Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[85] Gubbubu2004-01-19 12:32:59

Kedves Lészló!

Valóban, az alap oldalainak szögei meg kell hogy egyezzenek, ezt elfelejtettem mondani.

Tetszik a vektorok használata. Erre nem is gondoltam.

Az átdarabolásos bizonyítás úgy menne, hogy először egy háromszög alapú ferde, majd egy ugyanekkora (egybevágó) háromszög alapú, de egyenes hasábot levágunk a p.p. egyik végéről és tesszük a másik végére. Megpróbálom majd lerajzolni.

Üdv.:G.

Előzmény: [83] lorantfy, 2004-01-18 21:30:16
[84] lorantfy2004-01-19 11:16:34

26. feladat megoldása: Tompaszögű háromszög esetén:m<\frac{a}{2}

AC^2= \frac{a^2}{4}+m^2 \quad \frac{AP_1}{\frac{AC}{2}}=\frac{AC}{\frac{a}{2}} \quad AP_1= \frac{a}{4}+\frac{m^2}{a}\quad P_1P_2=a-2AP_1= \frac{a}{2}-\frac{2m^2}{a}

\frac{P_1Q_1}{\frac{AC}{2}}=\frac{m}{\frac{a}{2}}\quad P_1Q_1=\frac{m}{a} \sqrt{\frac{a^2}{4}+m^2}=m\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{m^2}{a^2}}

Derékszögű háromszög esetén:m=\frac{a}{2}

P_1P_2=0\quad P_1Q=\frac{m}{\sqrt{2}}

Tompaszögű háromszög esetén: m> \frac{a}{2}

P_1P_1=\frac{2m^2}{a}-\frac{a}{2}\quad P_1Q_1=m\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{m^2}{a^2}}

A feladat szövege szerint szigorú értelemben csak \gamma=60o-ig van megoldás, ekkor P2=A, P1=B. Ennél kisebb csúcsszög esetén a P1 , P2 pontok az alapon kívül esnek.

Előzmény: [82] Hajba Károly, 2004-01-16 14:14:19
[83] lorantfy2004-01-18 21:30:16

Kedves Gubbubu!

A feladat megfogalmazása kicsit pontatlan: Az alaplapon lévő szögeknek meg kell egyezni, a térfogatok csak akkor egyenlőek. Másrészt, ha az alap paralelogramma, akor a test már nem téglatest. De azért remélem jól értem a feladatot.

25. feladat megoldása: Természetesen átdarabolni is lehet, de egy kis változatosság nem árt: számoljuk a testek térfogatát a T=(axb).c vektor vegyesszorzattal.

Aki nem ismeri: axb vektoriális szorzat az a,b síkjára merőleges vektor, nagysága pedig absin\alpha, ami éppen a paralelogramma területe. Ezzel a vektorral skalárszorozva a c vektort kapjuk a test térfogatát.

Látszik, hogy c1 vetülete axb-re éppen c, így a térfogatok egyenlőek.

Előzmény: [81] Gubbubu, 2004-01-15 01:17:11
[82] Hajba Károly2004-01-16 14:14:19

26. feladat

Vegyünk egy a alapú m magasságú egyenlő szárú háromszöget. Az alap P1 és P2 pontjából a szárak oldalfelező pontjaira (Q1,Q2) merőlegest tudunk állítani. Mennyi P1P2 ill. P1Q1 szakaszok hossza?

HK

[81] Gubbubu2004-01-15 01:17:11

Üdv;

Még két hasonló feladat: (nem nehezek, legalábbis az első, a másodikhoz kell egy kis térlátás)

24.feladat: Legyenenek az ABC_\Delta a,b oldalainak felezőpontjai F,G, súlyvonala S. Lássuk be, hogy az SAG_\Delta és az SBF_\Delta háromszögek végszerűen egyenlőek, azaz átdarabolhatóak egymásba, és adjunk meg egy konkrét átdarabolást is.

25.feladat: Igazoljuk, hogy egy a,b,c oldalú, m testmagasságú paralelepipedon és egy a,b oldalú paraleogramma alapú, m magasságú téglatest térfogata megegyezik!

Segítség: persze át kellene darabolni a testeket...

[80] Gubbubu2004-01-14 20:35:24

Kedves R.B.!

Jól emlékszel, a tétel úgy szól, és valóban Bolyai F. tételének hívják. A bizonyítása tényleg nem túl nehéz, bár egy kissé hosszadalmas, szerintem nem illik ebbe a rovatba.

