Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[611] BohnerGéza2010-03-29 18:18:07

És ha p számjegyei közt van 0, 1 vagy 2?

Előzmény: [610] Lóczi Lajos, 2010-03-29 02:36:39
[610] Lóczi Lajos2010-03-29 02:36:39

Igazoljuk, hogy ha p olyan prím, amelynek (10-es számrendszerbeli alakja) nem tartalmaz sem 0-t, sem 1-et, sem 2-t, akkor az


{\rm{arctg}}(p^2)-\frac{\pi}{2}+{\rm{arctg}}(1+p\sqrt{2})+{\rm{arctg}}(1-p\sqrt{2})

szám osztható 2010-zel.

[609] Lóczi Lajos2010-03-20 13:00:50

Igaz-e, hogy ha n pozitív egész és e az Euler-állandó, akkor

0<e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n< \frac{e}{n}?

[608] jenei.attila2010-02-24 10:50:01

Ez így rosszabb lett. Na mégegyszer:

(ax2+by2)(x+y)=(ax3+by3)+xy(ax+by)

(ax3+by3)(x+y)=(ax4+by4)+xy(ax2+by2)

(ax4+by4)(x+y)=(ax5+by5)+xy(ax3+by3)

Előzmény: [607] jenei.attila, 2010-02-24 10:45:50
[607] jenei.attila2010-02-24 10:45:50

Elírás történt, ráadásul a copy-paste miatt több helyen is. Az első 3 egyenlet helyesen:

(ax2+by2)(x+y)=(ax3+by3)+xy(ax+by)

(ax3+by3)(x+y)=(ax4+by4)+xy(ax2+by2)

(ax4+by4)(x+y)=(ax5+by5)+xy(ax3+by3)

Előzmény: [606] jenei.attila, 2010-02-24 10:33:26
[606] jenei.attila2010-02-24 10:33:26

Nem számoltam ki külön x,y,a,b-t. Az én megoldásom: szorozzuk (x+y)-nal a feltételben szerelő kifejezéseket:

(ax2+by2)(x+y)=(ax3+bx3)+xy(ax+by)

(ax3+by3)(x+y)=(ax4+bx4)+xy(ax2+by2)

(ax4+by4)(x+y)=(ax5+bx5)+xy(ax3+by3)

Írjuk be a feltételekből ismert értékeket és vezessük be a t:=x+y és v:=xy helyettesítéseket.

7t=16+3v

16t=42+7v

42t-16v=(ax5+bx5)

Ebbből t=-14, v=-38, (ax5+bx5)=20 adódik.

Előzmény: [605] Róbert Gida, 2010-02-23 20:47:40
[605] Róbert Gida2010-02-23 20:47:40

Kipróbáltam, hogy a computeralgebrai rendszerek vajon meg tudják-e oldani a feladatot, és igen, a Mathematica 5.1 egyből kiadta a két megoldást (a<->b, x<->y cserével is megoldást kapunk). Maple 12 is megoldja, de itt még egy allvalues parancs is kell a solve-hoz, mert rootof-okkal tér vissza. \sqrt 87 van a,b,x,y-ban.

Előzmény: [604] jenei.attila, 2010-02-23 08:26:24
[604] jenei.attila2010-02-23 08:26:24

Egyébként ha a Fibonacci sorozat zárt alakjára gondolunk, akkor látszik, hogy ez a sorozat is egy másodrendű lineáris homogén rekurzió zárt alakja, amely karakterisztikus egyenletének két gyöke éppen x és y, az a,b pedig a két első tag által meghatározott konstansok. A rekurzív képletben szereplő konstansok meghatározhatók a sorozat első 4 tagjából. Nem így oldottan meg a feladatot, de ez is egy lehetséges megoldás lenne.

Előzmény: [603] jenei.attila, 2010-02-23 08:16:10
[603] jenei.attila2010-02-23 08:16:10

Persze hogy megadható, mégpedig úgy, hogy kiszámoljuk az a,b,x,y-t. De ha ez a rekurzió neked nem jött ki, akkor másképp oldottad meg a feladatot. Szerintem most már beszéljük meg a megoldásokat.

Előzmény: [602] R.R King, 2010-02-22 20:40:19
[602] R.R King2010-02-22 20:40:19

Bár magam nem számoltam utána, de ha ez így van, akkor cn megadható n függvényében is. Nem rossz ez a feladat.

Előzmény: [601] jenei.attila, 2010-02-22 17:22:26
[601] jenei.attila2010-02-22 17:22:26

Valóban, ha cn-nel jelöljük axn+byn-et, akkor cn+2=38*cn-14*cn+1

Előzmény: [600] R.R King, 2010-02-22 16:21:51
[600] R.R King2010-02-22 16:21:51

Igen, a 20 az jó lesz. Sőt, szerintem sorozatok segítségével 5 helyett n kitevőre is célhoz érhetünk..

Előzmény: [599] m2mm, 2010-02-22 14:40:07
[599] m2mm2010-02-22 14:40:07

Igen:)

Előzmény: [598] jenei.attila, 2010-02-22 14:25:52
[598] jenei.attila2010-02-22 14:25:52

20?

