-05-07 11:11:48
[156] nadorp2004-05-07 11:11:48

A 47. feladat kapcsán jutott eszembe.

47.a feladat: Bizonyítsuk be, hogy minden 1 nél nagyobb n pozitív egész szám reciproka előállítható k darab (2\leqk\leqn2) különböző pozitív egész reciprokának összegeként.

Előzmény: [146] Hajba Károly, 2004-05-04 12:33:58
[155] nadorp2004-05-07 10:42:13

Kedves Tamás !

László megoldásából látszik, hogy a téglalap akkor lesz négyzet, ha DF_2=\sqrt{T_\Delta}. Nyilván \frac{AB}2\leq{DF_2}\leq{AF_2} teljesül, tehát a megoldhatóság feltétele,hogy \frac{AB}2\leq\sqrt{T_\Delta}\leq{AF_2}. Ez a feltétel pld. szabályos háromszög esetén teljesül,holott AC\neqMB.

Abban viszont igazad van, hogy nem minden esetben van megoldás. Pld. ha a háromszög AB oldalához tartozó magasságra m_c<\frac{AB}2, akkor T_\Delta=\frac{AB\cdot{m_c}}2<\frac{AB^2}4, tehát \sqrt{T_\Delta}<\frac{AB}2

Előzmény: [153] Bodoni Tamás, 2004-05-06 11:06:22
[153] Bodoni Tamás2004-05-06 11:06:22

46b.feladat:

A feladat csak akkor megoldható, ha a háromszög MB magassága egyenlő az AC alappal. Remélem nem mondtam oktalanságot. Bemutatkozásként.

Előzmény: [151] Kós Géza, 2004-05-05 13:55:04
[152] lorantfy2004-05-05 19:29:18

Kedves Géza és Fórumosok!

Valóban a B-ből induló magasságra nincs szükség, ez volt a félrevezetés, ui. egy "átlagos" hegyesszögű \Delta-ben a talppontja elég közel esik ahhoz az M ponthoz amire négyzetet kapunk.

A DF1F2E paralelogramma DF2 átlója egyenlő a RPQT2 téglalap QT2 oldalával. Tehát, ha meg tudnánk szerkeszteni a leendő négyzet x oldalát, akkor F2 pontból kimetszhetnénk vele AC-ből a D pontot. Ezután A pont tükörképe D-re adja az M pontot.

x=\sqrt{\frac{a}{2}m_a}, tehát egyszerű mértani közép szerkesztéssel megkaphatjuk x-t az egyik oldal feléből és a hozzá tartozó magasságból.

Előzmény: [151] Kós Géza, 2004-05-05 13:55:04
[151] Kós Géza2004-05-05 13:55:04

Ahogy látom, a B-ből induló magasságra nincs is szükség. Az M pont bárhol lehet az AC oldalon, feltéve, hogy a T1 és T2 pontok nem kerülnek a DF2 szakaszon kívülre.

46b. feladat: Szerkesszük meg az AC oldalon azt az M pontot, amire az RPQT2 téglalap négyzet lesz.

Előzmény: [144] lorantfy, 2004-05-02 10:39:46
[150] lorantfy2004-05-05 13:33:53

Szabályos \Delta esetén, a lenti ábra jelöléseivel, AB=1 esetén:

RT_2=\frac{\sqrt3 \sqrt7}{7} \neq QT_2=\frac{\sqrt7}{4} \quad T_{PQT_2R}= \frac{\sqrt3}{4}=T_\Delta

Előzmény: [149] Hajba Károly, 2004-05-04 21:38:33
[149] Hajba Károly2004-05-04 21:38:33

Kedves Géza és László!

Ha most politikus lennék, azt mondanám: Nem is mondtam, hogy négyzet! :o)

Az igazság az, hogy a területegyezőségekben mélyedtem el, s felelőtlen, slendrián kijelentésemet főleg erre értettem, ami persze igaz, de tény, hogy nem vetődött fel bennem a nemnégyzet lehetősége.

Tehát, ha egy ácshajszálnyival is, de nem feltétlenül négyzet, mely a mellékelt ábrából is kitűnik.

HK

Előzmény: [147] Kós Géza, 2004-05-04 12:48:51
[148] lorantfy2004-05-04 14:07:49

Kedves Géza, Károly és Fórumosok!

Gézának igaza van! Az ábra félrevezető lehet. Szabályos \Delta esetén gyorsan utánna számolhatunk igaz-e az állítás.

Előzmény: [147] Kós Géza, 2004-05-04 12:48:51
[147] Kós Géza2004-05-04 12:48:51

Az ábrák sokszor becsapnak, nem szabad hinni nekik. :-)

Az első kérdésre a válasz nem. Téglalap, de nem négyzet.

Előzmény: [145] Hajba Károly, 2004-05-04 12:27:23
[146] Hajba Károly2004-05-04 12:33:58

47. feladat:

Létetik-e olyan a\inN+, melynek reciproka felbontható véges számú különböző prím reciprokösszegére?

HK

[145] Hajba Károly2004-05-04 12:27:23

Kedves László!

Az ábrád önmagáért beszél. A levezetését ráhagyom egy fiatal titánra. :o)

HK

Előzmény: [144] lorantfy, 2004-05-02 10:39:46
[144] lorantfy2004-05-02 10:39:46

Kedves Fórumosok!

