Fórum: "ujjgyakorlatok"

Sajnos most egészségügyi okok miatt kisebb-nagyobb időre félre kell tegyem a vizsgálódásom, de megadok egy figyelemre méltó összefüggést, amely nyilván általánosítható kisebb kitevőkre (sőt szummás alakra is felírható!), aki izgalmasnak találja, bátran küzdjön vele, szerintem megéri ;) Wolfi-kód itt ;-).

Nagyon nagy köszönet Róbert Gida, hogy foglalkoztál vele, sok dolog volna még itt nekem is, megjegyzem, ehhez kapcsolódóan, de majd összeszedem (magam) valamikor, és azokat is mindenképp ideteszem. Próbálnék én itt általánosítani, de ez minden, csak nem könnyű (nekem), azért majd igyekszem, mert már ez a képlet is szerintem ránézésre megérte a belefektetett (nem kevés!) időm. És természetesen a saját (nem túl szép és elegáns) bizonyítási "utamat" is iderakom, csak jussak végre már el odáig.

(ui.: én meg most vettem észre, mennyi álnéven voltam itt már jelen!! :D , hú ha nem kallódnának el azok a jelszavak az emlékezetemben, de jó is volna... ha jól látom lejjebb, pár éve még Glomgold-ként írogattam ide... :) hiába, no, szeretjük a mesefigurákat... :D)

Nem vacakolva, komplex számokat használva, és a polinom számolásokhoz a pari-gp-t használva ez azért egy egzakt bizonyítás:
Ismert Euler képlet szerint:
\(\displaystyle exp(Ix)=cos(x)+Isin(x)\)
\(\displaystyle epx(-Ix)=cos(x)-Isin(x)\), amiből:
\(\displaystyle tan(x)=-I\frac{exp(Ix)-exp(-Ix)}{exp(Ix)+exp(-Ix)}=-I\bigg(1-\frac {2}{exp(2Ix)+1}\bigg)\) Legyen \(\displaystyle U=exp\bigg(\frac{4*I*\Pi}{180}\bigg)\), ekkor a formulád egyszerűen felírható: \(\displaystyle (-I)^{12}=1\) egyszerűsítéssel \(\displaystyle v\)-vel egyenlő, ahol

v=(1-2/(U+1))*prod(i=4,14,1-2/(U^prime(i)+1));
P=numerator(v);Q=denominator(v);
Mod(P-Q,polcyclo(90,U))
[próbáld ki itt, másold át az egészet a v=.. től: https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html ]

az eredmény: Mod(0, U^24 + U^21 - U^15 - U^12 - U^9 + U^3 + 1)

Azaz \(\displaystyle P-Q=0\), tehát \(\displaystyle v=\frac PQ=1\) ami kellett. Fent itt használtuk azt is, hogy \(\displaystyle U\) triviálisan egy primitív 90-edik egységgyök, tehát gyöke a megfelelő körosztási polinomnak, ami nálunk polcyclo(90,U), ami egyébként U^24 + U^21 - U^15 - U^12 - U^9 + U^3 + 1.

ps. most vettem észre, hogy \(\displaystyle P=Q=-U\) is igaz, érdekes, hogy ilyen alacsony fokú.

(Év)Zárásképpen leírom, hogy Sakkmath ötletfelvetését idén még kicsit tovább gondolva végül erre jutottam, ami - felsőbb matematikai tanulmányok hiányában számomra igen érdekes összefüggés, és amely - ahogy a legutóbbi hozzászólásomban is írtam, - összekapcsolja a még általam is tanult trigonometriát a számomra már kicsit ismeretlen, és mélyebb ismeretek nélkül igen homályos számelmélettel (de azért kezdem kapiskálni némi internetes nyomozás után, hogyan lehetne ezt szebben bebizonyítani, mert az út, amin idejutottam, szerintem kicsit faragatlan (de legalább komplex számokat és felsőbb matematikát nem használ :) ), ezért meg is kérdezem a fórumtagoktól, hátha látok sokkal ötletesebb és járhatóbb utat arra, hogyan lehet ezt a formulát ügyesen bebizonyítani, melyben p(n) az n-edik prímszámot jelöli?

