Fórum: "ujjgyakorlatok"

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[39] lorantfy	2003-12-07 11:52:46
Egy felülnézeti kép:

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05

[38] lorantfy	2003-12-07 11:49:21
Kedves Károly és Fórumosok! Térbeli szemléltetés a 9. feladathoz.

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05

[37] Suhanc

2003-12-07 09:04:52

László 7b)feladatára a négyzetek:

2(x+1)²+2(z+1)²+(x+y+z)²+3(z+y/2)²+5(x+y/2)²=0

Ez csak akkor teljesülhet, ha minden tag 0. Ebből x=z=-1 így y=2 nek kell lennie, ami valóban jó megoldás.

[36] Kós Géza 2003-12-06 09:48:31

Kedves Suhanc,

$\ge$ = \ge, $\le$ = \le.

A képleteket egészben érdemes dollárjelek közé tenni, pl. $a^+2ab+b^2$ és nem $a^2$+2ab+$b^2$. A képleteken belül kicsit más a betűtípusok kezelése, a betűk alapértelmezésben dőltek, és a szóközök automatikusan kimaradnak.

Előzmény: [35] Suhanc, 2003-12-06 09:21:16

[35] Suhanc

2003-12-06 09:21:16

László 9a) feladatára van egy másfajta megoldásom:

Egy tétel kimodja, hogy a derékszögű háromszögben a befogók összege nem nagyobb az átfogó $\sqrt2$ szeresénél. Ezt az alábbi módon, indirekten bizonyíthatjuk:

TFH: a+b > $\sqrt2$ *c

Ekkor: a²+2ab+b² >2c²

Vagyis: a²+2ab+ b² > 2a²+2b²

Tehát: 0> a²-2ab+b²

0> (a-b)² Ez ellentmondás, tehát eredeti állításunk igaz volt. Vagyis, mivel meg van adva az átfogó, így a kerület legfeljebb ennek 1+ $\sqrt2$ szerese lehet, abban az esetben, ha a háromszög egyenlő szárú, így a-b=0.

(kérdés: a TeX-ben hol találom a >= jelet szépen?)

[34] Hajba Károly

2003-12-06 01:24:37

Megoldás László 9.b feladatára:

Legyen a kúp alapjának sugara egységnyi, magassága m. Legyen továbbá a henger sugara 0<x<1.

V_henger=x² $\pi$ m(1-x)= $\pi$ m(x²-x³)

V_henger^'= $\pi$ m(2x-3x²)=0

$x=\frac23$

$\frac{V_{henger}}{V_{ku'p}}=\frac{\pi m \bigg[\Big(\frac23\Big)^2-\Big(\frac23\Big)^3\bigg]}{\frac{\pi m}{3}} = \frac49$

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18

[33] Hajba Károly

2003-12-06 00:51:50

Megoldás László 9.a feladatára:

A háromszög kerülete:

K=1+sin $\alpha$ +cos $\alpha$

K'=cos $\alpha$ -sin $\alpha$ =0

cos $\alpha$ =sin $\alpha$

$\alpha$ =45°

Tehát, ami szemrevételezéssel is nyilvánvaló, az egyenlŐ szárú háromszögnek a legnagyobb a kerülete az egységnyi átfogójú derékszögű háromszögek közül.

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18

[32] Hajba Károly

2003-12-05 23:40:05

10. feladat:

Mekkora az alábbi egységnyi oldalú négyzetbe egységnyi sugarú körívekkel szerkesztett sraffozott terület nagysága?

[31] Hajba Károly

2003-12-05 23:29:05

9. feladat:

Adott 4 darab egységsugarú tömör golyónk, mely mindegyik mindegyikkel érintkezik. Mekkora az a tömör 5. golyó, mely mind a 4 darab golyót érinti?

Hajba Károly

[30] lorantfy

2003-12-05 23:24:18

9.feladat:

a.) Adott átfogojú derékszögű háromszögek közül melyik kerülete a legnagyobb?

b.) Mekkora az adott kúpba irható hengerek térfogatának maximuma?

[29] lorantfy	2003-12-05 23:14:06
Elnézést! Az előbbi hozzászólás rossz témába tettem!

[28] lorantfy

2003-12-05 23:07:00

Kedves Péter, Károly és Fórumosok!

