Fórum: "ujjgyakorlatok"

Igazoljuk PAL [942]-es feladatát, melyet az alábbi, ekvivalens formában írom le.

Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \frac{\cos(2^0)\cdot\cos(6^0)\cdot\cos(10^0)\cdot\cdot\cdot \cos(82^0)\cdot\cos(86^0) }{\cos(4^0)\cdot\cos(8^0)\cdot\cos(12^0)\cdot\cdot\cdot \cos(84^0)\cdot\cos(88^0)}=3\cdot\sqrt5\).

Megoldás:

Látható, hogy a fenti kifejezésben mindegyik szög hegyesszög.

Először tekintsünk négy közismert összefüggést.

Lemma 1.:

\(\displaystyle \cos(x)=\sin(90^0-x)\);

Lemma 2.:

\(\displaystyle \tan(60^0-x)\cdot\tan(x)\cdot\tan(60^0+x) = \tan(3x)\). Ez azonosság, addíciós tételek következménye.

Lemma 3.:

\(\displaystyle \tan(36^0) = \sqrt{5-2\sqrt5}\). Bizonyítása(i): KöMaL-fórum, "Valaki mondja meg!"/ [1817]-es hsz.

Lemma 4.:

\(\displaystyle \tan(2x)=\frac{2\cdot\tan(x)}{1-\tan^2(x)}\), ami addíciós tétel következménye \(\displaystyle (x\ne 45^0)\).

A feladat kitűzési kifejezésében jelöljük \(\displaystyle P\)-vel az egyenlőségjel bal oldalán álló koszinuszos törtkifejezést. Meg kell mutatnunk, hogy \(\displaystyle P=3\cdot\sqrt5\). A \(\displaystyle P\)-beli tört számlálójában alkalmazzuk az 1-es lemma helyettesítését mindegyik koszinuszra, s ezek után írjuk fel fordított sorrendben a kapott szinuszokat.

Az eredmény a \(\displaystyle P\)-vel ekvivalens \(\displaystyle P’= \prod_{k=1}^{22} \tan (k\cdot 4^0)\).

E \(\displaystyle 22\)-tényezős tangensszorzatban válasszuk ki és jelöljük meg (pl. más-más színnel) azokat szöghármasokat, illetve tangenshármasokat, melyekre fennáll a 2-es lemma „bal oldali szabálya”. Az összetartozó szögek nagysága ilyen típusú: \(\displaystyle \big((60^0-\alpha); \alpha; (60^0+\alpha)\big)\). Az azonos jelölésű tangenskifejezéseket, egy-egy zárójelbe téve, írjuk egymás mellé, összeszorozva. Ezek után váltsunk: írjuk egymás alá, külön sorokba e 3-as tangensszorzatokat és írjuk az őket követő egyenlőségjelek jobb oldalára a 2-es lemma szerinti értékeket („jobb oldali szabály”).

\(\displaystyle \tan(56^0)\cdot\tan(4^0)\cdot\tan(64^0)=\tan(12^0) \tag{*}\)

\(\displaystyle \tan(52^0)\cdot\tan(8^0)\cdot\tan(68^0)=\tan(24^0) \tag{**}\)

\(\displaystyle \tan(48^0)\cdot\tan(12^0)\cdot\tan(72^0)=\tan(36^0) \tag{**}\)

\(\displaystyle \tan(44^0)\cdot\tan(16^0)\cdot\tan(76^0)=\tan(48^0) \tag{*}\)

\(\displaystyle \tan(40^0)\cdot\tan(20^0)\cdot\tan(80^0)=\tan(60^0)~(=\sqrt3)\)

\(\displaystyle \tan(36^0)\cdot\tan(24^0)\cdot\tan(84^0)=\tan(72^0) \tag{*}\)

\(\displaystyle \tan(32^0)\cdot\tan(28^0)\cdot\tan(88^0)=\tan(84^0) \tag{**}\)

\(\displaystyle \tan(60^0)=\sqrt3\)

(a \(\displaystyle 60^0\) tangensének nem voltak „társai”, ezért külön írtuk ide).

