Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[361] Lóczi Lajos2005-10-24 21:21:54

Pedig lehet. Segítség: cáfoljuk meg a megoldás létezését, hogy az egyenletet egy alkalmas maradékosztály felett nézzük.

Előzmény: [359] jonas, 2005-10-24 21:12:05
[360] jonas2005-10-24 21:20:47

Ha már a pitagoraszi számhármasokról van szó, mutatok egy módszert, ahogy elő lehet állítani őket. Legyen a,b egészek.

|b+ai|=|a+bi|

ezért


1 = \left|\frac{b + ai}{a + bi}\right| =
\left|\frac{(b + ai)(a - bi)}{a^2 + b^2}\right| =
\frac{|2ab + (a^2 - b^2)i|}{|a^2 + b^2|}

tehát a számláló és a nevező négyzete egyenlő:

(2ab)2+(a2-b2)2=(a2+b2)2

Ez persze nem bizonyítja, hogy csak ilyen alakúak lehetnek (konstans szorzótól eltekintve).

Előzmény: [358] nadorp, 2005-10-24 10:11:01
[359] jonas2005-10-24 21:12:05

Átrendezve x4+y5=1728.

Ez érdekes egyenlet: nem tudom modulusokkal megcáfolni, de megoldást sem találtam rá (próbálgatással). Kis megoldás úgy tűnik nincs egyikre sem.

Előzmény: [353] Lóczi Lajos, 2005-10-23 17:10:39
[358] nadorp2005-10-24 10:11:01

Itt egy érdekes adalék az eredeti problémához.

Legyenek a,b,c pitagoraszi számhármasok, azaz a2+b2=c2. Ekkor

(ab)4+(ac)4+(bc)4=a4b4+c4(a4+b4)=a4b4+c4((a2+b2)2-2a2b2)=a4b4-2a2b2c4+c8=(c4-a2b2)2

Tehát a x4+y4+z4=t2 egyenletnek végtelen sok megoldása van, ellentétben az x4+y4=t2 egyenlettel,aminek egy sincs.

[357] Lóczi Lajos2005-10-23 20:48:12

Igen, direkt szerepeltettem olyan számokat, amelyek utalnak taxicab-number-ekre, de ezt csak szándékos megtévesztésnek szántam :-), szerintem köbszámokhoz az egésznek nincs sok köze.

Előzmény: [355] Káli gúla, 2005-10-23 20:01:59
[356] Lóczi Lajos2005-10-23 20:42:22

Természetesen próbálgattam. (A nemlineáris diofantoszi egyenletek elmélete tele van ad hoc módszerekkel, és szerintem a legnehezebb matematikák közé tartozik. Elképzelhető persze, hogy az algebrai görbék vagy varietások elméletével lehetne valamit mondani általában, de ehhez nem konyítok, messze meghaladja a képességeimet.)

Előzmény: [354] Csimby, 2005-10-23 19:49:34
[355] Káli gúla2005-10-23 20:01:59

Érdekes szám ez, főleg így rendszám alakba normálva :) A problémás modulus köbe többféleképp írható fel három pozitív köbszám összegeként?

Előzmény: [353] Lóczi Lajos, 2005-10-23 17:10:39
[354] Csimby2005-10-23 19:49:34

A 13 honnan jött? Elkezdtél próbálgatni vagy van valami okosabb módszer?

Előzmény: [352] Lóczi Lajos, 2005-10-23 16:43:09
[353] Lóczi Lajos2005-10-23 17:10:39

Akkor én is generáltam egy egyenletet, ami megoldandó az egészek körében:

x4+y5+1=103+93.

[352] Lóczi Lajos2005-10-23 16:43:09

Nem a kicsiség számít, hanem a maradékosztályok :)

Az egyenletnek nincs egész megoldása, ugyanis nézzünk mindent modulo 13:

egy negyedik hatvány 13-mal maradékosan osztva négyféle maradékot adhat, nevezetesen {0,1,3,9} valamelyikét,

egy harmadik hatvány 13-mal maradékosan osztva ötféle maradékot adhat: {0,1,5,8,12} valamelyikét,

viszont 1919 maradékosan osztva 13-mal 7-et ad.

És a 7 nem áll elő két olyan szám összegeként, amelyben az első tag az első halmazból, a második a másodikból van véve.

