Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[736] Róbert Gida2012-05-22 20:36:16

Legyen n=2;a1=1;a2=2, ekkor a két oldal egyenlő, de az ai-k nem egyenlőek.

Előzmény: [735] Csimby, 2012-05-22 20:27:55
[735] Csimby2012-05-22 20:27:55

Utolsó próbálkozás: Legyen n\geq2, ai-k mint előbb, ekkor:

\sum_{i=1}^n \frac{a_1a_2\dots a_n}{na_i}\leq \left(\prod_{1\leq i < j \leq n}\frac{a_i+a_j}{2}\right)^{2/n},

egyenlőség acsa ha ai-k egyenlőek.

Előzmény: [733] Csimby, 2012-05-22 18:43:47
[734] Róbert Gida2012-05-22 19:40:14

Ez pedig n=3;a1=a2=a3=2-re nem teljesül.

Előzmény: [733] Csimby, 2012-05-22 18:43:47
[733] Csimby2012-05-22 18:43:47

Na szóval, legyenek a1,a2...,an poz. valósak, továbbá n\geq3 Biz.be:

\sum_{i=1}^n \frac{a_1a_2\dots a_n}{na_i}\leq
\left( \prod_{1\leq i < j \leq n} \frac{a_i+a_j}{2}\right)^{2/(n^2-n)},

egyenlőség pontosan akkor ha a1=...=an.

Előzmény: [730] Csimby, 2012-05-22 18:12:38
[732] Csimby2012-05-22 18:33:21

Bocs, a bal oldalt szumma van!!

Előzmény: [731] Róbert Gida, 2012-05-22 18:23:32
[731] Róbert Gida2012-05-22 18:23:32

n=2;a1=a2=8-re nem teljesül az egyenlőtlenség.

Előzmény: [730] Csimby, 2012-05-22 18:12:38
[730] Csimby2012-05-22 18:12:38

Legyenek a1,a2,...,an pozitív valós számok. Biz. be:

\prod_{i=1}^n \frac{a_1a_2\dots a_n}{na_i}\leq
\left(\prod_{1\leq i < j \leq n} \frac{a_i+a_j}{2}\right)^{2/(n^2-n)}

Egyenlőség pontosan akkor ha a1=a2=...=an.

[729] sakkmath2012-05-19 16:10:25

Az utoljára felvetett kérdésben csak idáig jutottam:

cot (1°).cot (2°).cot (3°).....cot (43°).cot (44°)=tan (46°).tan (47°).tan (48°).....tan (87°).tan (89°)

Ha valaki megkapta volna a szorzat számértékét, kérem, ne tartsa titokban :-)

Előzmény: [727] juantheron, 2012-05-18 17:02:03
[728] sakkmath2012-05-19 00:25:39

This nostalgia for me:

About 30 years ago, I proposed to publish these two problems. (Not published them ...)

Előzmény: [724] sakkmath, 2012-05-18 15:35:51
[727] juantheron2012-05-18 17:02:03

Thanks Sakkmath i have got my solution after seeing your Answer

bcz I have solve a simillar Problem Yesterday where I have calculate value of sin (10).sin (20).sin (30)......sin (890)

Now I have another doubt in my min

can we calculate the value of

cot (10).cot (20).cot (30)........cot (440)=

[726] juantheron2012-05-18 16:58:09

Let A=cos (10).cos (20).cos (30).........cos (890)

Now using cos (90-a)=sin (a)

So A=sin (10).sin (20).sin (30).........sin (890)

and Let B=sin (20).sin (40).sin (60).........sin (880)

Now AB=(sin (10).sin (890)).(sin (20).sin (880)).........(sin (440).sin (460)).sin (450)

So AB=(sin (10).cos (10)).(sin (20).cos (20)).........(sin (440).cos (440)).sin (450)

So 2^{44}AB=\sin (2^0).\sin(4^0)........\sin(88^0).\frac{1}{\sqrt{2}}

So 2^{44}AB = \frac{1}{\sqrt{2}}B

So A=\frac{1}{\sqrt{2}.2^{44}}=\frac{\sqrt{2}}{2^{45}}

bcz B\neq0

[725] juantheron2012-05-18 16:57:24

Thanks sakkmath after seeing your answer I have got a method

bcz i have solve a simillar problem Yesterday where i have

calculate the value of

sin (10).sin (20).sin (30).........sin (890)

My solution::

Let A=cos (10).cos (20).cos (30).........cos (890)

Now using cos (90-a)=sin (a)

So A=sin (10).sin (20).sin (30).........sin (890)

and Let B=sin (20).sin (40).sin (60).........sin (880)

Now AB=(sin (10).sin (890)).(sin (20).sin (880)).........(sin (440).sin (460)).sin (450)

So AB=(sin (10).cos (10)).(sin (20).cos (20)).........(sin (440).cos (440)).sin (450)

So 2^{44}AB=\sin (2^0).\sin(4^0)........\sin(88^0).\frac{1}{\sqrt{2}}

So 2^{44}AB = \frac{1}{\sqrt{2}}B

So A=\frac{1}{\sqrt{2}.2^{44}}=\frac{\sqrt{2}}{2^{45}}

bcz B\neq0

[724] sakkmath2012-05-18 15:35:51

The solution:

\frac{\sqrt2}{2^{45}}

For details, let me quote a little later.