... no és persze a dátumra tekintve kívánok ezúton is minden kedves fórumozónak Kellemes Karácsonyi Ünnepeket, és Sikerekben Gazdag Boldog Új Esztendőt!

Mivel azóta, mióta ide írtam, nem jött új hozzászólás a téma alatt (az enyim az utolsó), kicsit még erőltetem ezt. Sakkmath-tól megkérdezem, hogy ismert-e számára az az észrevétel, hogy a hivatkozott hozzászólásában leírt 2 feladata kapcsolatban áll valószínűleg egy mélyebb területtel, feltételezem a komplex számelmélet témaköréhez kapcsolható, amely sajnos számomra ismeretlen, felsőbb tanulmányok hiányában - viszont nagyon érdekelne (például ajánlható tankönyv/honlap, amiben ez a példa is megtalálható, szívesen utánaolvasnék). A lapon leírt feladata ugyanis szerintem kapcsolatban van a 45-nél kisebb prímszámok tangenseivel és a feladatában említett kettő hatványokkal. A választ előre is köszönöm.

Nekem is sikerült elrontanom.:) Természetesen mindenhol, ahol legutóbbi hsz-ban tan()-t írtam, ctg()-t kell érteni.

Bocsánat lehet, hogy én értettem félre. Nem véletlenül írtam, hogy nem a kérdésedre kerestem választ, hanem csak egy részeredményt számoltam ki. Csak a nevezetes szögeket szoroztam össze (azokat ahol 3 fok többszöröseinek tangenseit szorozzuk össze), míg lehet, hogy Te a teljes feladatod megoldására számítottál. [ Vagyis az alábbi részszorzatot vizsgáltam: \(\displaystyle tan (3 deg)tan(6 deg)tan(9 deg)… tan(39 deg)tan(42 deg) = tan(3\pi/180 rad)tan(2\cdotp3\pi/180 rad)…(3\cdotp13\pi/180 rad)tan(3\cdotp14\pi/180 rad) = tan(\pi/60)tan(2\cdotp\pi/60 rad)(3\cdotp\pi/60 rad)…tan(13\cdotp\pi/60 rad)tan(14\cdotp\pi/60 rad)]. \) Hozzászólásomban azt mutattam meg, hogy már a nevezetes szögek produktumából is mennyire érdekes és összetett feladat adódik, így – bár nem zárom ki, mégis – bizonytalannak véltem az annyira egyszerű felírás lehetőségének létezését.

Az előbb, a [931]-ben, sikerült elrontanom. Javítok: szerintem a WolframAlpha ezt a közelítő értéket adja a szorzatra.

Javítottam kicsit, ezt nézd meg, kérlek!

Egy részét nem tudta értelmezni, volt nálam is ez az érték, pillanat, és utána nézek.

Érdekes, nálam a szorzat értéke közelítőleg:

4,2476010824943749265068611568271227122719037x\(\displaystyle 10^{13}\). Hol a bökkenő? :)

Nagyon idevág egy újraértelmezett felírási mód a nevezetes szögekre vonatkozóan, akit érdekel, azzal ezt is megosztom, lényegében ezek is segíthetik a témában a kutatómunkát:

sin(20deg) és sin10(deg) megadása

Pontos szögfelírás új metodikája 1.

Pontos szögfelírás új metodikája 2.

A megadott értéknél véletlenül hányadost írtam, de itt a megígért szorzat is:

Szorzat

A konkrét választ sajnos nem találtam meg, de egy apró részeredmény alapján a kitartóbbak elindulhatnak megkeresni, de nem biztos, hogy várható szép eredmény. Ahol valós értékek vannak, ott a Wolfram kiszámolta a közelítést, amit irracionális szorzatként is fel tudtam írni némi kutató munka árán és természetesen a Wolfram segítségével. Íme.:

Közelítés

Pontosabb érték

Chloe-ról eddig nem volt szó, ő is pizzázni ment?