Előzmény: [351] Káli gúla, 2005-10-23 16:20:51
[351] Káli gúla2005-10-23 16:20:51

75. feladat.  Van-e egész számokból álló megoldása az  x4+y3=1919  egyenletnek? (Valamivel kisebb a jobb oldal, mint az előző feladatban:)

[350] jonas2005-10-23 15:29:27

Izé, ezt zárójelezni kéne, vagyis 26824404+153656394+187967604= (-18796760)4+26824404+153656394= (-15365639)4+26824404+187967604= (-18796760)4+(-15365639)4+26824404= (-2682440)4+153656394+187967604= (-18796760)4+(-2682440)4+153656394= (-15365639)4+(-2682440)4+187967604= (-18796760)4+(-15365639)4+(-2682440)4= 20615674

Előzmény: [349] jonas, 2005-10-23 15:24:41
[349] jonas2005-10-23 15:24:41

Még néhány megoldást az első alapján könnyű találni, hiszen

26824404+153656394+187967604= -187967604+26824404+153656394= -153656394+26824404+187967604= -187967604+-153656394+26824404= -26824404+153656394+187967604= -187967604+-26824404+153656394= -153656394+-26824404+187967604= -187967604+-153656394+-26824404= 206156734

Előzmény: [348] Lóczi Lajos, 2005-10-23 13:56:18
[348] Lóczi Lajos2005-10-23 13:56:18

Egy megoldást tehát találtunk, de ezzel nem szabad megelégedni. Most megkérdezem a kitűzőt, hogy árulja el az ÖSSZES TÖBBI megoldását az egyenletének, vagy mutassa meg, hogy nincs más :-)

[347] lorantfy2005-10-23 13:54:48

Kedves Lajos!

Gratulálok! Erről van szó. A Fermat sejtés bizonyításakor komoly problémát jelentettek az Euler sejtést cáfoló számítógépes megoldások. Ezért ezeket meg lehet találni az interneten, vagy pl. Simon Signh: A nagy FERMAT sejtés c. könyvében.

26824404+153656394+187967604=206156734

Előzmény: [345] Lóczi Lajos, 2005-10-23 13:36:55
[346] Lóczi Lajos2005-10-23 13:46:50

Á, némi internetes keresgélés után rátaláltam:

26824404+153656394+187967604=206156734

[345] Lóczi Lajos2005-10-23 13:36:55

Euler azt sejtette (miután már tudták, hogy az x3+y3=z3 egyenletnek csak triviális megoldásai vannak a természetes számok körében), hogy az analóg x4+y4+z4=w4 egyenletnek is csak triviális megoldásai vannak. Azonban a számítógépes korszakban kiderült, hogy tévedett, mert

958004+2175194+4145604=4224814.

[344] Lóczi Lajos2005-10-23 13:26:50

Azt sejtem, hogy csak akkor van megoldás, ha két szám 0, a harmadik pedig a megadott (vagy az ellentettje), de a Fermat egyenleten kívüli nevezetes, ehhez hasonló egyenlet nem jut eszembe.

Előzmény: [343] lorantfy, 2005-10-23 11:15:27
[343] lorantfy2005-10-23 11:15:27

Bocsánat Lajos! Ez a gyanútlan megoldó átverése. Nagyon nehéz, de lehet rá megoldást találni. Úgy kell elindulni, hogy elgondolkodsz milyen híres egyenlet jut róla eszedbe!

Előzmény: [342] Lóczi Lajos, 2005-10-22 23:51:25
[342] Lóczi Lajos2005-10-22 23:51:25

Nekem ez nehéznek tűnik, a jobb oldali 4. hatvány értéke túl nagy. Hogy lehet benne elindulni?

Előzmény: [341] lorantfy, 2005-10-21 23:20:31
[341] lorantfy2005-10-21 23:20:31

Úgy látszik mások nem járnak erre, vagy csak nincs kedvük beírni a megoldást.

Legyen egy kicsit nehezebb: 74. feladat: x<y<z egész számok, oldjuk meg az egyenletet!

x4+y4+z4=206156734

Előzmény: [340] jonas, 2005-10-15 15:26:46
[340] jonas2005-10-15 15:26:46

Azt is mondhatod, de a három is logikus, ha ismered a pontos feltételt a prímtényezőkkel.

Előzmény: [337] Sirpi, 2005-10-14 11:11:53
[339] Sirpi2005-10-14 13:26:43

Na, ennek már több megoldása van. Pont annyival, mint ahányan mi vagyunk tesvérek :-) (ha csak a lényegesen kül. megoldásokat tekintjük).

Előzmény: [338] nadorp, 2005-10-14 11:40:52
[338] nadorp2005-10-14 11:40:52

Szerintem egy dologról beszélünk, pld tekintsük a b) változatot: x2+y2=1989

Előzmény: [337] Sirpi, 2005-10-14 11:11:53
[337] Sirpi2005-10-14 11:11:53

Eredetileg is sejtettem, csak nem állt össze a kép. Nem lenne helyesebb amúgy, ha azt mondanám, hogy 9-en vagyunk testvérek? :-) / már ha arra gondolok, amire Te /

Előzmény: [336] nadorp, 2005-10-14 11:06:52

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]