Előzmény: [597] m2mm, 2010-02-18 21:06:12
[597] m2mm2010-02-18 21:06:12

Az idei Arany Dani haladó/3.kategória 3. feladata: Az a,b,x,y valósokra ax+by=3, ax2+by2=7, ax3+by3=16 és ax4+by4=42. Mennyi ax5+by5?

Aki ismeri, hogyan kell megoldani, az ne lője le.

[596] Fernando2010-02-07 10:39:42

Köszönöm, tanulmányozom!

Előzmény: [594] Lóczi Lajos, 2010-02-05 21:07:12
[595] Fernando2010-02-07 10:38:59

Köszi!

Egyelőre próbálom "kitakarni", hogy ne lássam a gondolatmenetedet.

Előzmény: [593] jonas, 2010-02-05 21:03:59
[594] Lóczi Lajos2010-02-05 21:07:12

Ezen a linken sok hivatkozást találsz a válaszhoz.

Előzmény: [592] Fernando, 2010-02-05 20:20:08
[593] jonas2010-02-05 21:03:59

Tetszőleges pozitív valós szám előáll, és ezt nem is nehéz bizonyítani. Ha gondolod, próbáld meg belátni, mielőtt az alábbit elolvasod, mert hasznos gyakorlat.

Annyit elég kihasználni a sorozatról, hogy az összege végtelen, de a tagjai pozitívak és nullához tartanak.

Egyszerűen sorba mész a számokon, és akkor veszel be egy számot az összegbe, ha ezzel az eddigi részletösszeg nem éri el a keresett x számot. Mivel a kiválasztott számok részletösszegei monoton nőnek, és nem haladják meg x-et, a sor konvergens, és az összege legfeljebb x. Másrészt vegyük észre, hogy nem választhattuk be véges sok kivételével minden tagot az ereddeti sorozatból, mert akkor az összeg végtelen lenne. Ha mármost az összeg x-nél kisebb lenne, mondjuk y, akkor minden részletösszeg is legfeljebb y; csakhogy mivel az eredeti sorozat nullához tart, ezért véges sok kivételével minden tagja kisebb x-y-nál, ezért ezekből mindet be kellett volna választani a szabály szerint, ami ellentmondás az előzővel.

Előzmény: [592] Fernando, 2010-02-05 20:20:08
[592] Fernando2010-02-05 20:20:08

Ma egy elméleti fizikus cimborámmal ebédeltem és fölmerült ennek a eredményeképpen fölmerült a következő kérdés:

Tekintsük a természetes számok reciprokaiból álló sorozatot.

A tagok közül tetszőleges mennyiségűt (akár végtelen sokat is) összeadva összegként előáll-e tetszőleges valós szám? (erősen sejtjük, hogy igen)

Ha igen, akkor pl. a pí-t hogyan lehet előállítani? (ez utóbbi lehet, hogy nagyon nehéz)

[591] nadorp2010-02-04 20:42:56

Ez nem az én napom, de mindegy, tehát újra javítom az elírásokat

\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin^2}xdx>\int_{k\pi+\frac\pi4}^{k\pi+\frac{3\pi}4}\frac{\sin^2}xdx\geq\int_{k\pi+\frac\pi4}^{k\pi+\frac{3\pi}4}\frac{\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2}{k\pi+\frac{3\pi}4}=\frac1{4k+3}>\frac14\cdot\frac1{k+1}

A többi már értelemszerűen adódik :-)

Előzmény: [589] nadorp, 2010-02-04 19:52:23
[590] nadorp2010-02-04 19:56:51

Bocs, a vége helyesen

\int_0^{(n+1)\pi}...

Előzmény: [589] nadorp, 2010-02-04 19:52:23
[589] nadorp2010-02-04 19:52:23

Lelövöm, ha nincs rá jelentkező.

\int_0^\infty\frac{\sin^2x}xdx végtelen, mert

\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin^2x}xdx>\int_{k\pi+\frac\pi4}^{(k+1)\pi+\frac{3\pi}4}\frac{\sin^2x}xdx\geq\int_{k\pi+\frac\pi4}^{(k+1)\pi+\frac{3\pi}4}\frac{\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2}{(k+1)\pi+\frac{3\pi}4}=\frac1{4k+7}>\frac14\cdot\frac1{k+2}

\int_0^{n\pi}\frac{\sin^2x}xdx>\frac14\sum_{k=0}^n\frac1{k+2}

Előzmény: [566] Lóczi Lajos, 2009-10-13 01:37:52
[588] vogel2010-02-03 16:01:01

Úgy látom, mindenki félreértett. :-) Amit én beírtam, azt azelőtt kezdtem el írni, hogy nadorp is beírta, így nem nadorp-nek címeztem, bocs.

Az összeadást arra értettem, hogy ha szorzás helyett összeadás lenne: y'+y=2x+y, ami azért vicces. :-)

Előzmény: [586] nadorp, 2010-02-03 15:30:55
[587] Fernando2010-02-03 15:40:20

Nadorp implicit megoldását átnéztem, ok, értem is, tetszik!

Előzmény: [581] nadorp, 2010-02-03 15:05:58

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]