Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[135] Csimby2004-04-11 22:16:40

42.feladat Bizonyítsuk be, hogy minden húrnégyszög szétvágható n db. húrnégyszögre, ha n\ge4 poz. egész.

[134] Csimby2004-04-11 22:10:02

41. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha a,b,c egy háromszög oldalai, akkor:

a2(-a+b+c)+b2(a-b+c)+c2(a+b-c)\le3abc

[133] Suhanc2004-04-10 23:11:06

Kedves László!

Bevallom őszintén, összetörtél bennem egy elképzelést erről feladatról...:)

Nem gondoltam, hogy ilyen elegáns alakban is megkaphatjuk a megoldást, és sok apró lépegetés során hoztam ki egy olyan alakot,amiben már csak a három oldal négyzete szerepel... erre gondoltam, amikor "csavargatásról" írtam...

Hát ez van! ;))

De mindenképp tanulságos volt nekem, köszönöm a megoldást!

[132] lorantfy2004-03-23 10:47:25

40. feladat megoldása: Hát egyenlő oldalú nem lehet a \Delta mert akkor a nevező 0 lenne. Egyenlő szárú is csak úgy, ha b az egyik szár. Kicsit átalakítva:

(a2-c2-b2)(a+c)2=0

Így aztán derékszögű lesz a \Delta, az átfogója: a.

Előzmény: [131] Suhanc, 2004-03-20 15:48:51
[131] Suhanc2004-03-20 15:48:51

Kedves Veresh!

Köszönöm a megoldást!:) Az esetszétválasztás szerintem nem szükséges, elég azt mondani, hogy "végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, és csak véges sok maradék osztály..." de a Te megoldásod ezt sokkal elegánsabban tálalja.

Egy matematika tesztverseny 10. osztályos feladatsorának feladata volt az alábbi feladat. Nem bonyolult, mégis szép, ahogy csavargatod, hogy kijöjjön a kívánt eredmény...:)

40.Feladat: Egy háromszög a, b, c oldalaira teljesül, hogy \frac {3b^2(a-c)^2+12ab^2c}{a^4+2a^3c-c^4-2ac^3}=3 Mit mondhatunk el ekkor a háromszögről?

Előzmény: [130] veresh, 2004-03-15 23:13:30
[130] veresh2004-03-15 23:13:30

39. feladat megoldása

Legyen n=123456789. Tekintsük a következő sorozatot:

a1=1,    a2=11,    a3=111,    ...,    an=1...1

(1) Ha

\existsi\in{1,...,n}:    n|ai,

akkor készen vagyunk.

(2) Ellenkező esetben (legfeljebb) n-1 maradékosztály van. És mivel a sorozat n tagú, ezért a skatulya-elv szerint van a sorozatnak két olyan tagja, amely ugyanabba a maradékosztályba tartozik; formálisan:

\existsi>j:    ai\equivaj(mod n)    <==>    n|(ai-aj)

De

ai-aj  =  1...10...0  =  1...1.10j

(ahol i-j db. 1-es és j db. 0 számjegy van). És mivel

\forallj\inN:    (n,10j)  =  (32.3607.3803,10j)  =  1

Ezért n|1...1 (i-j db. 1-es). Azaz

\existsk\inN:    n.k=1...1

Előzmény: [129] Suhanc, 2004-03-15 20:17:43
[129] Suhanc2004-03-15 20:17:43

Kedves László!

Köszöm szépen! Még pár év fórum, és megismerem az egész klaviatúrát...:)

Ez a feladat szerintem nagyon tanulságos, és szép:

39.Feladat. Igazoljuk, hogy 123456789-nek van olyan pozitív egész többszöröse, amelyben csupa 1-es szerepel!

Előzmény: [128] lorantfy, 2004-03-15 12:28:59
[128] lorantfy2004-03-15 12:28:59

Kedves Suhanc!

Kösz a megoldást! Sokszor jól alkalmazható trükk prímszámos feladatokban, hogy a 3-nál nagyobb prímszámok p=6k\pm1 esetleg p=12n\pm1 vagy p=12n\pm5 alakban írhatók!

