Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[665] Róbert Gida2011-09-25 14:00:46

Ügyes vagy, leülhetsz. Az azért látható, hogy csak néhány kisebb/nagyobb egyenlőt szúrtam el. Helyesen:

Ebben az esetben p<\frac 13 esetében a kolónia fennmaradhat, míg p\ge \frac 13 esetén biztosan kipusztul. Legyen először p\ge \frac 13, ha legfeljebb \frac n3 sárkányfiú van, akkor első hadjárat során öljék meg őket, ekkor nem marad sárkányfiú, és a kolónia kihal. Így feltehető, hogy több, mint \frac n3 sárkányfiú van, ami azt jelenti, hogy kevesebb, mint \frac {2n}{3} sárkánylány. Ekkor a hadjáratok során csak őket öljék meg: legyen kezdetben t<\frac {2n}{3} sárkánylány a kolóniában, ekkor egy hadjárat után számuk t-pn lesz (vagy nulla, ha ez negatív), míg a szülések után 2(t-pn)<t, így n év alatt kihalnak.

Ellenkező irány: legyen p<\frac 13 és \frac n3 sárkányfiú és \frac {2n}{3} sárkánylány. Egy hadjárat alatt megölnek kevesebb, mint \frac n3 sárkányt, így biztosan megmarad legalább \frac n3 sárkánylány és legalább egy sárkányfiú. A szülésekkel pótolják a meghalt sárkányokat (annyi sárkánylány és fiú szülessen, mint amennyit megöltek), ekkor visszaáll az eredeti állapot, a maradék születések olyanok legyenek, hogy a kolóniában az 1:2 arány fennmaradjon a sárkányfiúk és lányok között (+-1 sárkány, ha n nem osztható 3-mal). Ekkor a kolónia nem hal ki, feltéve, hogy n elég nagy. Ezt csak Kemény Legénynek írom, mert igen, ha mondjuk p=0.3333, akkor bizony megeshet, hogy mondjuk az ezredik hadjárat után szépen kihalnak (ha a kezdeti n kicsi, és a +-1 sárkány éppen annyira megbillenti az 1:2 arányt, hogy nekünk rossz lesz).

Előzmény: [664] Kemény Legény, 2011-09-25 11:36:54
[664] Kemény Legény2011-09-25 11:36:54

Tehát az ellenkező irányra adott megoldásod pl. az n=6, p=\frac13 esetben: van 2 sárkányfiú+ 4 sárkánylány. Ha Artúr megöli mind a 2=n*p sárkányfiút, a lányok nehezen fognak utódokat nemzeni és pótolni a veszteségeket...

Előzmény: [663] Róbert Gida, 2011-09-25 09:40:53
[663] Róbert Gida2011-09-25 09:40:53

Ebben az esetben p\le \frac 13 esetében a kolónia fennmaradhat, míg p>\frac 13 esetén biztosan kipusztul. Legyen először p>\frac 13, ha legfeljebb \frac n3 sárkányfiú van, akkor első hadjárat során öljék meg őket, ekkor nem marad sárkányfiú, és a kolónia kihal. Így feltehető, hogy legalább \frac n3 sárkányfiú van, ami azt jelenti, hogy legfeljebb \frac {2n}{3} sárkánylány. Ekkor a hadjáratok során csak őket öljék meg: egy hadjárat után számuk kevesebb, mint \frac n3 lesz, míg a szülések után kevesebb, mint \frac {2n}3, így \frac {2n}{3} év alatt kihalnak.

Ellenkező irány: legyen p\le \frac 13 és \frac n3 sárkányfiú és \frac {2n}{3} sárkánylány. Egy hadjárat alatt megölnek legfeljebb \frac n3 sárkányt, így biztosan megmarad legalább \frac n3 sárkánylány. A szülésekkel pótolják a meghalt sárkányokat (annyi sárkánylány és fiú szülessen, mint amennyit megöltek), ekkor visszaáll az eredeti állapot, a maradék születések olyanok legyenek, hogy a kolóniában az 1:2 arány fennmaradjon a sárkányfiúk és lányok között (+-1 sárkány, ha n nem osztható 3-mal). Ekkor a kolónia nem hal ki

Előzmény: [662] Csimby, 2011-09-24 19:27:09
[662] Csimby2011-09-24 19:27:09

Ez jó, ha véletlenszerűen ölik a sárkányokat. De most engedjük meg, hogy válogathassanak is (valami külső jel alapján el tudják dönteni egy alvó sárkányról hogy hím vagy nőstény).