Azért írtam oda, hogy számít az egy oszlopon lévő korongok sorrendje, mert ha az első oszlopon egy piros korong van alul és azon két kék korong, az eltérő elrendezés, mint ha a piros korong lenne középen, fölötte és alatta egy-egy kék korong.

A pizzériás feladatnak van előzménye is, amiben még Chloe össze volt veszve mindenkivel?

Onnan vagyok benne biztos, hogy n=6-ra ezzel pont kijön a 40193. A te feladatod meg elég hiányos, számít-e, hogy az egyes embernek ki a "bal" oldali szomszédja, vagy csak az, hogy mely 2 ember a szomszédja. Az meg, hogy Bea és Cili közben kibékültek gondolom csak felesleges adat. Nyilván ez semmiképpen sem lehetne ebben a formában mondjuk egy érettségi feladat.

Akkor vajon miért van ott a mondat? Honnan tudod, hogy a kitűző mire gondolt? Ezt hogy oldanád meg?

A mozi után Anna, Bea, Cili és Dóra beültek egy pizzériába egy kerek asztal köré. Hányféleképpen ülhettek le, ha közben Bea és Cili kibékültek?

11-es tankönyv.

"Az egy oszlopon lévő korongok sorrendje is számít, mert nem tudnak helyet cserélni egymással." ezt a mondatot akár ki is lehetett volna hagyni. A korongok nincsenek számozva, mindegy milyen sorrendben tesszük az oszlopra a korongokat. Csak az számít, hogy a (számozott!) rudakon hány korong van és azokon az egyes korongok piros vagy kék oldala van-e felül.

Nem értem, mit jelent az, hogy a korongok sorrendje számít. Ha azt, hogy meg vannak számozva eleve, akkor persze más a válasz. Ha azt, hogy megszámozzuk őket, miután kiderült melyik oszlopon vannak, akkor is. Az idézett képletben \(\displaystyle \binom{n+k-1}{k}\cdot 2^k\)-van, ez azt jelenti, hogy mindegy milyen sorrendben tesszük az oszlopra a korongokat, csak az számít melyik oldaluk van felül. Ekkor tényleg 40193 leosztás van. A sorrend itt csak abban számít, hogy hanyadiknak van felül a kék illetve piros fele.

n korongra és n rúdra: a(n), és itt a harmadik formulából látható igazán, hogy erről a sorozatról van szó.

A következő összeszámlálási problémát kisiskolás koromban hallottam, amikor még nem tudtam megoldani.

Van egy állványunk hat számozott oszloppal. Van hat egyforma lyukas korongunk, amiknek az egyik oldala pirosra, a másik kékre van színezve. A korongokat az állvány oszlopaira szeretnénk fölrakni, de nem kell minden korongot fölhasználni, egy részét ki is lehet dobni. Két elrendezést különbözőnek tekintünk a szerint, hogy melyik oszlopon hány korong van, és az egyes korongoknak melyik színű oldala van felül. Az egy oszlopon lévő korongok sorrendje is számít, mert nem tudnak helyet cserélni egymással. A kidobott korongokról nem számít, hogy melyik oldala van felül. Lássuk be, hogy 40193 különböző elrendezés van.

Elvileg kimérhető, de a gyakorlatban nehéz lenne. Az a baj, hogy már az exponenciális lecsengést is nehéz pontosan kimérni, mert valamilyen izotóp mennyiségét kell szétválasztanod az összes többitől. A valóságban radioaktív bomlásnál mindig jelen vannak más atomok is, ami a mérést lehetetlenné teszi.

Vajon egy radioaktív bomlást megfigyelve kimérhető-e az Euler-féle szám, vagy csak az mérhető ki, hogy valami exponenciális a lecsengése, és az alap meg a konstans egymás függvényei?

Legyenek &tex;\displaystyle {a_0} = 0,{a_1} = 2, {a_{n+1}}=\sqrt{2 - \frac {a_{n-1}}{a_n}},&xet; ahol &tex;\displaystyle n\ge1.&xet; Számítsuk ki: &tex;\displaystyle \lim_{n\to\infty}{2^n{a_n}}.&xet;