Az oszhatóság jelet simán be lehet gépelni: AltGr+w kombinációval.

Előzmény: [127] Suhanc, 2004-03-15 08:19:13
[127] Suhanc2004-03-15 08:19:13

Megoldást írok László 38. feladatára:

Mivel p>3, és prím, ezért nem osztható 3-mal. Négyzetszámok 3-as mardéka 0 vagy 1 lehet, ez esetben tehát csak 1. Tehát p2-1 osztható 3-mal. Mivel p>3vés prím, ezért páratlan. Páratlan négyzetszámok 8-as maradéka 1. Tehát p2-1 osztható nyolccal is. Mivel 8 és 3 relatív prímek, ezért p2-1 osztható 24-gyel.

Lenne egy prózaibb kérdésem: László, az oszthatóságjelet hogyan "gyártottad"? :)

Előzmény: [126] lorantfy, 2004-03-15 00:30:19
[126] lorantfy2004-03-15 00:30:19

38. feladat: Bbh. ha p>3 prímszám, akkor 24 | p2-1 -nek!

[125] lorantfy2004-03-11 22:21:42

Kedves Attila!

Kösz a megoldást! Nehezítsük egy kicsit a feladatot:

37.b feladat: Mit mondhatunk az osztási arányokról, ha ABC egyenlő szárú háromszög és csúcsszöge \alpha ?

Előzmény: [124] jenei.attila, 2004-03-11 15:02:18
[124] jenei.attila2004-03-11 15:02:18

Még egyszerűbben: BD párhuzamos AC-vel, és fele akkora, ezért BF is fele akkora, mint FC.

[123] jenei.attila2004-03-11 14:57:35

Vektorokkal megoldva a feladatot, legyen AB=a, AC=b (A-ból B-be mutató vektorról vab szó, csak nem tudok felső nyilat írni). A BC oldal felezőpontja legyen H. Ekkor HD vektor=a/2, és AD vektor=a+b/2. Innen már látszik, hogy az AE és AD szakaszok a BC oldalt harmadolják. AF= 2/3*a+1/3*b.

Előzmény: [122] lorantfy, 2004-03-11 01:29:10
[122] lorantfy2004-03-11 01:29:10

37. feladat

ABC egyenlő oldalú \Delta BC oldala fölé félkört rajzolunk és ezt D, E pontokkal három egyenlő részre osztjuk. Milyen arányban osztja AD és AE egyenes a BC oldalt ?

[121] Hajba Károly2004-03-02 20:43:48

Kedves Csimby!

Az "átlós kérdés"-nél arra gondoltam, hogy ha egy pont mindkét koordinátája végtelen, elvileg addig már végtelen sok piros vagy kék pontnak kellene lennie, így csorbul a véges feltétel.

A b. feladatrésznél is hasonló lehet a megoldás, csak itt a pontok gyakorlatilag a végtelenségig besűríthetők. Így nem biztos, hogy létezik megoldás.

(Az óvatosságom oka, hogy a végtelennel való műveletekben nem vagyok otthon, nincs kellő gyakorlatom ezzel kapcsolatban.)

HK

Előzmény: [120] Csimby, 2004-03-02 20:23:14
[120] Csimby2004-03-02 20:23:14

Kedves Onogur!

A megoldásod jó, én is ezt ismertem, bár biztosan(?) van még. A 4 darab átlós irányra vonatkozó kérdésedet nem teljesen értem (a 45°-os egyenesekre gondolsz? és mi a kérdés/feladat?). A b. feladatről mit gondolsz?

[119] Hajba Károly2004-03-02 13:07:29

Kedves Csimby!

Én a megoldást az alábbi ábra szerint tudom elképzelni. Véges mértékben lehet X-Y irányban tili-tolizni, ill. a színhatár pontjai (mely most kék) akár véletlenszerűen is szinezhetők. (Habár a 4 db átlós irányú végtelenek helyén nem tudom mi a megoldás? :o)

HK

Előzmény: [118] Csimby, 2004-03-01 00:04:18
[118] Csimby2004-03-01 00:04:18

36.feladat Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak véges sok piros rácspont legyen.

a: Rácspontnak a sík olyan pontjait nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám.

b: Rácspontnak a sík olyan pontjait nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája racionális szám.

