[211] lorantfy | 2004-11-27 20:59:39 |
61. feladat: Oldjátok meg az alábbi egyenletredszert:
x2-y = x2y
8y2-3z = 12y2z
18z2-x = 9z2x
|
|
[210] lorantfy | 2004-11-18 09:12:44 |
60. feladat megoldása: Könnyű belátni, hogy
(a,b).[a,b]=a.b
hiszen a lkkt-t pont úgy kapjuk, hogy a két szám szorzatából kihagyjuk a közös prímtényezőket. Ezek szorzata meg pont a lnko. Így aztán a.b=b.c=a.c amiből a=b=c.
|
Előzmény: [208] Gubbubu, 2004-11-17 22:38:15 |
|
[209] Gubbubu | 2004-11-17 22:55:33 |
Hát, egyelőre nemigen tudok rájönni. Sajnos, az eredeti papíromat talán egy hónapja is, hogy kidobtam, és nagyon kevés az időm, hogy újra rekonstruálni próbáljam. Na mindegy, ha valaki ki tudja valahogy javítani, csak nyugodtan, ha meg nem, hagyjuk a fenébe.
|
Előzmény: [207] Gubbubu, 2004-11-17 22:29:37 |
|
[208] Gubbubu | 2004-11-17 22:38:15 |
Addig is egy új szellemes kis feladat, amiből (többek közt) ma zéháztam: 60. feladat Az a,b,c>0 egész számokra teljesül
(a,b)=(b,c)=(c,a)
és
[a,b]=[b,c]=[c,a]
.
(azaz lnko-ik és lkkt-ik páronként egyenlőek).
Igazoljuk, hogy a=b=c !
|
|
|
[206] Gubbubu | 2004-11-17 22:28:33 |
Igen, az a trükk, hogy a szélső tényezőket kell egymással szorozni (az elsőt a hatodikkal, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat a negyedikkel), ekkor szinte azonos másodfokú polinomok szorzatát kapjuk, ami új változó bevezetésével szép harmadfokú egyenletté redukálható - mely utóbbit pl. "racionális gyökteszttel" lehet megoldani megfelelő n-ekre.
Köszönöm a megoldásokat.
|
Előzmény: [198] lorantfy, 2004-11-09 09:30:55 |
|
[205] lorantfy | 2004-11-10 23:30:04 |
Kedves Károly!
Ügyes kis példa, de egy prímszám tábla nem árt hozzá: itt
59. feladat megoldása: A bal oldalból (p-q) kiemelhető, a 83805 minden osztója páratlan. Két prímszám különbsége csak akkor lehet páratlan, ha egyik 2.
Tehát q=2. Ezt visszaírva:
p(1+p+p3)=83827=17.4931
Ebből p=17 és 1+p+p3 pont 4931 lesz.
|
Előzmény: [202] Hajba Károly, 2004-11-10 08:10:13 |
|
[204] nadorp | 2004-11-10 13:31:48 |
Kedves Gubbubu !
Az 56. példát valahogy nem értem, mert nem igaz pld szabályos háromszögre, ui. legyen a=b=c. Ekkor szerinted
, ami nyilván nem igaz minden a-ra.
|
Előzmény: [191] Gubbubu, 2004-10-08 09:48:03 |
|
|
[202] Hajba Károly | 2004-11-10 08:10:13 |
59. feladat:
Oldjuk meg az alábbi egyenletet, ha p és q prímek:
p+p2+p4-q-q2-q4=83.805
HK
|
|
[201] Hajba Károly | 2004-11-10 07:59:11 |
57. feladathoz:
mAB+mCD=mBc+mDA=1
Azaz egy-egy pont a háromszögeket két egyenlő összterületű részre bontja, s mivel kilenc egyforma területet nem lehet két egyenlő részre bontani, így ilyen elrendezést sem fogunk tudni találni.
HK
|
Előzmény: [195] lorantfy, 2004-11-09 08:45:18 |
|
|
|
[198] lorantfy | 2004-11-09 09:30:55 |
Kedves Károly!
Köszönöm! Hát erről van szó. Ha megfelelően párosítjuk a szorzótényezőket az x-ek száma megegyezik, csak konstansban különböznek. Így biztos 3-ad fokú lesz belőle, ami megfelelő n-ekre szépen szorzattá alakítható.
|
Előzmény: [197] Hajba Károly, 2004-11-09 08:59:01 |
|
|
[196] Hajba Károly | 2004-11-09 08:56:26 |
Kedves László!
Én is megoldottam, csak Lajos beelőzött. :o)
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0
A=(x-3)(x-4)=x2-7x+10
(A-4)A(A+2)+16=0
A3-2A2-8A+16=0
x1=1,246463...;x2=1,438447...;x3=5,753536...;x4=5,561552...
HK
|
Előzmény: [195] lorantfy, 2004-11-09 08:45:18 |
|
|
[194] Lóczi Lajos | 2004-11-09 02:56:16 |
Ha "csak úgy bele a közepibe", akkor
.
Gyártottam még néhány feladatot erre a kaptafára, ezek kivétel nélkül másodfokúak szorzatára bonthatók:
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+n=0, ahol n{...,-189,-96,-35,-5,9,15,16,21,64,135,...}.
Persze a tényezők számának és az 1,2,3,4,5,6 számoknak semmi szerepük sincs, pl. (x+1)(x-2)(x+5)(x+4)(x+2)+160=0 egy másodfokú és egy harmadfokú szorzatára bomlik... stb. stb. stb.
|
Előzmény: [193] Gubbubu, 2004-11-08 19:37:04 |
|
[193] Gubbubu | 2004-11-08 19:37:04 |
58. feladat (ezt én Mosóczi András egyetemi hallgatótól ismerem)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0
Nem kell megijedni ettől a jó kis hatodfokú egyenlettől. Ügyesen kell szorozgatni és alakítgatni, nem csak úgy bele a közepibe... :-))
|
|
[192] lorantfy | 2004-11-07 20:00:53 |
57.feladat: Egy négyzet belsejében úgy vettünk fel két pontot, hogy az ezeket a négyzet négy csúcsával összekötő szakaszok a négyzetet kilenc, közös belső pont nélküli sokszögre darabolják.
Lehet-e a kilenc sokszög területe ugyanakkora?
(Varga Tamás verseny 1998.)
|
|
[191] Gubbubu | 2004-10-08 09:48:03 |
56. feladat: Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszögben a szokásos jelölésekkel
!
Hálás lennék, ha valaki felvilágosítana, mennyire "jó" ez a becslés, van-e jobb esetleg.
|
|
[190] Suhanc | 2004-09-22 20:12:54 |
Ja, ez lemaradt: a;b;c0
|
|
[189] Suhanc | 2004-09-22 20:12:09 |
Elmúlt szakkörön vettük, és egy általános tétel jött ki belőle:
55.Feladat:
Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:
a3b+b3c+c3aa2bc+ab2c+abc2
|
|
|
[187] Hajba Károly | 2004-09-14 15:02:23 |
54. feladat: Melyik a nagyobb szám, az vagy a ?
HK
|
|