Előzmény: [661] Róbert Gida, 2011-09-24 19:14:02
[661] Róbert Gida2011-09-24 19:14:02

Aha, akkor q=2 (azaz p=\frac 12) a megoldás. Hiszen először legyen p\ge \frac 12, vagy nem marad sárkányfiú egy hadjárat után, így nincs születés, és a kolónia kihal egy mértani sor szerint. Ha van sárkányfiú, akkor a hadjárat után legfeljebb \frac n2 sárkány marad, (legalább) egyikük sárkányfiú, így legfeljebb \frac n2 + (\frac n2 -1)=n-1-en lesznek a hadjárat és a szülések után. Így n év alatt kihalnak.

Ha p<\frac 12, akkor adható olyan n, amelyre a kolónia létszáma egy r>1 kvóciensű mértani sorozattal becsülhető alulról, így nem hal ki. (kezdetben egy sárkányfiú legyen a kolóniában, őt egy hadjárat során se öljék meg, és mindig sárkánylány szülessen.)

Előzmény: [660] Csimby, 2011-09-24 17:03:01
[660] Csimby2011-09-24 17:03:01

n-sárkányból legfeljebb \frac{n}{q} felsőegészrésznyit tud megölni. És a legnagyobb olyan q-t keressük amivel végezni tud velük. (Örök élet = végelgyengülésben nem hal meg. De ha levágják a fejét, akkor persze igen.)

Előzmény: [658] Róbert Gida, 2011-09-24 10:56:30
[659] Sirpi2011-09-24 15:50:51

Szerintem próbáld úgy, hogy "legfeljebb p-ed részét..."

Előzmény: [658] Róbert Gida, 2011-09-24 10:56:30
[658] Róbert Gida2011-09-24 10:56:30

"Nyilván olyan p kell ami a "legrosszabb esetben" is működik." Nem nyilvánvaló.

"Példádban, ha örök életűek a sárkányfiúk akkor nem jó a p=0, mert Artúr egyet se öl meg, ők meg nem döglenek meg maguktól" De, akkor p>0 esetben egy örök életű sárkányt hogyan lehet megölni? Mert akkor az a sárkány nem örök életű.

Feladatodnak akkor viszont nincs megoldása: tegyük fel n>1 a kolónia létszáma kezdetben. Ha ennek p-ed részét ölik meg, akkor p=\frac kn (0\lek\len egész), mivel ennek minden n>1-re müködnie kell így csak p=0 és p=1 lehet. De az előbbi nem megoldás szerinted. Míg p=1 sem lehet, mert: "p-ed részét sikerül legyilkolnia mielőtt felébrednek és elkergetik.", de akkor egy sárkány sem marad, így nem kergethette el őket senki.

[657] Csimby2011-09-24 00:02:38

Példádban, ha örök életűek a sárkányfiúk akkor nem jó a p=0, mert Artúr egyet se öl meg, ők meg nem döglenek meg maguktól. Nyilván olyan p kell ami a "legrosszabb esetben" is működik.

Előzmény: [656] Róbert Gida, 2011-09-23 20:26:08
[656] Róbert Gida2011-09-23 20:26:08

Csak én érzem úgy, hogy itt hiányzik egy rakás adat? Ha mondjuk eredetileg sárkánylány nem is volt a kolóniában, akkor p=0 biztos jó.