A következő feladat Bólyai Farkas egy híres átdarabolásából született.

46. feladat: Legyen ABC hegyesszögű \Delta AB oldalának felezőpontja F1, BC oldalának felezőpontja F2 és a B csúcsból induló magasság talppontja M.

Legyenek AM és MC felezőpontjai D és E. Húzzuk meg a DF2 egyenest és állítsunk rá merőlegest az F1 és E pontokból. Ezek talppontjai legyenek T1 és T2. Tükrözzük a T1 pontot D-re, a T2 pontot E-re. A tükörképek legyenek Q és R. Ezekben a pontokban állított merőlegesek metszéspontja legyen P.

Igyaz-e, hogy a keletkezett négyszög négyzet és területe megegyezik az ABC \Delta területével?

[143] lorantfy2004-05-02 10:05:37

Kedves Károly!

Ezt a kis feladatot amolyan EU-belépési tesztnek szántam. Gratulálok! Te már beléphetsz!

Rajzos megoldás: a sárgára szinezett részek a kék és piros részt is a terület felére egészíti ki.

Előzmény: [142] Hajba Károly, 2004-05-02 00:26:06
[142] Hajba Károly2004-05-02 00:26:06

Megoldás a 45. feladatra:

Egy-egy háromszög területe a négyzet területének felével egyenlő, vagyis a két háromszög területe épp a négyzetével egyenlő. (azaz fehér + 2*piros = négyzet) Így amennyi az átfedésük területe (piros), annyinak kell lennie a le nem fedett területnek (kék) is.

Ezt a feladatot annyiban lehet általánosítani, hogy akár téglalapon és bármely két oldalára felvett háromszöggel is igaz.

HK

Előzmény: [141] lorantfy, 2004-05-02 00:04:39
[141] lorantfy2004-05-02 00:04:39

45. feladat: Egy négyzet két szomszédos oldalán felvettünk egy-egy tetszőlegesen választott pontot, melyet összekötöttünk a szemközti oldal végpontjaival. Igazoljuk, hogy az így keletkezett pirosan színezett síkidom területe megegyezik a kékkel színezett síkidomok területeinek az összegével!

[140] Suhanc2004-04-18 18:59:55

Kedves Csimby!

Hát ezek nem sokáig maradtak életben... :)

Köszi a megoldásokat!

A 45. feladaton érdekesnek hangzik... gondolkodok rajta!

Előzmény: [139] Csimby, 2004-04-18 16:06:00
[139] Csimby2004-04-18 16:06:00

43. feladat megoldása:

n=(102k+1-1)/9-2*(10k+1-1)/9=(102k+1-2*10k+1+1)/9=((10k+1-1)/3)2

Mivel 10k+1-1 csupa 9-esből áll, osztható 3-mal, tehát (10k+1-1)/3 egész szám, n pedig négyzetszám!

44. feladat megoldása:

n(n+1)(n+2)(n+3)=6n+11n2+6n3+n4, ugyanakkor 6n+11n2+6n3+n4+1=(n2+3n+1)2

Két négyzetszám különbsége pedig nem lehet 1 (kivéve, ha az egyik a 0, hiszen (n+1)2-n2=2n+1 ami csak n=0-ra egyenlő 1-gyel).

Hasonlít a 43. feladathoz a tanárképző főiskolák idei Péter Rózsa matematika versenyének 1. feladata (legyen ez a 45. feladat):

A=177...76 (2k+3 jegyű), B=355...52 (k+2 jegyű). Biz. be, hogy \sqrt{A-B} természetes szám és mondjuk meg, hogy hány jegyű.

Előzmény: [138] Suhanc, 2004-04-17 22:00:51
[138] Suhanc2004-04-17 22:00:51

Kedves Fórumosok!

Az alábbi két feladattal Bonifert Domonkos: Néhány tipikus problémaszituáció matematikából c. könyvében találkoztam.

Szerintem okozhatnak néhány kellemes percet, mégha komoly fejtörést nem is...

43.feladat Lássuk be, hogy n=111...111-222...222

(2k db 1-es, és k db 2-es) minden k>o egészre négyzetszámot ad!

44.feladat Lássuk be, hogy n(n+1)(n+2)(n+3) nem lehet négyzetszám, ha n poz. egész!

[137] nadorp2004-04-14 08:22:25

Kedves Csimby !

A 41. feladatra inkább ebben a topicban adok egy megoldást, mert a bizonyítás algebrai, bár az ötletet a háromszögbe írható körhöz húzott érintőszakaszok adták.

Legyen a=y+z, b=x+z, c=x+y. Ekkor az egyenlőtlenség az alábbi alakba írható:

(y+z)2.2x+(x+z)2.2y+(x+y)2.2z\leq3(y+z)(x+z)(x+y)

6xyz\leqx2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2 vagy "szebben" írva

xyz\leq\frac{x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2}6

A fenti egyenlőtlenség pedig azonnal következik a számtani és mértani közép közötti összefüggésből.

Előzmény: [134] Csimby, 2004-04-11 22:10:02
[136] Csimby2004-04-11 22:21:43

A 41. és 42. feladatot a Geometria témába akartam rakni, de most már mindegy...

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]