Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[752] juantheron2012-06-03 13:11:05

Thanks Róbert Gida and Sakkmath.

[751] juantheron2012-06-03 13:09:57

(1) The number of solution of sin (sin (sin x))=cos (cos (cos x))

where x\in[0,2\pi]

(2) all ordered pairs (a,b) in 5a2+5b2+5ab=5a+7b

where a,b\inW

[750] Lóczi Lajos2012-06-02 22:33:25

Akkor (ha addig nem érkezik megoldás) néhány nap múlva adhatsz számunkra tippet az elinduláshoz (pl. egy nagyon speciális esetet konkávitással beláttam, de nem látom, hogy lehet-e az általánosabb esetekben is ezzel érvelni).

Előzmény: [749] sakkmath, 2012-06-02 19:11:24
[749] sakkmath2012-06-02 19:11:24

Kiegészítések:

1. Maradjunk a feladat eredeti szövegénél:

Az ai-k pozitív valós számok.

Bizonyítsuk be továbbá, hogy az egyenlőtlenségben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a1=a2=...=an .

2. E feladat (is) inkább a "Nehezebb matematikai problémák" fejezetbe való. :( / :)

Előzmény: [748] sakkmath, 2012-06-01 15:21:23
[748] sakkmath2012-06-01 15:21:23

Egy könnyebb feladat:

Bizonyítsuk be, hogy: ha a1,a2,...,an nemnegatív valósak, akkor

\frac{a_1+ \sqrt{a_1a_2}+\dots + \root{n}\of{a_1\dots a_n}}{n}\leqq\root{n}\of{a_1\cdot\frac{a_1+a_2}{2}\dots\frac{a_1+\dots+a_n}{n}}

[747] Lóczi Lajos2012-06-01 13:49:17

:-)

Előzmény: [746] HoA, 2012-06-01 11:32:56
[746] HoA2012-06-01 11:32:56

Akkor lehet, hogy ez sem az a tipikus "ujjgyakorlat" feladat egy középiskolások lapjának fórumán?

Előzmény: [744] Csimby, 2012-05-31 02:43:57
[745] Lóczi Lajos2012-05-31 16:42:14

Köszönöm. (A Veljan-Korchmáros keresőkifejezésre egyébként egész sok érdekes cikket és általánosítást lehet találni, többek között a Yang S.--Wang J. kínai szerzőpáros cikkeit a 90-es évek közepéről, vagy a V. Volenec--D. Veljan--J. Pecaric hármas cikkét '98-ból.)

Előzmény: [744] Csimby, 2012-05-31 02:43:57
[744] Csimby2012-05-31 02:43:57

a,b,c oldalú háromszög területe \leq \frac{\sqrt{3}}{4} (abc)^{2/3}, egyenlőség acsa, ha szabályos a háromszög. Ezt a becslést lehet általánosítani (indukcióval) n-dim szimplexre (ez az n most egy másik n mint az előző hsz-emben - konrétan 1-gyel kisebb): Ha aij az Ai és Aj csúcs közti él hossza, akkor a térfogat \leq 1/n! \sqrt{\frac{n+1}{2^n}}\prod_{1\leq i < j \leq n+1} a_{ij}^{2/(n+1)}. Ez D. Veljan sejtése volt, a bizonyítás amit ismerek Korchmáros Gábortól származik, sajnos nem tudom linkelni, de el tudom küldeni ha érdekel (olaszul vagy németül).

Az egyenlőtlenség ebből jön ki (ez az olasz cikkben van), ha a1,...an+1 poz. valósak akkor azt mondod legyen aij2=ai+aj.

De itt még kell, hogy van ilyen oldalhosszakkal szimplex. Ezt úgy lehet csinálni hogy \sqrt{a_i}-ket felmérünk az n+1-dim tér tengelyeire és akkor ez az n+1 pont jó lesz szimplexnek.

Előzmény: [743] Lóczi Lajos, 2012-05-28 16:46:29
[743] Lóczi Lajos2012-05-28 16:46:29

Van az egyenlőtlenség megoldására valakinek tippje? (Egyelőre csak n=3-ra van bizonyításom, de abból nem tudok továbblépni nagyobb n-ekre. Valamint tudom, hogy az állítás igaz n=4-re.)