Előzmény: [655] Csimby, 2011-09-23 18:52:48
[655] Csimby2011-09-23 18:52:48

Artúr király minden télen hadjáratot indít a hegyekben élő sárkányok ellen, akik ilyenkor téli álmunkat alusszák barlangjukban. A barlangban talált jószágok p-ed részét sikerül legyilkolnia mielőtt felébrednek és elkergetik. Párzási időszak után minden sárkánylány kis sárkánynak ad életet (egészen addig amíg a kolóniában van fiú sárkány). A kis sárkányok, hála a mágikus környezetnek, már a következő párzási időszakra nemzőképesek lesznek. Mi a legkisebb p, amilyen hatékonysággal Artúr ki tudja irtani a sárkány kolóniát?

[654] jonas2011-09-06 21:09:49

A következő feladatot sokat ismerhetitek. Nem emlékszem, szerepelt-e már a fórumon.

Lássuk be, hogy a következő sorozat tagjai páronként relatív prímek.

3,5,17,257,65537,4294967297,...,22n+1,...

[653] Valezius2011-04-12 14:38:15

Egy 2nx2n méretű négyzetrácsos ábrába hurkot rajzolunk olyan módon, hogy a hurok minden négyzeten átmegy, és mindig oldalasan szomszédos mezők középpontjait köti össze. (Egyszerűbben mondva csak vízszintesen és függőlegesen mehetünk)

Az egyik helyre, ahol a hurok irányt vált (például az egyik sarokba) rajzolunk egy kört, majd a hurkon végighaladva minden második töréspontra (és csak azokra) újabb kört rajzolunk.

1. Lássuk be, hogy a 4 sarok közül pontosan két szemben lévőben lesz kör.

2. Ha két kör egymás mellett van, akkor a képen látható négy lehetőség közül csak az első kettő valósulhat meg.

Mindkét bizonyítást elég egyszerűnek gondolom, úgyhogy remélem jó helyen van az ujjgyakorlatok között.

A könnyebb érthetőség kedvéért itt van néhány logikai feladvány, ahol minden kör meg van adva, és a feladat a hurok megrajzolása. www.logikairejtveny.5mp.eu

[652] Fálesz Mihály2010-09-02 09:42:24

Trükkös bizonyítások

Híres(?) álbizonyítások

Előzmény: [650] bily71, 2010-09-01 21:36:23
[651] SAMBUCA2010-09-01 21:48:58

0-val osztunk

Előzmény: [650] bily71, 2010-09-01 21:36:23
[650] bily712010-09-01 21:36:23

Legyen a=b+c !

Ekkor:

5a=5b+5c

4b+4c=4a

Adjuk össze a két egyenletet!

5a+4b+4c=5b+5c+4a

Mindkét oldalból vonjunk ki 9a-t!

4b+4c-4a=5b+5c-5a

Ebből:

4(b+c-a)=5(b+c-a)

Vagyis 4=5. Hol a hiba?

[649] bily712010-08-31 20:31:34

Bocsánatodért esedezem, nem volt szándékomban félrevezetni téged.

Elsőre azt hittem, hogy a négyzetmentes számok azonosak a nem hatványszámokkal. Tévedtem...

Előzmény: [648] jenei.attila, 2010-08-31 16:00:59
[648] jenei.attila2010-08-31 16:00:59

Ne haragudj Bily, de a kérdést nem átfogalmaztad, hanem egyszerűen mást kérdezel. A négyzetmentes számokra igaz, hogy nem hatványszámok, de fordídva nem. A kezdőtagok nevezőiben pedig as szerepel, akármi is az a. Tehát az eredeti kérdésedben, ahol azt mondtad hogy az a négyzetmentes, nem fog szerepelni a 12s, mivel a 12 nem négyzetmentes. Ha most azt mondod, hogy az a mégis inkább legyen nem hatványszám, akkor szerepelni fog benne, mivel a 12 valóban nem hatványszám. Előbb döntsd el hogy mit kérdezel, és ne tegyél úgy mintha én lennék értetlen hülye! Legalább annyit írhattál volna, hogy bocsi, rosszul tettem fel a kérdést. Még hogy átfogalmaztad... Most felbosszantottál.

Előzmény: [646] bily71, 2010-08-31 14:23:52
[647] SAMBUCA2010-08-31 15:24:20

Egyszerűen megválaszolható, ujjgyakorlat :) két dolgot kell ellenőrízni:

a, minden 1/ns szerepel a jobboldalon

b, egyik sem szerepel kétszer.