Előzmény: [723] juantheron, 2012-05-18 07:06:44
[723] juantheron2012-05-18 07:06:44

Thanks friends got it.

New task::

Numerical value of cos (10).cos (30).cos (50).......cos (890)=

where all angle are in Degree

[722] m2mm2012-05-17 21:16:33

We may assume that x\ley. Then (y+2)2=y2+4y+4>y2+3x>y2. So, if y2+3x is a square, it must be (y+1)2. Then y2+2y+1=y2+3x, so 2y+1=3x, which means that 2y\equiv-1 (mod 3), so y\equiv1 (mod 3). Hence, y=3k+1 for some positive integer k. Since 2y+1=3x, then 6k+3=3x, 2k+1=x.

As x2+3y is a square, then (2k+1)2+3(3k+1)=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 as well.

But (2k+2)2=4k2+8k+4\le4k2+13k+4<4k2+16k+16=(2k+4)2, so 4k2+13k+4=(2k+2)2=4k2+8k+4, or 4k2+13k+4=(2k+3)2.

If 4k2+13k+4=4k2+8k+4, then k=0, x=y=1 (and this pair is a soultion).

If 4k2+13k+4=(2k+3)2, then 4k2+13k+4=4k2+12k+9, so k=5. Then the solution is (11,16) or (16,11).

Előzmény: [717] juantheron, 2012-05-16 20:17:02
[721] logarlécész2012-05-17 20:25:55

Teljesen igaz. Hiába, a figyelmetlenség mindig játszik. :-)

Előzmény: [712] nadorp, 2012-05-16 14:16:10
[720] nadorp2012-05-17 14:18:36

"(x-y).(x+y-3)=(l+m).(l-m) means either x+y-3=l+m and x-y=l-m "

Incorrect. For example

3.8=6.4 but 8\neq6 and 3\neq4

Előzmény: [719] juantheron, 2012-05-17 08:49:02
[719] juantheron2012-05-17 08:49:02

Thanks Nadorp got it

task:: find positive Integer value of x and y for which x2+3y and y2+3x is an perfect square

My solution::

Let x2+3y=l2 and y2+3x=m2

Where l,m\inZ

Then (x2-y2)-3(x-y)=l2-m2

(x-y).(x+y-3)=(l+m).(l-m)

means either x+y-3=l+m and x-y=l-m

2x=3+2l or x=\frac{3+2l}{2}\notin Z

similarly y=\frac{3+2m}{2}\notin Z

but when i put rendomly put values like (1,1) and (11,16) and (16,11)

but how can i calculate it

Thanks

[718] nadorp2012-05-17 08:23:48

"But Not sure about k7 has no value for which satisfy the given equation"

Answer:

x2=4+[x]\leq4+x

x2-x-4\leq0

-\sqrt3<\frac{1-\sqrt{17}}2\leq x\leq\frac{1+\sqrt{17}}2<\sqrt7

Előzmény: [716] juantheron, 2012-05-16 19:46:00
[717] juantheron2012-05-16 20:17:02

Nwe task::

The number of ordered pairs of positive integers x,y such that x2+3y and y2+3x are both perfect squares

[716] juantheron2012-05-16 19:46:00

Yes Friends your answer is Right

I have solved like that way

x2=4+[x]

here R.H.S(right hand side) is an Integer that means L.H.S(Left hand side must be an Integer)

So x2\inZ

So Let x2=k, where k>0

So x=\pm \sqrt{k}

So our equation convert into k=4+[\pm \sqrt{k}]

Now after checking certain value of k like k=1,2,3,4,5,6

We Get only k=2 and k=6 satisfy the given equation

and after k\geq7, we get L.H.S # R.H.S

But Not sure about k\geq7 has no value for which satisfy the given equation

can anyone clear last line explanation

Thanks

[715] juantheron2012-05-16 19:35:38

Thanks Nadorp and Small Potato

for Integration I have solve it after yours work

I have solved it like in that way

\int \frac{1}{\sin^3 x+\cos^3 x}dx

\int\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{(\sin^3 x+\cos^3x)}dx

=\frac{1}{3}(\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin^2 x-\sin x.\cos x+\cos^2 x}+\int\frac{2}{\sin x+\cos x}dx

-\frac{2}{3}\int \frac{(\sin x+\cos x)}{1+(\cos x-\sin x)^2}dx+\frac{2}{3}\int\frac{1}{\sin x+\cos x}dx

Put (cos x-sin x)=tand (sin x+cos x)dx=-dt

and \sin x+\cos x=\sqrt{2}.\sin (x+\frac{\pi}{4})

after that we can calculate easily

[714] SmallPotato2012-05-16 14:21:38

Lekéstem :-)

Előzmény: [712] nadorp, 2012-05-16 14:16:10
[713] SmallPotato2012-05-16 14:21:13

Az [x] nem az x egész részét jelenti?

Ha azt, akkor a gyökök (grafikus alapú megoldással) x_1=-\sqrt{2} (ekkor 2=4+(-2)) és x_2=\sqrt{6} (ekkor 6=4+2).

Előzmény: [708] logarlécész, 2012-05-16 11:05:44
[712] nadorp2012-05-16 14:16:10

Szerintem tört részt néztél és nem egész részt. Két megoldás van \sqrt6 és -\sqrt2. A megoldáshoz csak annyi kell, hogy [x]\leqx és x2 egész.

Előzmény: [708] logarlécész, 2012-05-16 11:05:44

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]