Fórum: "ujjgyakorlatok"

Attól tartok, az adott középpontú, adott parabolát érintő kör szerkesztése nem euklideszi feladat, így ennek sugara sem meglepő ha kívül esik a szerkeszthető szakaszok halmazán.

sziasztok! egy rövid kérdésem lenne. elfelejtettem, hogy hogyan számoljuk ki egy pont és egy parabola távolságát. illetve hát sejtem, hogy melyik egyenesnek kell melyikre merőlegesen állnia, de mindig harmadfokú egyenlet jön ki a végén. segítsééég!

Bocsánat, nem kellett volna két és fél óra után lelőnöm, hanem hagyni, hogy a középiskolások gyakoroljanak.

Kis egészeken próbálgatással azt kapjuk, hogy az a=b=c=2 az egyetlen megoldás. Nagy számokra nem lehet megoldás, mert a faktoriális monoton, így ha valamelyik szám nagy, akkor a d is nagy, de akkor a,b,cd-1 csakhogy ebből a!,b!,c!(d-1)!<d!/3 így a!+b!+c!<d! ami ellentmondás.

Oldjuk meg a poz. egészek halmazán!

a!+b!+c!=d!

Igaz, de mivel a kapott izogonális pont szemlátomást a háromszög belső pontja, ezzel meg is lennénk.

...ehhez persze ellenőriznünk szükséges, hogy a háromszög egyik szöge sem nagyobb 120 foknál...

F(x,y) az (x,y) pont távolságainak összege a (-1,1),(1,-1),(-2,-2) pontoktól. Ismert, hogy ez a három pont által meghatározott háromszög izogonális pontjában minimális, melyet megszerkeszthetünk ha az oldalakra kifelé írt szabályos háromszögek megfelelő csúcsát összekötjök az eredeti háromszög megfelelő csúcsával. Ezek alapján a keresett pont az x=y egyenesen lesz. És mivel az izogonális pontból az oldalak 120° szögben látszanak, azt is könnyű látni, hogy a keresett pont: .

108.feladat: , ahol x és y tetszőleges valós számok. Keressük meg F lehető legkisebb értékét.

Üdv!

Határozzuk meg

a, x⁴-4x³+1 és x³-3x²+1

b, 3x⁶-x⁵-9x⁴-14x³-11x²-3x-1 és 3x⁵+8x⁴+9x³+15x²+10x+9

polinomok legnagyobb közös osztóját.

Annak, aki még nem oldotta meg: az Érd.mat.fel. topicba írt 332.feladat megoldása még segít is :-)

Természetesen mindegy, különben nem lenne olyan egyszerű... :)

g,h folytonosságára van feltétel, vagy az mindegy?

Most már egyszerűen megoldható az alábbi 106'. példa.

Legyen adott az f valós függvény, amely mindenhol differenciálható. Adjunk meg olyan g és h mindenhol értelmezett, de sehol sem deriválható valós függvényeket, amelyekre fennáll, hogy f=g^.sin+h^.cos.

Sőt, legyen h tetszőleges olyan folytonos függvény, amelyre h(2k)=f(2k) és h((2k+1))=-f((2k+1)) (k egész szám). Ha most x nem többszöröse -nek, akkor legyen , ha pedig x többszöröse -nek, akkor legyen g(x):=0.

Valóban :)

g(x)=f(x)*sin(x) és h(x)=f(x)*cos(x) jó lesz.

g és h nem konstansok, hanem folytonos függvények. Nem a feladat megoldása, csak a 2 periodicitás cáfolata például g(x)=h(x)=e^x . Ekkor f(x)=e^x(sin(x)+cos(x)) ugye nem 2 periodikus.

Ha f(x)=gsin x+hcos x, akkor f mindenképp 2-periodikus, ezért nem lehet minden folytonos függvényhez ilyen felbontás.

Hallottam valakitől, aki hallotta valakitől, aki olvasta valahol...és mindegyikünknek tetszett:

106.Feladat: Igazoljuk, hogy tetszőleges f folytonos fv-hez léteznek g,h folytonos fv-ek, melyekkel f "harmonikus felbontását" nyerjük, értsd: f(x)=g*sin (x)+h*cos (x)

Először elfilóztam rajta pár másodpercig, hogy mégis mi lehet a csavar a feladatban, aztán elolvastam a topik címét, és rájöttem, hogy nem kell túl bonyolultra gondolnom :-)

De nyitva hagyom a feladatot, és egy egyszerű helyett egy érdekesebb megoldást írok rá (szóval ha van egyszerű megoldása valakinek, írja be nyugodtan :-) ). Szóval legyen mondjuk

105. a) feladat: Biz. be, hogy az a_n=(n)/n sorozat jó, ahol az Euler-féle (számelméleti) fi-függvény.

Így van. Itt egy újabb feladat:

105.feladat Adjunk meg olyan sorozatot, melynek a [0,1] intervallum minden eleme torlódásipontja. (akkor mondjuk, hogy egy pont a sorozat torlódási pontja, ha bármilyen kicsi környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik)

Üdv!

2 szelvény még nyilván nem elég(mert lehet, hogy egyik tipp sem jön be), de 3 már elég: egyik szelvényen minden tipp legyen 1, a másodikon mindegyik 2, a harmadikon mindegyik X. Ekkor minden meccsre mindhárom tippet adtunk, ezért minden meccset eltalálunk pontosan egyszer, tehát a 3 szelvényen 13 helyes tipp van. Ha nem lenne egyik szelvényen sem legalább 5 találat, akkor maximum 4 lehet mindegyiken, így összesen 12 helyes tipp lehetne, ami kisebb, mint 13 (amennyi helyes tipp van valójában). Azaz az egyik szelvény legalább 5 találatos.

Köszi! Reméljük tényleg lesz aki nem ismeri.

Ah, két nagyon jó feladat. Remélem, a többiek még nem ismerik.