Függőlegesen összeszorozzuk a fenti 8 egyenletet.

Az így kapott bal oldalra és a jobb oldalra is teljesül, hogy a szorzatok értéke \(\displaystyle P=P’=\prod_{k=1}^{22} \tan (k\cdot 4^0)\). A jobb oldalon előálló tangensszorzatban tegyük külön-külön zárójelbe a (*)-gal, illetve (**)-gal jelölt, jobbszélső tangenseket, mert ezekre ismét alkalmazhatjuk a 2-es lemmát.

A (*)-ozott tangenseket összegyűjtve:

\(\displaystyle \tan(48^0)\cdot\tan(12^0)\cdot\tan(72^0)=\tan(36^0)\);

a (**)-ozott tangenseket összegyűjtve:

\(\displaystyle \tan(36^0)\cdot\tan(24^0)\cdot\tan(84^0)=\tan(72^0)\);

Függőlegesen összeszorozzuk a két egyenletet, és mindkét oldalt megszorozzuk az eddig figyelembe még nem vett \(\displaystyle \sqrt3\cdot\sqrt3=3\)-mal.

Ezt kapjuk:

\(\displaystyle P=P’=3\cdot\tan(36^0)\cdot\tan(72^0) \tag{***}\)

.

A 3-4. lemmák alkalmazásával:

\(\displaystyle \tan(36^0)\cdot\tan(72^0)=\tan(36^0)\cdot\tan(2\cdot36^0)=\frac{2\cdot\tan^2(36^0)}{1-\tan^2(36^0)}=\)

\(\displaystyle =\frac{2\cdot(5-2\cdot\sqrt5)}{2\cdot\sqrt5-4}=\frac{5-2\cdot\sqrt5}{\sqrt5-2}=\frac{5-2\cdot\sqrt5}{\sqrt5-2}\cdot\frac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5}\\=(5-2\cdot\sqrt5)\cdot(2+\sqrt5)=10+5\cdot\sqrt5-4\cdot\sqrt5-10=\sqrt5\).

Ezt (***)-ba helyettesítve:

\(\displaystyle {\bf P=P’=3\cdot\sqrt5}\)

és ezt kellett bebizonyítani.

Időnk, mint a tenger vagy amíg élünk, remélünk! :-) Tudtommal a matemtikai bizonyításokba nagyon nincs belekódolva, hogy mennyi időbe telt, mire a célhoz vezető utat kikövezték (bár ismerek egy két extrém esetet :D)... Mindenesetre nekem sokkal inkább tetsző, ha a megoldás egyszerű, vagy könnyen átlátható, vagy az általam is (például még középiskolában) használt/megismert tételekre épül csupán... Úgyhogy türelemmel várom, itt nem kell siketni mivel mint mondtam ebben az a szép, hogy nincs tétje, csak haszna, ha elkészül és jó.

Újraszámoltam a legvégét, s most szerencsére (?) visszakaptam az eredetileg várt \(\displaystyle 3\sqrt5\) értéket. Már "csak" a tengerikígyó hosszú kézi megoldás átírása marad, ami időigényes. A szerdát tartani tudom valószínűleg.

Elnézést, most úgy látom, valamit elszámolhattam, pedig kereknek tűnt minden. :(

Talán szerdára rájövök a hibámra... Addig még egy kis türelmet kérek.

Na szuper, kiváncsi vagyok, komolyan... nekem azért nem ment ilyen gyorsan, ráadásul gépi segítségekkel haladtam előre, mire a végén átláttam. Viszont cserébe ajánlom a jó hírt, hogy sikerült nagymértékben leegyszerűsített alakban felírnom a [729]-ben feltett problémát, egyben elismerem, hogy amit nemrég írtam erről (hogy nem tartom valószínűnek, hogy egyszerűbb alakban felírható), nos az tévedés volt, és persze ezt majd nem is "tartom titokban", hanem a héten én is felteszem ide... azt nem igérem, hogy megfelelő bizonyításom is lesz rá, mert sok Wolfram és "nem szakszerű ügyeskedés" van mögötte, de azért utalok majd rá, hogy jött ki, hogy azért átgondolható legyen, és aki akarja szerintem bizonyítani is fogja tudni az általam leírtak alapján.