Azt hiszem a feladat szövegéből (az 5-ből 3 sapkásról van szó!) nem derült ki, hogy a börtönigazgató véletlenszerűen választ-e a sapkák közül, vagy a 7 féle minta valamelyike szerint rak fel 3-at a fejekre. (Hajlok rá, hogy ha nagy sorozatban játszaná ezt a játékot Péternek lenne igaza, hacsak nincs egy kis naptárja, amibe be van jegyezve aznap melyik mintát teszi fel a 7 közül.)

Így azt hiszem Károlynak megadhatjuk a megoldási útmutató szerinti, maximális 3-3 pontot. Péter pedig dícséretet kap "értékes megjegyzéséért"! :-)

Legközelebb beleírom az igazgató monológjába: "Most becsukott szemmel választok 3 sapkát az 5 közül, és véletlenszerűen teszem fel a fejetekre." - ,hogy pontos legyen a szöveg. (Így meg túl tudálékos lesz.)

Namost aki csak utólag olvassa a megoldást, azért érdemes átgondolni a poént. Akinek látszólag legkevesebb információja van a sapkákról - az 1. rab - annak legvalószinűbb a szabadulása. Tehát ebben az esetben, ha nincs információ (nem szólnak a hátam mögötti rabok) az is információ.

Előzmény: [24] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:29:34

[27] nadorp	2003-12-05 09:12:44
Bocs, egyenlőség x=-1 esetén van
Előzmény: [26] nadorp, 2003-12-05 09:11:23

[26] nadorp

2003-12-05 09:11:23

Kedves Péter!

Megoldás a 8. feladatra (remélem nem számoltam el)

f(x)=x²ⁿ(x+1)²+2x^2n-2(x+1)²+3x^2n-4(x+1)²+...+n(x+1)²+n+1=(x+1)²g(x)+n+1

Mivel g(x)>0, ezért f(x)>=n+1, egyenlőség n=-1 esetén van

Előzmény: [23] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:24:55

[25] lorantfy

2003-12-04 22:36:37

Kedves Suhanc!

Kösz a megoldást! Ez neked tényleg csak ujjgyakorlat volt.

7.b feladat: Mely egész x,y,z számokra teljesül:

8x²+3y²+6z²+7xy+5yz+x(4+z)+z(4+x)+4=0

Kis nehezítés – Próbálkozzon más is!

(Egy OKTV feladat alapján)

Előzmény: [22] Suhanc, 2003-12-04 21:40:43

[24] Pach Péter Pál

2003-12-04 22:29:34

Igazad van, így tényleg egyszerűbb. :-) De lehet, hogy ha a kilencedikesek a szögfüggvényeket sem ismerik, akkor még a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel sem volt dolguk. :-)

Persze át lehet írni olyan formára, ahol csak azt használjuk, hogy 0 $\le$ x², de így a CSB-egyenlőtlenségnek éppen azt a tulajdonságát veszítjük el, ami alapján könnyen észre lehet venni a megoldást.

Maga a megoldás természetesen gyors és korrekt. :-)

Előzmény: [19] Kós Géza, 2003-12-04 14:11:14

[23] Pach Péter Pál

2003-12-04 22:24:55

Kedves László!

A körülírás alapján azt hittem, hogy az 1993./3. feladatról van szó.

8. feladat

Legyen n adott pozitív egész szám. Határozzuk meg a valós számokon értelmezett

f(x)=x²ⁿ+2x^2n-1+3x^2n-2+…+(2n+1-k)x^k+…+2nx+2n+1

polinom minimumát.

Előzmény: [20] lorantfy, 2003-12-04 15:45:19

[22] Suhanc

2003-12-04 21:40:43

A teljes négyzetek:

(a-b/2)²+(c-1)²+3/4*(b-2)²<=0

Nyilván c=1, b=2 a=1

[21] lorantfy

2003-12-04 20:15:31

7. feladat:

Mely egész a, b, c, számokra igaz:

a²+b²+c²+4 $\leq$ ab+3b+2c

(1965. évi Kürschák példa alapján)