[117] Máté22004-02-24 17:39:17

35. feladat Legyen a H={1, 2, 3, ..., 2000, 2001 } halmaz 77 elemű részhalmazai közül azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páros, S-sel egyenlő, és azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páratlan, N-nel egyenlő. Melyik nagyobb: S vagy N? És mennyivel?

[116] zzz2004-02-24 12:31:49

33. megoldása

Tudjuk, hogy f(0)=2. Tegyük fel, hogy f(x) periodikus. Ekkor van olyan x0\ne0, hogy f(x0)=2 .

Ez azt jelenti, hogy cos (x0)=1 és \cos(x_0\sqrt{(n^2+1)})=1,

azaz vannak olyan k1, k2 nem nulla egészek, hogy x0=2k1\pi és x_0\sqrt{(n^2+1)}=2k_2\pi.

Innen nyerjük, hogy \sqrt{(n^2+1)}=\frac{k_2}{k_1}.

Ez ellentmondás, hisz tudjuk (könnyen igazolható), hogy \sqrt{(n^2+1)} irracionális.

Előzmény: [113] Máté2, 2004-02-23 09:23:06
[115] Csimby2004-02-23 23:09:01

34. feladat megoldása: A négyjegyű számunk 9-cel osztva adjon k maradékot, ekkor a számjegyeinek az összege is k maradékot ad 9-cel osztva a 9-cel való oszthatóság miatt (10,100,1000... 1 maradékot ad 9-cel osztva -> egy szám annyi maradékot ad 9-cel osztva mint amennyit a számjegyeinek az összege). Tehát ha a 4-jegyű számunkból kivonjuk a számjegyeinek az összegét, akkor egy 9-cel osztható számot kapunk. 2+3+4+5+6=20, ez 9-cel osztva 2 maradékot ad, -> a 2-est írtuk hozzá a számhoz.

[114] lorantfy2004-02-23 21:56:48

Kedves Fórumosok!

Legyen Máté2 [112]-ben leírt feladata a 33. feladat és ezután:

34. feladat: Egy négyjegyű számból elvettem számjegyei összegét, hozzáírtam egy számjegyet, majd sorbarendeztem a számjegyeket és így a 23456 számot kaptam.

Melyik számjegyet írtam hozzá?

[113] Máté22004-02-23 09:23:06

Le hagytam a végéről hogy: függvény periódikus.

Előzmény: [112] Máté2, 2004-02-23 09:21:11
[112] Máté22004-02-23 09:21:11

Köszönöm a megoldást. Lenne még egy feladatom Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan n pozitív egész, amelyre a valós számok halmazán értelmezett f(x)= cosx + cos (x*négyzetgyök alatt: (n2 +1))

Előzmény: [111] lorybetti, 2004-02-22 23:23:42
[111] lorybetti2004-02-22 23:23:42

Kedves Máté2 és Fórumosok!

Már több feladat is volt mostanában a Kömal pontversenyben a \Delta hozzáírt köreivel kapcsolatban, így ez a feladat a jól megismert összefüggések használatával megoldható:

r_a=\frac{T_\Delta}{(s-a)} ,\quad r_b=\frac{T_\Delta}{(s-b)}

 T_\Delta=r_a \cdot r_b= \frac{T_\Delta^2}{(s-a)(s-b)}

 T_\Delta=(s-a)(s-b)=\frac{c^2-(b-a)^2}{4}=

a cos-tételt és a \Delta területképletet alkalmazva:

=\frac{a^2+b^2-2ab\cos\gamma-b^2+2ab-a^2}{4}=\frac{ab\sin\gamma}{2}

leosztva 2ab-vel:

sin \gamma+cos \gamma=1

mivel \gamma egy \Delta szöge, ezért: \gamma=90o

(érdemes volt a Tex-el dolgozni, így, hogy már a végeredményt is láttam)

Előzmény: [110] Máté2, 2004-02-22 21:59:03

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]