Én azonban, ha elvártam volna valamit, akkor az egy konkrétabb bizonyítás, mondjuk egy ábra lett volna. Persze nem vártam el semmit, még azt sem, hogy akadjon valaki, aki megoldja a feladatot és fölteszi a megoldást, csak azért tűztem ki, hátha valakinek kedve van ilyesmiken is gondolkodni, amikor fáradt egy nehezebb probléma megoldásához.

Üdv: G.

[79] Rácz Béla2004-01-14 01:45:16

Azt hiszem, tétel szól ennek a feladatnak az általánosabb formájáról, azaz hogy bármely két egyenlő területű sokszög véges sok vágással átdarabolható egymásba. Úgy emlékszem, hogy ezt Bolyai Farkas tételének is hívják. A bizonyításhoz nem kell igazán újító ötlet, úgyhogy akár ezt is meg lehetne itt kérdezni.

Előzmény: [78] Gubbubu, 2004-01-14 00:55:24
[78] Gubbubu2004-01-14 00:55:24

Egy ujabb egyperces:

Lássuk be, hogy tetszőleges (nem elfajult) háromszög bármely súlyvonala a háromszöget két olyan részháromszögre osztja, amelyek végszerűen egyenlőek (azaz véges sok síkidomra vágással átdarabolhatóak egymásba)!

[77] Gubbubu2004-01-10 01:44:24

Üdvözlet mindenkinek!

Mára egy kedves, bár nem túlságosan új kis feladatot hoztam - ugye nem baj? - szerintem néhány perc alatt megoldható, így ebbe a rovatba teszem:

kb. 22. feladat:

Oldjuk meg a

\sum_{i=1}^n{i}=\prod_{i=1}^n{i}

vagy ha úgy jobban tetszik,

\frac{n(n+1)}{2}=n!

egyenletet (n\inN)!

(már megint a háromszögszámok!)

[76] Hajba Károly2004-01-09 13:12:33

Kedves gongadze!

A feltett feladatra a biliárdos topikban megtalálod a megoldást:

HK

Előzmény: [70] gongadze, 2004-01-04 23:43:10
[75] Hajba Károly2004-01-08 10:59:49

A pontosított megoldás a 21. feladatra:

Négyzetszám csak (0, 1, 4, 5, 6, 9) számokra végződhet, így ha ebből 5-öt levonunk, a 2n csak (4, 6) számokra végződhet. Ebből következik, hogy felírhatjuk 4n formában is, ami négyzetszám. Tehát 2 db négyzetszám különbsége 65|5*13|1*65.

(x+i)2-x2=65

i*(2x+i)=65

x={9,33}

n=log2(x2-65)={4,10}

Tehát csak ez a két megoldás létezik.

HK

Előzmény: [74] Hajba Károly, 2004-01-08 09:44:35
[74] Hajba Károly2004-01-08 09:44:35

Megoldás a 21. feladatra:

Négyzetszám csak (0, 1, 4, 5, 6, 9) számokra végződhet, így ha ebből 5-öt levonunk, a 2n csak (4, 6) számokra végződhet. Ebből következik, hogy felírhatjuk 4n formában is, ami négyzetszám. Tehát 2 db négyzetszám különbsége 65|5*13|1*65.

(x+i)2-x2=65

i*(2x-i)=65

x={9,33}

n=log4(x2-65)={4,33}

Tehát csak ez a két megoldás létezik.

HK

Előzmény: [72] Suhanc, 2004-01-07 20:45:54
[73] SchZol2004-01-07 21:42:00

pl: n=4

Előzmény: [72] Suhanc, 2004-01-07 20:45:54
[72] Suhanc2004-01-07 20:45:54

Hahó!

Mintha most kissé ritkábban kerülne fel feladat...;)

Ez tényleg egyperces:

21. feladat

Mely pozitív egész n értékre lesz

2n+65 négyzetszám?

[71] Hajba Károly2004-01-05 13:55:29

Kedves gongadze!

Ez a feladat a Biliárdgolyós topikba illik, így átteszem oda, s mindenki ott reagáljon rá!

Hajba Károly

Előzmény: [70] gongadze, 2004-01-04 23:43:10
[70] gongadze2004-01-04 23:43:10

Sziasztok!

Ebbe az egyszerű problémába ütköztem és nem tudok továbblépni:

» Az előző+1. példa:

Van 5 különböző súly és egy kétkarú mérleg... súlyok szerint kéne rendezni.. a kétkaru mérleg csak összehasonlítani tud.. abszolut mértéket nem mutat.. hány mérés kell a legjobb algoritmus esetében?..és persze hogy működik a legjobb algoritmus?