Megoldottam a feladatot. Nekem is 3\(\displaystyle \sqrt{5}\) jött ki.

A levezetést legkésőbb holnap estig fölteszem

ide, az "ujjgyakorlatok"-hoz.

A hosszú sorokra több, egyéb "eszköz" is létezik,

az egyik: görgessünk a lap alján lévő csúszkával, nyíllal.

Tehát: nem kell átmenni másik témára.

PAL, renden. /Másik témához is lehetne írni. Nem azt írtam, hogy más témát írjál. Maradnál témádnál, csak másik oldalon. Ha nézzük Fórumot, akkor ezeket Témák-nak nevezi. Alatta Moderátori közlemények./

Én nem problémázok ezen, 67 százalékos nézetben minden tökéletes és nem jön elő a probléma, de köszönöm. Egyelőre maradok a témánál, mert ide adós vagyok pár bizonyítással, és még vannak új eredményeim is, szóval hamarosan jövök. :-)

PAL, írtam egy hozzászólást, és megváltozott több minden. Próbálj másik témához írni. /Ha maradsz itt, akkor a hozzászólások számának változtatásával egy oldalon változnak a dolgok. 10-ről akár 25-re is lehet változtatni vagy fordítva./

PAL, de szerintem a 3-as oldalon már rövid sorod van. Én arra a következtetésre jutottam, hogyha írni szeretnél, és nem akarsz hosszú sort, akkor ne az ujjgyakorlatokhoz írd, hanem keress másik témát itt a KöMaL-oldalon.

Igen, de például ha már egyet is visszalapozok a második oldalra... nos akkor minden hiába, mert hiába van [10 hozzászólás/oldal] és az [időben csökkenő] beállítás (Chrome-ban 100 százalékos nézetben) ugyanúgy kinyúlik... nálad nem?

Ps.: ráadásul a százalékjel (karakter) csak úgy, szövegként nem helyezhető el, vagy legalábbis onnantól kezdve, ahol szerepel az előnézet nem jelenít meg semmit!

És mit tapasztalsz ennél az oldalnál, ha a [950]-ben leírtakat követed?

Érdekes. Az enyém is hosszú lett itt most. Az előbb írtam egy másik helyre (Lejárt feladatok), az nem lett hosszú.

Szia, PAL! Másik eszközről való bejelentkezés? Másik böngésző? Mostani böngésző törlése és újbóli feltelepítése? Mivel lehetne még próbálkozni?

Próbáld meg ezeket:

10 hozzászólás/oldal,

„időben csökkenő”,

ezekre OK.

Visszaállt a normál lapszélesség?

Na, ez most még rosszabb lett, mint vót! :D

A kritika teljesen jogos a soraim hosszát illetően, magam is találkoztam vele, hogy kellemetlenül kilógnak a szövegek, amiket ide írok, és ez tényleg zavaró (én ezt eddig azzal védtem ki nagyjából, hogy távolabbira vettem a nézetet Chrome-ban, hogy beférjen egybe!),
de egyébként tényleg nem használtam eddig semmilyen hullámvonal-karaktert szándékosan, sőt mindig megnéztem az előnézetben a beküldött szövegeimet
(ennek ellenére jó sok utólagos hibát veszek észre, vesszők lemaradnak, betűket elírok, néha a matematikai résznél is vannak elírások, melyeket csak későbbi visszaolvasásnál fedezek fel, de ugye itt a fórumon tudtommal nem lehet javítani, ami bent van, az bent marad... amúgy igaz ez, márhogy nincs utólagos javításra lehetőség?),
Szóval a témára visszatérve az előzetes nézetben tördeltnek, több sorosnak látom, amiket írok, aztán persze beküldés után ezek nem úgy jelenik meg a képernyőn, magamtól viszont sajnos valahogy tényleg nem éreztem rá eddig, hova illene sortörés a mondandóimba, ezt elismerem...
Mindenesetre utána néztem most Texbe, hogy is kéne, így elvileg tudom, hogy a dupla backslash-t kell használni, de tényleg nekem kéne egyenként a sortörést elvégeznem, ráérzésre?