[20] lorantfy

2003-12-04 15:45:19

Az 5. feladatnál: Ha valaki persze nem akar nagyon trükközni, emelje csak négyzetre mindkét oldalt (ha a bal oldal negatív az egyenlőtlenség úgyis igaz) és alakítsa teljes négyzetté:

9x²+24xy+16y² $\leq$ 25x²+25y²

0 $\leq$ 16x²-24xy+9y²

0 $\leq$ (4x-3y)²

Láttam én már olyan Kürschák feladatot, ahol a megoldáshoz semmi más nem kellett csak ügyesen teljes négyzetekké alakítani.(Előkeresem!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32

[19] Kós Géza

2003-12-04 14:11:14

Lényegében ugyanaz, de talán kicsit egyszerűbb megtalálni a megoldást Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel:

$\big(3x+4\sqrt{1-x^2}\big)^2\le\big(3^2+4^2)\bigg(x^2+\sqrt{1-x^2}^2\bigg)=25.$

Egyenlőség akkor áll, ha $x:\sqrt{1-x^2}=3:4$ .

Azzal maximálisan egyetértek, hogy az ilyen trükköket hasznos megtanulni és begyakorolni.

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48

[18] lorantfy

2003-12-04 14:09:36

Kedves Nádor P.!

Nagyon gyors voltál és persze nagyon ügyes!

Most aztán megoldásod alapján rögtön általánosíthatjuk is a feladatot:

6.feladat:

Legyenek a,b,c egy derékszögű háromszög oldalai.

Bbh. $\frac{ax+by}{c}\leq \sqrt{x^2+y^2}$ .

(Más módszerrel oldjuk meg!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32

[17] nadorp

2003-12-04 13:36:32

Megoldás az 5. feladatra.

Legyenek p és q pozitív egész számok, melyek értékét majd később adjuk meg. Ekkor a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés miatt

$\frac{\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y}{p+q}=\frac{p\cdot\frac{3x}{5p}+q\cdot\frac{4y}{5q}}{p+q}<=\sqrt{\frac{p\cdot\frac{9x^2}{25p^2}+q\cdot\frac{16y^2}{25q^2}}{p+q}}$

Ebből

$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y<=\sqrt{\frac{p+q}{p}\cdot\frac{9}{25}x^2+\frac{p+q}{q}\cdot\frac{16}{25}y^2}$

Látszik, hogy a p=9 q=16 választással épp a kívánt egynelőtlenséget kapjuk.

Előzmény: [15] lorantfy, 2003-12-04 13:01:55

[16] Hajba Károly	2003-12-04 13:25:06
Kedves László! Én a geometria oldaláról közelítve találtam egy "csűrcsavarta" megoldást. A maximumhely X koordinátájának keresésekor nem számít, ha az egész függvényt elosztom 4-gyel. Így egy origón átmenő, 0,75 meredekségű egyenes és origó központú egység sugarú kör összegét kapjuk. Torzítsuk el képzeletben a körív minden pontját úgy, hogy az egyenes és X tengely közötti távolsággal távolítsuk az X tengelytől el. Ez a függvény képe és egyben egy ellipszis is. Szerkesszük meg a kőr és a hozzá tartozó ellipszis pontokhoz illesztett, összetartozó érintőket. Ezen érintők az Y tengelyen metszik egymást, mivel ott az eltolás 0. Az ellipszis maximumhelyéhez tartozó érintő párhuzamos az X tengellyel. Könnyen belátható, hogy e két érintő által bezárt szög $\alpha$ , így a kör ezen érintőpontját az eredeti egyenes y=x tengelyre történő tükrözött egyenessel képzett metszéspont adja. Ezt visszatéve a függvényekre, a megoldást a kör és az egyenes inverzének metszéspontja adja. $\root\of{1-x^2} = \frac43x$ Ennek eredménye éppen $X=\frac35$ HK

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14

[15] lorantfy

2003-12-04 13:01:55

Na ez már igen!

Kedves Péter!

Köszönöm a megoldást!

Érdemes a "közepek" közötti összefüggéseket jól begyakorolni, mert versenyfeladatoknál és néha-néha még KÖMAL feladatokban is nagy hasznát vehetjük!

Akkor próbálkozzatok ezzel:

5.feladat Bbh. $\frac{3x+4y}{5}\leq \sqrt{x^2+y^2}$

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?