Előzmény: [735] Csimby, 2012-05-22 20:27:55
[742] sakkmath2012-05-27 12:37:42

I was wrong, sorry.

WolframAlpha computational knowledge engine

Előzmény: [741] Róbert Gida, 2012-05-26 22:10:59
[741] Róbert Gida2012-05-26 22:10:59

My guess is ...289

99\equiv9mod 160

999=9160k+9\equiv99\equiv89mod 400

9^{9^{9^9}}=9^{400m+89}\equiv 9^{89}\equiv 289 \mod 1000

Előzmény: [740] sakkmath, 2012-05-26 15:34:04
[740] sakkmath2012-05-26 15:34:04

...689

Előzmény: [739] juantheron, 2012-05-25 14:44:28
[739] juantheron2012-05-25 14:44:28

Thanks sakkmath

Two tasks

(1) last 3 digits of 9^{9^{9^{9}}}

[738] Róbert Gida2012-05-22 20:46:03

Úgy már igaz lehet. (n=3-ra jónéhány esetet géppel megnéztem.)

Előzmény: [737] Csimby, 2012-05-22 20:39:10
[737] Csimby2012-05-22 20:39:10

és ha n>2?

Előzmény: [736] Róbert Gida, 2012-05-22 20:36:16
[736] Róbert Gida2012-05-22 20:36:16

Legyen n=2;a1=1;a2=2, ekkor a két oldal egyenlő, de az ai-k nem egyenlőek.

Előzmény: [735] Csimby, 2012-05-22 20:27:55
[735] Csimby2012-05-22 20:27:55

Utolsó próbálkozás: Legyen n\geq2, ai-k mint előbb, ekkor:

\sum_{i=1}^n \frac{a_1a_2\dots a_n}{na_i}\leq \left(\prod_{1\leq i < j \leq n}\frac{a_i+a_j}{2}\right)^{2/n},

egyenlőség acsa ha ai-k egyenlőek.

Előzmény: [733] Csimby, 2012-05-22 18:43:47
[734] Róbert Gida2012-05-22 19:40:14

Ez pedig n=3;a1=a2=a3=2-re nem teljesül.

Előzmény: [733] Csimby, 2012-05-22 18:43:47
[733] Csimby2012-05-22 18:43:47

Na szóval, legyenek a1,a2...,an poz. valósak, továbbá n\geq3 Biz.be:

\sum_{i=1}^n \frac{a_1a_2\dots a_n}{na_i}\leq
\left( \prod_{1\leq i < j \leq n} \frac{a_i+a_j}{2}\right)^{2/(n^2-n)},

egyenlőség pontosan akkor ha a1=...=an.

Előzmény: [730] Csimby, 2012-05-22 18:12:38
[732] Csimby2012-05-22 18:33:21

Bocs, a bal oldalt szumma van!!

Előzmény: [731] Róbert Gida, 2012-05-22 18:23:32
[731] Róbert Gida2012-05-22 18:23:32

n=2;a1=a2=8-re nem teljesül az egyenlőtlenség.

Előzmény: [730] Csimby, 2012-05-22 18:12:38
[730] Csimby2012-05-22 18:12:38

Legyenek a1,a2,...,an pozitív valós számok. Biz. be:

\prod_{i=1}^n \frac{a_1a_2\dots a_n}{na_i}\leq
\left(\prod_{1\leq i < j \leq n} \frac{a_i+a_j}{2}\right)^{2/(n^2-n)}

Egyenlőség pontosan akkor ha a1=a2=...=an.

[729] sakkmath2012-05-19 16:10:25

Az utoljára felvetett kérdésben csak idáig jutottam:

cot (1°).cot (2°).cot (3°).....cot (43°).cot (44°)=tan (46°).tan (47°).tan (48°).....tan (87°).tan (89°)

Ha valaki megkapta volna a szorzat számértékét, kérem, ne tartsa titokban :-)

Előzmény: [727] juantheron, 2012-05-18 17:02:03
[728] sakkmath2012-05-19 00:25:39

This nostalgia for me:

About 30 years ago, I proposed to publish these two problems. (Not published them ...)

Előzmény: [724] sakkmath, 2012-05-18 15:35:51

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]