[815] jonas | 2013-04-30 15:00:35 |
Mutatok egy megoldást, bár gyanítom, hogy van ennél egyszerűbb is.
Hozzuk a kifejezést közös nevezőre. f=g/h, ahol
g=a(c+a)(a+b)(b-c)+b(a+b)(b+c)(c-a)+c(b+c)(c+a)(a-b),
h=(a-b)(b-c)(c-a).
Fejtsük ki először a nevezőt, mert az könnyebb.
h=-a2b+b2a-b2c+c2b-c2a+a2c.
Most nézzük a számlálót! Fejtsük ki a három tagot külön.
Ebben vannak azonos tagok, amik kiejtenék egymást, de a trükk az, hogy nem ejtjük ki őket. Helyette forgassuk el az egyes oszlopokat külön-külön: a második és negyedik oszlopot forgassuk fölfelé, a hatodikat lefelé.
Most a sorokat szorzattá alakíthatjuk:
g=ab(a+b+c)(a-b)+bc(a+b+c)(b-c)+ca(a+b+c)(c-a)=
=(a+b+c)(a2b-b2a+b2c-c2b+c2a-a2c)=-(a+b+c)h.
Ebből pedig f=-(a+b+c) egész szám, feltéve, hogy h nem nulla. Ha h nulla, akkor valamelyik tényezője nulla, ettől pedig f eredeti alakjában valamelyik nevező nulla lesz.
|
Előzmény: [807] w, 2013-04-29 16:36:16 |
|
|
|
[812] w | 2013-04-29 22:28:07 |
A feladatoddal még nem volt időm foglalkozni, ha arra céloztál, de majd gondolkozom rajta. Másrészt akkor megkérdezném, hogy melyik ördöngös módszerrel igazoltad az f(a,b,c)=-(a+b+c) azonosságot?
|
Előzmény: [811] Lóczi Lajos, 2013-04-29 22:15:13 |
|
[811] Lóczi Lajos | 2013-04-29 22:15:13 |
"olyan egyszerű alakja van"
Egyszerű? Micsoda egybeesés, szerintem a g polinom együtthatói az "Érdekes matekfeladatok" [3717]-es hozzászólásában szereplő összegekkel fejezhetők ki!
|
Előzmény: [810] w, 2013-04-29 21:31:33 |
|
[810] w | 2013-04-29 21:31:33 |
Tudom, ez szubjektív kérdés. Én ciklikus permutációkkal láttam be, úgy nem bonyolódunk bele a dologba. A kérdés, hogy lehet-e ezt nem dózerolni?
A többieknek: a Lajos által definiált g polinom rövid kísérletezéssel megkapható, még interpolálni se kell, olyan egyszerű alakja van :)
|
Előzmény: [809] w, 2013-04-29 21:27:10 |
|
|
|
[807] w | 2013-04-29 16:36:16 |
Legyenek a, b és c egész számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő kifejezés is egész szám lesz:
.
|
|
[806] w | 2013-04-29 16:35:35 |
Az írás leginkább csak az alapdolgokat tárgyalja. A karakterisztikus egyenlet gyökei stb. konjugált párok, így nem lesz sok baj a komplex képlettel sem, de ahogy Lóczi Lajos is mondta, a valós képlet (mivel ha nem is feltétlenül zárt alakban, de létezik --> binom. tétel) kinyerhető.
|
Előzmény: [801] logarlécész, 2013-04-28 13:47:47 |
|
|
|
|
|
[801] logarlécész | 2013-04-28 13:47:47 |
Köszönöm a linket! Melyik fejezetre gondoltál? Mert én magamtól a másodrendű rekurziók között keresgéltem, de ott csak a "két mértani sor összege" típusú megoldást láttam ide illőnek, ami komplex végeredményt adott (nekem). Ezért is merült föl bennem a kérdés, hogy van-e ill. hogyan határozható meg a valós képlet.
|
Előzmény: [799] w, 2013-04-28 12:53:20 |
|
|
|
|
[797] logarlécész | 2013-04-28 12:02:56 |
Igen, én is látom, hogy kihagytam a rekurzióból, hogy csak n>2 egészekre igaz az állítás... :-)
|
|
[796] logarlécész | 2013-04-28 11:58:34 |
Adott a következő sorozat:
a1=1, a2=3, an=2an-1-3an-2
A sorozat szemmel láthatóan csak valós (egész) elemeket fog tartalmazni. A kérdés: található-e a sorozathoz csak valós számokat használó explicit képlet? (Komplex számokat használó explicit képlet nyilván van, két mértani sor összegeként...)
Minden megoldási javaslatot (ill. végeredményt is) köszönettel fogadok!
|
|
[795] w | 2013-04-10 16:32:56 |
Ez kicsit trollkodás, szerintem tudod, mire gondolok. Úgy értem, hogy két tétel akkor ekvivalens, ha "közvetlenül" következnek egymásból. A kitűzött feladat nyilván vitatható, ezért is fórumon érdemes megbeszélni.
|
Előzmény: [794] Sinobi, 2013-04-09 16:38:45 |
|
[794] Sinobi | 2013-04-09 16:38:45 |
Az egyikből következik, hogy 1=1, és abból, hogy 1=1 következik a másik...
Teljesen biztos vagy abban, hogy tételek körében értelmes ekvivalenciáról beszélni? Definícióknál szoktak, meg esetleg ha kikötöd, hogy milyen axiómákat szabad használni.
|
Előzmény: [791] w, 2013-04-09 07:22:46 |
|
[793] w | 2013-04-09 07:27:26 |
Az egyenlőtlenségek alkalmas alkalmazására + esetleg némi határértékszámításra gondolok, de az irracionális súlyokat szerintem most zárjuk ki.
|
Előzmény: [791] w, 2013-04-09 07:22:46 |
|
|
|