Előre is kösz a visszajelzéseket :]

[69] Csizmadia Gábor2004-01-02 16:39:56

Ez igaz.:-) Nem fejtettem ki részletesebben, hogy mit értek periodicitás alatt, tkp. rossz kifejezést használtam.

Írjuk fel x=0,... alakban a tizedesvessző mögé sorba a differenciasorozat tagjait. És az a kérdés, hogy ez a szám racionális-e? ((legyen 18b))

Előzmény: [63] lorybetti, 2003-12-29 14:52:31
[68] Csizmadia Gábor2004-01-02 16:34:01

Szép, rövid megoldás. Ebből is látszik, hogy egy (jó) ábra sosem árt.:-)

Előzmény: [62] Kós Géza, 2003-12-29 11:18:15
[67] lorantfy2003-12-31 21:22:54

Megoldás a 20. feladatra:

Osszuk fel az A és B oldalú téglalap oldalait az ábra szerint! A fekete mezők területének összege:

b1a1+b1a3++b1a2n+1+b2a2+b2a4++b2a2n++

+b2ka2+b2ka4++b2ka2n+b2k+1a1+b2k+1a3++b2k+1a2n+1=

b1 \sum a_{paratlan}+b2\sum a_{paros}+…+b_{2k} \sum a_{paros}+b_{2k+1}\sum a_{paratlan}=

T_{fekete}= \sum b_{paratlan}\sum a_{paratlan}+\sum b_{paros}\sum a_{paros}

Hasonlóan a világos mezők területének összege:

T_{feher}= \sum b_{paros}\sum a_{paratlan}+\sum b_{paratlan}\sum a_{paros}

Mivel Tfekete=Tfeher

 \sum b_{paratlan}\sum a_{paratlan}+\sum a_{paros}\sum b_{paros}=\sum b_{paros}\sum a_{paratlan}+\sum b_{paratlan}\sum a_{paros}

Rendezve:

\bigg(\sum b_{paratlan} - \sum b_{paros}  \bigg)\bigg(\sum a_{paratlan} - \sum a_{paros}  \bigg)=0

Ez azt jelenti, hogy legalább az egyik különbségnek nullának kell lenni.

Tehát pl. \sum a_{paratlan} = \sum a_{paros}=A1 . Ez pedig pont azt jelenti, hogy a sötét mezőket balra tömörítve összetolva egy A1 oldalú téglalap jön létre, melynek másik oldala az eredeti téglalap B oldala.

Előzmény: [66] Suhanc, 2003-12-29 17:34:09
[66] Suhanc2003-12-29 17:34:09

20. feladat

Egy téglalapot oldalaival párhuzamos egyenesekkel felosztunk n sorra és n oszlopra. Ezután a cellákat sakktáblaszerűen kiszínezzük. A fekete mezők területének összege megegyezik a fehér mezők területének összegével. Bizonyítandó, hogy a fekete mezőkből téglalap alkotható!

[65] Suhanc2003-12-29 17:24:48

Megoldás a 19. feladatra:

Meghatározandó az 1/4+1/42+1/43+... összeg. Legyen

(1)1/4+1/42+1/43+... =a

Ekkor: (2) 1+1/4+1/42+1/43+...=4a

(2)-(1): 1=3a Tehát a=1/3

Nem vagyok biztos benne, de azt hiszem itt még be kell látni, hogy ez az összeg valóban létezik... ha ezt beláttuk,készen vagyunk; talán nélküle is ;)

[64] lorantfy2003-12-29 14:59:05

19. feladat: Bizonyítsd be az ábra szerinti állítást! (A szemléletes ábrasort a math.rice.edu lapról ollóztam.)

[63] lorybetti2003-12-29 14:52:31

Megoldás a 18. feladatra:

A differenciasorozat nem lehet periodikus, mert az egyetlen páros prím a 2, és a 2 és a 3 közötti különbség 1, a többi diffrencia pedig mindig páros.

Előzmény: [56] Csizmadia Gábor, 2003-12-24 00:21:56
[62] Kós Géza2003-12-29 11:18:15

A KFCG és KGDH deltoidok hasonlóságából is leolvasható, hogy \frac{a}{b}=\frac{c}{a}, vagyis a2=bc.

Előzmény: [60] Csizmadia Gábor, 2003-12-27 18:12:05
[61] kdavid2003-12-27 21:29:51

Köszi

Előzmény: [60] Csizmadia Gábor, 2003-12-27 18:12:05

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]