Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[211] lorantfy2004-11-27 20:59:39

61. feladat: Oldjátok meg az alábbi egyenletredszert:

x2-y  =  x2y

8y2-3z  =  12y2z

                    18z2-x  =  9z2x

[210] lorantfy2004-11-18 09:12:44

60. feladat megoldása: Könnyű belátni, hogy

(a,b).[a,b]=a.b

hiszen a lkkt-t pont úgy kapjuk, hogy a két szám szorzatából kihagyjuk a közös prímtényezőket. Ezek szorzata meg pont a lnko. Így aztán a.b=b.c=a.c amiből a=b=c.

Előzmény: [208] Gubbubu, 2004-11-17 22:38:15
[209] Gubbubu2004-11-17 22:55:33

Hát, egyelőre nemigen tudok rájönni. Sajnos, az eredeti papíromat talán egy hónapja is, hogy kidobtam, és nagyon kevés az időm, hogy újra rekonstruálni próbáljam. Na mindegy, ha valaki ki tudja valahogy javítani, csak nyugodtan, ha meg nem, hagyjuk a fenébe.

Előzmény: [207] Gubbubu, 2004-11-17 22:29:37
[208] Gubbubu2004-11-17 22:38:15

Addig is egy új szellemes kis feladat, amiből (többek közt) ma zéháztam: 60. feladat Az a,b,c>0 egész számokra teljesül

(a,b)=(b,c)=(c,a)

és

[a,b]=[b,c]=[c,a]

.

(azaz lnko-ik és lkkt-ik páronként egyenlőek).

Igazoljuk, hogy a=b=c !

[207] Gubbubu2004-11-17 22:29:37

Aha... kösz, hogy szólsz, megnézem, hogy elszámoltam-e vagy elírtam-e valamit.

Előzmény: [204] nadorp, 2004-11-10 13:31:48
[206] Gubbubu2004-11-17 22:28:33

Igen, az a trükk, hogy a szélső tényezőket kell egymással szorozni (az elsőt a hatodikkal, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat a negyedikkel), ekkor szinte azonos másodfokú polinomok szorzatát kapjuk, ami új változó bevezetésével szép harmadfokú egyenletté redukálható - mely utóbbit pl. "racionális gyökteszttel" lehet megoldani megfelelő n-ekre.

Köszönöm a megoldásokat.

Előzmény: [198] lorantfy, 2004-11-09 09:30:55
[205] lorantfy2004-11-10 23:30:04

Kedves Károly!

Ügyes kis példa, de egy prímszám tábla nem árt hozzá: itt

59. feladat megoldása: A bal oldalból (p-q) kiemelhető, a 83805 minden osztója páratlan. Két prímszám különbsége csak akkor lehet páratlan, ha egyik 2.

Tehát q=2. Ezt visszaírva:

p(1+p+p3)=83827=17.4931

Ebből p=17 és 1+p+p3 pont 4931 lesz.

Előzmény: [202] Hajba Károly, 2004-11-10 08:10:13
[204] nadorp2004-11-10 13:31:48

Kedves Gubbubu !

Az 56. példát valahogy nem értem, mert nem igaz pld szabályos háromszögre, ui. legyen a=b=c. Ekkor szerinted

\frac{2}{3\sqrt3a}\leq\frac{27}{16}a, ami nyilván nem igaz minden a-ra.

Előzmény: [191] Gubbubu, 2004-10-08 09:48:03
[203] lorantfy2004-11-10 10:01:43

Kedves Károly!

Kösz a megoldást! Valóban ennyi az egész.

Előzmény: [201] Hajba Károly, 2004-11-10 07:59:11
[202] Hajba Károly2004-11-10 08:10:13

59. feladat:

Oldjuk meg az alábbi egyenletet, ha p és q prímek:

p+p2+p4-q-q2-q4=83.805

HK

[201] Hajba Károly2004-11-10 07:59:11

57. feladathoz:

mAB+mCD=mBc+mDA=1

Azaz egy-egy pont a háromszögeket két egyenlő összterületű részre bontja, s mivel kilenc egyforma területet nem lehet két egyenlő részre bontani, így ilyen elrendezést sem fogunk tudni találni.

HK

Előzmény: [195] lorantfy, 2004-11-09 08:45:18
[200] Hajba Károly2004-11-09 09:48:05

Kedves KL!

Valóban. Az otthoni vázlatomból rossz sort másoltam ide. Köszi a Kemény-féle kritikát. :o)

HK

Előzmény: [199] Kemény Legény, 2004-11-09 09:38:18
[199] Kemény Legény2004-11-09 09:38:18

Kedves Onogur!Szerintem az A számod nem (x-3)(x-4) hanem (x-2)(x-5)=x*x-7x+10,ekkor a további folytatás jó.(Bár a megoldásokat nem ellenöriztem le..)