Sambuca

Előzmény: [646] bily71, 2010-08-31 14:23:52
[646] bily712010-08-31 14:23:52

Szerintem meg a kezdőtagok nevezőiben az a számok azok a pozitiv egészek, amelyek nem állnak elő a=br alakban, ahol b és r pozitiv egészek és r>1, azaz bármely 1-nél nagyobb r esetén a r-edik gyöke nem egész szám.

Az 1/12s úgy lesz kezdőtag, hogy nem szerepel egyik előző sorban sem, vagyis igy:

\sum1/n=1+(1/2+1/4+1/8+1/16+...)+(1/3+1/9+1/27+...)+(1/5+1/25+...)+

+(1/6+1/36+...)+(1/7+1/49+...)+(1/10+1/100+...)+(1/11+1/121+...)+(1/12+1/144+...)+...

Tehát a kérdésem átfogalmazva:

Igaz-e, hogy

\sum\frac{1}{n^s}=1+\sum\frac{1}{a^s-1}

ahol a befutja a nem hatványszámokat, n pedig a pozitiv egészeket?

Előzmény: [645] jenei.attila, 2010-08-31 08:53:06
[645] jenei.attila2010-08-31 08:53:06

Sajnos nem értem mire gondolsz: "csakhogy a kezdőtagok nevezőjében lévő a-k, mint ahogy az ellenpéldád is mutatja (az 1/12s is kezdőtag), nem azonosak a négyzetmentes számokkal"

Szerintem a kezdőtagok nevezői éppen a négyzetmentes számok. Továbbra sem találom az 1/12s-ent. Ez szerinted hogyan lesz kezdőtag? A következő hozzászólásodban az r mit jelent? Mi az, hogy az r-edik gyök nem egész szám? Létezik ilyen r, vagy minden r-re? Légyszíves próbáld ezt világosabban kifejteni. Köszi.

Előzmény: [643] bily71, 2010-08-30 22:33:35
[644] bily712010-08-30 22:51:12

Tehát a nem négyzetmentes szám, hanem olyan pozitiv egész, amelynek r-edik gyöke r\inN és r>1 esetén nem egész szám.

Előzmény: [643] bily71, 2010-08-30 22:33:35
[643] bily712010-08-30 22:33:35

s=1 esetén:

1/1+1/2+1/3+...=1+(1/2+1/4+1/8...)+(1/3+1/9+1/27+...)+(1/5+1/25+1/125+)+...

s=2 esetén:

1/1+1/4+1/9+...=1+(1/4+1/16+1/64+...)+(1/9+1/81+1/729+...)+(1/25+1/625+1/15625+...)+...

...

A zárójelekben olyan mértani sorok vannak, melyek kezdőtagjai nem szerepeltek egyik elöző zárójelben sem és a kezdőtag egyenlő a kvócienssel, csakhogy a kezdőtagok nevezőjében lévő a-k, mint ahogy az ellenpéldád is mutatja (az 1/12s is kezdőtag), nem azonosak a négyzetmentes számokkal, ezen számok halmaza bővebb.

Előzmény: [641] jenei.attila, 2010-08-30 12:23:13
[642] Tibixe2010-08-30 16:26:11

s=0-ban a bal oldal értéke:

(dobpergés)

-\frac12

Kis rosszindulattal, persze.

Előzmény: [638] Róbert Gida, 2010-08-30 01:29:00
[641] jenei.attila2010-08-30 12:23:13

Nekem úgy tűnik, nem igaz. A \frac{1}{a^s-1}=\frac{\frac{1}{a^s}}{1-\frac{1}{a^s}} átalakításból a szumma mögött az \frac{1}{a^s}+\frac{1}{a^{2s}}+\frac{1}{a^{3s}}+\frac{1}{a^{4s}},... mértani sorösszegek állnak minden négyzetmentes a-ra. Hol van ebbel pl. az \frac{1}{12^s}?

Előzmény: [637] bily71, 2010-08-29 15:54:31

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]