Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[465] Róbert Gida2005-11-17 19:15:26

Megoldás a 90. feladatra:

Ha A egy nxn-es mátrix, melynek minden eleme +-1, akkor a mátrix determinánsa osztható 2n-1-gyel. Ez n=1-re trivi, indukcióval, ha n=k-ra igaz, akkor n=k+1-re is igaz. Induljunk a csupa 1 mátrixból, ennek sorai összefüggnek, így determinánsa nulla, egy-egy lépésben a mátrix egy elemét -1-re változtatva bármely mátrixot megkaphatunk. Egy lépésben a mátrix determinánsát kifejtve abban a sorban, ahol egy elemet megváltoztattunk: az eredeti determináns+-2*aldetermináns lesz az új determináns, de az aldetermináns az indukció miatt osztható 2k-2-vel, így a determináns 2k-1-gyel osztható marad. Ami kellett.

Ha n>1 akkor a 0 mindig lehet a determináns: legyen A csupa 1 mátrix. Elég pozitív determinánsokat előállítani, mivel a determináns előjelet vált, ha két oszlopát felcseréljük.

n=3-ra a determináns legfeljebb 6, mivel 6 darab kifejtési tag van. De a determináns osztható 4-gyel. Így csak -4,0,4 lehet, ezek közül mindegyik előáll, az előbbiek miatt elég 4-re előállítást mutatni: legyen

A=\left(\matrix{-1&1&1\cr  1&-1&1\cr 1&1&-1\cr}\right)

n=4-re 24 darab kifejtési tag van és a determináns osztható 8-cal, így csak -16,-8,0,8,16 lehet és mindegyik előáll, elég -8-ra és -16-ra példát mutatni: legyen

B=\left(\matrix{ -1&1&1&1\cr 1&-1&1&1 \cr 1&1&-1&1 \cr 1&1&1&-1 \cr}\right)

. Ekkor det(B)=-16 . Legyen

C=\left(\matrix{-1&-1&1&1 \cr 1&-1&1&1 \cr 1&1&-1&1 \cr 1&1&1&-1\cr}\right)

Ekkor det(C)=-8

[464] Lóczi Lajos2005-11-17 19:10:22

Régebben a 4x4-es analóg esetet is végigszámoltam, azzal a feltevéssel, hogy a főátlóban állnak a maximális elemek (tehát 16, 15, 14, 13). Aztán ha jól emlékszem valaki végigszámolta mindet és meghatároztuk a maximális elrendezést. Sajnos, nem látszott az általános minta. Milyen jó lenne látni pl. az 5x5-ös, stb. eseteket is... (tehát a mátrixot 1,2, ... , n2 számokkal feltöltve)

Aki ehhez hasonló problémákat akar keresgetni az interneten, az a Hadamard-féle maximális determinánsproblémára keressen pl. rá. Számos speciális alakú mátrix esetén ismert a maximum, de nem találtam eddig sehol eredményeket a fent feltett kérdésemre. Persze általánosabban is vizsgálható lenne a kérdés. Pl. egy ujjgyakorlat a következő:

Adott 4 valós szám. Mely elrendezés mellett lesz a belőlük képzett 2x2-es determináns abszolút értéke maximális?

Előzmény: [463] Róbert Gida, 2005-11-17 18:41:47
[463] Róbert Gida2005-11-17 18:41:47

Megoldás a 89. feladatra:

A minimum egyszerű, legyen ugyanis:

A=\left(\matrix {1&2&3 \cr 4&5&6 \cr 7&8&9 \cr } \right)

Ekkor A sorai lineárisan összefüggnek, így determinánsa nulla, így a minimum is nulla. A maximumra egy egyszerű program segítségével mind a 9! esetet végignézve ( persze lehetne kevesebbel is ), kapjuk, hogy a maximum 412 és ezt pl.

B=\left(\matrix {9&4&2 \cr 3&8&6 \cr 5&1&7 \cr}\right)

mátrixon vétetik fel. Egyébként nem véletlenül 412-öt is felveszi, mert ha -412 állna elő, akkor 2 oszlopát felcserélve a determináns ellentettjére vált.

[462] Róbert Gida2005-11-17 18:24:53

Valójában az indukció miatt az is kell, hogy pozítiv tag is van a kifejtési tagok közt. Amit persze ugyanúgy beláthatsz.

Megoldásom: n=3-ra szorozzuk össze a kifejtési tagokat, ekkor mivel a mátrix minden eleme két permutációban szerepel és a 6 féle permutáció közt 3 páros és 3 páratlan, ezért szorzatuk páratlan, így a kifejtési tagok szorzata - \prod _{i,j}{a_{i,j}}^2<0, de akkor a kifejtési tagok közt van pozitív és negatív is, ami kellett.