Előzmény: [197] Hajba Károly, 2004-11-09 08:59:01
[198] lorantfy2004-11-09 09:30:55

Kedves Károly!

Köszönöm! Hát erről van szó. Ha megfelelően párosítjuk a szorzótényezőket az x-ek száma megegyezik, csak konstansban különböznek. Így biztos 3-ad fokú lesz belőle, ami megfelelő n-ekre szépen szorzattá alakítható.

Előzmény: [197] Hajba Károly, 2004-11-09 08:59:01
[197] Hajba Károly2004-11-09 08:59:01

Egy kis zárójel lemaradt.

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0

A=(x-3)(x-4)=x2-7x+10

(A-4)A(A+2)+16=0

A3-2A2-8A+16=0

(A-2\bf)\rm(A-2\sqrt{2})(A+2\sqrt{2})=0

x1=1,246463...;x2=1,438447...;x3=5,753536...;x4=5,561552...

HK

Előzmény: [196] Hajba Károly, 2004-11-09 08:56:26
[196] Hajba Károly2004-11-09 08:56:26

Kedves László!

Én is megoldottam, csak Lajos beelőzött. :o)

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0

A=(x-3)(x-4)=x2-7x+10

(A-4)A(A+2)+16=0

A3-2A2-8A+16=0

(A-2(A-2\sqrt{2})(A+2\sqrt{2})=0

x1=1,246463...;x2=1,438447...;x3=5,753536...;x4=5,561552...

HK

Előzmény: [195] lorantfy, 2004-11-09 08:45:18
[195] lorantfy2004-11-09 08:45:18

Kedves Lajos!

Gratula! Szép a szorzattáalakítás, de a trükköt is megoszthatnád velünk!

Felteszek még egy ábrát az 57. feladathoz hátha valakinek megtetszik!

Előzmény: [194] Lóczi Lajos, 2004-11-09 02:56:16
[194] Lóczi Lajos2004-11-09 02:56:16

Ha "csak úgy bele a közepibe", akkor

\left( 8 - 7x + x^2 \right) 
  \left( 10 - 2 {\sqrt{2}} - 7x + x^2 \right) 
  \left( 10 + 2 {\sqrt{2}} - 7x + x^2 \right).

Gyártottam még néhány feladatot erre a kaptafára, ezek kivétel nélkül másodfokúak szorzatára bonthatók:

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+n=0, ahol n\in{...,-189,-96,-35,-5,9,15,16,21,64,135,...}.

Persze a tényezők számának és az 1,2,3,4,5,6 számoknak semmi szerepük sincs, pl. (x+1)(x-2)(x+5)(x+4)(x+2)+160=0 egy másodfokú és egy harmadfokú szorzatára bomlik... stb. stb. stb.

Előzmény: [193] Gubbubu, 2004-11-08 19:37:04
[193] Gubbubu2004-11-08 19:37:04

58. feladat (ezt én Mosóczi András egyetemi hallgatótól ismerem)

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0

Nem kell megijedni ettől a jó kis hatodfokú egyenlettől. Ügyesen kell szorozgatni és alakítgatni, nem csak úgy bele a közepibe... :-))

[192] lorantfy2004-11-07 20:00:53

57.feladat: Egy négyzet belsejében úgy vettünk fel két pontot, hogy az ezeket a négyzet négy csúcsával összekötő szakaszok a négyzetet kilenc, közös belső pont nélküli sokszögre darabolják.

Lehet-e a kilenc sokszög területe ugyanakkora?

(Varga Tamás verseny 1998.)

[191] Gubbubu2004-10-08 09:48:03

56. feladat: Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszögben a szokásos jelölésekkel

 \frac{1}{ m_{a}+m_{b}+m_{c} } \le \frac{K^{2}}{16} \cdot \left(  \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right)

!

Hálás lennék, ha valaki felvilágosítana, mennyire "jó" ez a becslés, van-e jobb esetleg.

[190] Suhanc2004-09-22 20:12:54

Ja, ez lemaradt: a;b;c\ge0

[189] Suhanc2004-09-22 20:12:09

Elmúlt szakkörön vettük, és egy általános tétel jött ki belőle:

55.Feladat:

Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

a3b+b3c+c3a\gea2bc+ab2c+abc2

[188] Suhanc2004-09-22 20:04:08

Mivel senki sem írt, beírom... Az első törtet {\sqrt 2}-vel bővítve a másodikat kapjuk...

Előzmény: [187] Hajba Károly, 2004-09-14 15:02:23
[187] Hajba Károly2004-09-14 15:02:23

54. feladat: Melyik a nagyobb szám, az A=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} vagy a B=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}?

HK

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]