(Az eddigiekért pedig elnézést majd kitanulom ezt, de 2006-ban nem voltam fórumtag, én kb- 2009-be érkeztem ide! :)

azokon a browsereken, amik ezt a szabályt

figyelembe veszik, a soraid túl hosszúak,

és az egész oldal túl széles lesz.

A Moderátor 2006-ban ezt írta az egyik fórumos társunknak:

”Légy szíves, ne használd a ~ karaktert a szóköz helyett. A ~ a nem tördelhető szóközt jelenti; azokon a browsereken, amik ezt a szabályt figyelembe veszik, a soraid túl hosszúak, és az egész oldal túl széles lesz.

Köszi”

Nem... kellene? ;)

Szoktad a ~ karaktert használni?

Egyébként az is érdekelne, hogy hogyan lehetséges az, hogyha precíz formalitással, radiánban írjuk be ezt a kifejezést Wolframba , akkor azért "ráérez" a pontos eredmény értékére (kis idő után), azonban bizonyítást nem tudok kiolvasni belőle, ilyenkor nem világos számomra hogy vajon mi történhet a háttérbe, honnan ismeri fel a pontos (négyzetgyökös) alakot (pl. elég sok tizedesjegyről "jön rá/megsejti majd ellenőrzi" - vagy feltételezhető, hogy felsőbb matematikával bizonyítani is tudja, de azt csak mondjuk a pro verzióval tudnám megnézni)? Erről tud valaki valamit? Érdekelne a működésének ez a része!

Még mindig a már említett formulához vezető utamon született ez az eredmény is, talán érdekes lehet így új feladatként tűzöm itt ki (azért nem küldöm be sehova, mert személyes véleményem, hogy nem szeretem az időre menő matematika feladat megoldást, hiszen ha az sikeres, az úgyis időtlen marad! No meg ezt itt mindenki láthatja, szerencsére! :P ), viszont kitűztem facebook csoportba ( a Matematika mindenkinek ill. Versenymatek (nehezebb matekos feladatok csoportokban), és lehet megyek vele egy kört az artofproblemsolving-on, de egyelőre azokon még nem jött megoldás, így aki itt megcsinálja, biztosan első lesz, és szerintem az is dicsőség! :-) Mutassok meg, hogy igaz ez az állításom is:

Sajnos most egészségügyi okok miatt kisebb-nagyobb időre félre kell tegyem a vizsgálódásom, de megadok egy figyelemre méltó összefüggést, amely nyilván általánosítható kisebb kitevőkre (sőt szummás alakra is felírható!), aki izgalmasnak találja, bátran küzdjön vele, szerintem megéri ;) Wolfi-kód itt ;-).

Nagyon nagy köszönet Róbert Gida, hogy foglalkoztál vele, sok dolog volna még itt nekem is, megjegyzem, ehhez kapcsolódóan, de majd összeszedem (magam) valamikor, és azokat is mindenképp ideteszem. Próbálnék én itt általánosítani, de ez minden, csak nem könnyű (nekem), azért majd igyekszem, mert már ez a képlet is szerintem ránézésre megérte a belefektetett (nem kevés!) időm. És természetesen a saját (nem túl szép és elegáns) bizonyítási "utamat" is iderakom, csak jussak végre már el odáig.

(ui.: én meg most vettem észre, mennyi álnéven voltam itt már jelen!! :D , hú ha nem kallódnának el azok a jelszavak az emlékezetemben, de jó is volna... ha jól látom lejjebb, pár éve még Glomgold-ként írogattam ide... :) hiába, no, szeretjük a mesefigurákat... :D)