Előzmény: [456] Káli gúla, 2005-11-16 23:29:23
[461] Lóczi Lajos2005-11-17 14:13:01

Igen, ezért (is) érdekes az 1/2 !

(Csak az elütést teszem szóvá: 1+1/x-et gondoltál írni f definíciójában. - Javítottam - Sirpi)

Előzmény: [460] Ali, 2005-11-17 12:10:35
[460] Ali2005-11-17 12:10:35

f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}

f'(x)=\left(ln(1+\frac{1}{x})-\frac{\alpha}{x}-\frac{1-\alpha}{x+1}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}

Jelölje g(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{\alpha}{x}-\frac{1-\alpha}{x+1}

g'(x)=\frac{\alpha}{x^{2}}+\frac{1-\alpha}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x^{2}(x+1)^{2}}\left(\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\alpha)(2x+1)\right)

További részletezés nélkül ebből már látszik, hogy miért is olyan érdekes az 1/2 :-)

Előzmény: [442] Ali, 2005-11-14 16:00:17
[459] Lóczi Lajos2005-11-16 23:53:33

90. feladat. Milyen értéket vehet fel egy 3x3-as mátrix determinánsa, ha minden mátrixelem (+1) vagy (-1)?

91. feladat. Mi a helyzet 4x4-es mátrix esetén?

[458] Lóczi Lajos2005-11-16 23:45:56

89. feladat. Mennyi lehet egy 3x3-as mátrix determinánsa abszolút értékének

a.) maximuma

b.) minimuma,

ha a mátrix elemei az 1, 2, 3,..., 9 számok (mindegyik pontosan egyszer)? Adjunk meg egy-egy extremális determinánsú elrendezést.

[457] Lóczi Lajos2005-11-16 23:39:47

88. feladat. Milyen \alpha\in[0,1] esetén lesz a [-1,1] intervallum komplementerén értelmezett x\mapsto \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha} függvény grafikonjának tükörszimmetriája?

[456] Káli gúla2005-11-16 23:29:23

Ha mínuszból páratlan sok van, akkor valamelyik pozitív együtthatós hármasban is páratlan sok mínusz van. Ha mínuszból páros sok van, akkor valamelyik negatív együtthatós hármasban is páros sok van.

Előzmény: [455] Róbert Gida, 2005-11-16 22:51:06
[455] Róbert Gida2005-11-16 22:51:06

Jó megoldás, először én is így csináltam n>3-ra, és n=3-ra végignéztem számítógéppel az 512 esetet, ez persze nem sok egy mai számítógéppel, kevesebb mint 1 másodperc alatt lefut. Aztán észrevettem egy számolás mentes bizonyítást n=3-ra! Mi lenne az?

Előzmény: [454] Lóczi Lajos, 2005-11-16 22:36:09
[454] Lóczi Lajos2005-11-16 22:36:09

Mivel csak az előjel számít, feltehető, hogy minden elem a mátrixban +1 vagy -1.

n=2-re lehet minden kifejtési tag pozitív, pl. a bal alsó sarokban -1, a többi +1.

n=3-ra összesen 29-féle \pm1 mátrix van, ezeket szisztematikusan végigvizsgálva 32-féle különböző "kifejtési tag 6-os" adódik, ám mindegyik tartalmaz legalább egy (-1)-est, ÉS +1-est, tehát a kívánt tulajdonságú 3x3-as mátrix már nincs.

És nincs n>3 esetén sem, mert -- pl. első sor szerint kifejtve -- a kifejtési tétel szerint ezt az nxn-es determinánst felírhatjuk n db (n-1)x(n-1)-es determináns előjeles összegeként, de akármelyik ilyen eggyel kisebb determináns kifejtésében lesz előjelváltás, tehát az eredeti nxn-es mátrix első sorát akárhogyan is választjuk meg \pm1-ek közül, az n db (n-1)! tagból álló kupac mindegyikében lesz előjelváltás.

Előzmény: [450] Róbert Gida, 2005-11-16 19:42:03
[453] ágica2005-11-16 21:23:45

Az \root{n}\of{n} sorozat a 3. tagtól kezdve monoton csökkenően konvergál 1-hez, előtte viszont monoton nő, tehát a legnagyobb tagja \root3\of{3}\approx{1,442}.

Előzmény: [449] Lóczi Lajos, 2005-11-16 12:12:26
[452] Lóczi Lajos2005-11-16 20:39:28

Ja, nyilván a második lehetőségre gondoltál.

Előzmény: [451] Lóczi Lajos, 2005-11-16 20:37:51
[451] Lóczi Lajos2005-11-16 20:37:51

Hogy értve pozitív?

Pl. 2x2-esnél: (ad-bc)-ben "ad" és "bc" is pozitív számok, vagy "ad" és "-bc" pozitívak?

Előzmény: [450] Róbert Gida, 2005-11-16 19:42:03
[450] Róbert Gida2005-11-16 19:42:03

87. feladat Egy nxn-es mátrix determinánsának a kifejtésénél azt a meglepő dolgot tapasztaltuk, hogy mind az n! darab tag pozítiv, milyen n-re lehetségez ez?

[449] Lóczi Lajos2005-11-16 12:12:26

86. feladat. Legyen n pozitív egész. Az \root n \of{n} alakú számok között melyik a legnagyobb?

[448] Lóczi Lajos2005-11-16 10:48:32

Az 5 az több, mint a "pár", tehát tényleg komolyabb az eszköz :)

(Leibniz nevében inkább ne legyen "t" betű.)

Előzmény: [447] Róbert Gida, 2005-11-16 00:58:20
[447] Róbert Gida2005-11-16 00:58:20

Azért nem kellenek komoly eszközök ehhez.

Tovább számolva: legyen n>1 ekkor

{\bigg(1-\frac 1{n^2}\bigg)}^{2n}\leq 1-\binom {2n}{1}\frac 1{n^2}+\binom {2n}{2}\frac 1{n^4}-\binom{2n}{3}\frac 1{n^6}+\binom{2n}{4}\frac 1{n^8}=1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {7}{3n^3}+\frac {8}{3n^4}-\frac {8}{3n^5}+\frac {11}{6n^6}-\frac {1}{2n^7}

teljesül, hiszen könnyen bizonyíthatóan Leibnitz sor a binomiális sor részletösszegeinek sorozata, így most az első 5 tag egy felső becslést ad. Az egyenlőtlenség jobb oldalára pedig alsó becslést adva: \frac {n-1}{n+1}=1-\frac {2}{n+1}\geq 1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {2}{n^3}+\frac {2}{n^4}-\frac {2}{n^5}+\frac {2}{n^6}-\frac {2}{n^7}, ( ha nagy n-re akarnám belátni akkor elég lenne 4 tagot venni ) azaz elég belátni:

1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {7}{3n^3}+\frac {8}{3n^4}-\frac {8}{3n^5}+\frac {11}{6n^6}-\frac {1}{2n^7}<1-\frac {2}{n}+\frac {2}{n^2}-\frac {2}{n^3}+\frac {2}{n^4}-\frac {2}{n^5}+\frac {2}{n^6}-\frac {2}{n^7}

Rendezve és 6n7-tel szorozva kell: 2n4-4n3+4n2+n-9>0 kell, ami n>1-re triviálisan teljesül. Így beláttuk a feladatot.

Kétségtelen kicsit számolós, de ezt szerencsére a Maple végezte el.

Előzmény: [446] Lóczi Lajos, 2005-11-15 21:53:28
[446] Lóczi Lajos2005-11-15 21:53:28

Azért szerintem ide kicsit komolyabb eszközök kellenek, mint az első pár tag. Egy standard módszer: (n-nek semmi jelentősége, hogy egész, ezért x-et írva)

vegyünk logaritmust és rendezgessünk egy kicsit, elegendő belátni, hogy x>1 esetén


f(x):=-2x\log (1 - x^{-2}) + \log (1 - \frac{2}{1 + x})>0.

Könnyen látható, hogy f limesze 1-ben jobbról +\infty, a végtelenben pedig 0. Továbbá


f''(x)=\frac{4}{x{\left( -1 + x^2 \right) }^2}>0,

tehát f konvex. Ezek miatt f pozitív és az egyenlőtlenséget beláttuk.

Előzmény: [444] Ali, 2005-11-15 14:40:53
[445] jonas2005-11-15 20:59:39

Szép feladat.

Próbáltam a bal oldalt becsülni az első három taggal:

 
\left(1 - \frac1{n^2}\right)^{2n} <
1 - 2n\frac1{n^2} + \binom{2n}2\frac1{n^4}

(ha n elég nagy ), de ez már nagyobb a jobb oldalnál. Gondolkozom még rajta.

Előzmény: [444] Ali, 2005-11-15 14:40:53
[444] Ali2005-11-15 14:40:53

Lehet, hogy nem ujjgyakorlat ?

85. feladat.

Biz.be, hogy n>1 egész esetén

\left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right)^{2n} < \frac{n-1}{n+1}

[443] Lóczi Lajos2005-11-14 18:55:14

Valóban így van.

Előzmény: [442] Ali, 2005-11-14 16:00:17
[442] Ali2005-11-14 16:00:17

\alpha\in[1/2;1] esetén monoton csökken, \alpha\in[0;1/2) esetén n>N(\alpha)-ra monoton nő.

Előzmény: [401] Lóczi Lajos, 2005-10-30 21:36:47
[441] ágica2005-11-12 18:58:49

Igen, ezt tényleg elfelejtettem, de szerencsére benne van :)

Előzmény: [440] Lóczi Lajos, 2005-11-12 18:41:40

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]