Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Háromszög szerkesztés

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3] hihetetlen2020-11-23 16:12:16

Áruld el, hogyan találtál rá erre a megoldásra?

Elmondom az én megoldásomat, amely ugyan számoláson alapul, de talán a szerkesztés egyszerűbb.

Induljunk ki a kész ábrából:

Legyen \(\displaystyle BC\) az adott oldal, \(\displaystyle AM\) az adott magasság és \(\displaystyle AF_1\) az adott szögfelező.

Megrajzoltuk még az \(\displaystyle AF_1\)-re merőleges \(\displaystyle AF_2\) külső szögfelezőt is.

Az \(\displaystyle AMF_1\triangle\) nyilván könnyen szerkeszthető és az \(\displaystyle F_2\) pont is könnyen kitűzhető.

Ha ismernénk a \(\displaystyle BF_1\) szakasz \(\displaystyle x\) hosszát, akkor készen lennénk.

Legyen a \(\displaystyle BC\) oldal hossza \(\displaystyle a\), az \(\displaystyle F_2F_1\) távolság pedig \(\displaystyle d\)!

Írjuk fel a szögfelező tétel alapján a következő összefüggést:

\(\displaystyle \frac{x}{a-x}= \frac{d-x}{d+a-x} \)

A kapott másodfokú egyenlet megoldása (csak az érdekel, amelyik kisebb \(\displaystyle a\)-nál):

\(\displaystyle x= \frac{a+d-\sqrt{a^2 + d^2}}{2} \)

\(\displaystyle \sqrt{a^2 + d^2}\) egy olyan derékszögű háromszög átfogójának a hossza, amelynek befogói \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle d\) hosszúságúak.

Nézzük ezek után a szerkesztést! Szerkesszük meg az \(\displaystyle AMF_1\) háromszöget és tűzzük ki az \(\displaystyle F_2\) pontot! Az \(\displaystyle F_1F_2\) egyenesre mérjük fel az \(\displaystyle a\) szakaszt \(\displaystyle F_1\)-ből az \(\displaystyle F_2\)-vel ellentétes oldalon. A kitűzött pont \(\displaystyle P_1\) és az \(\displaystyle F_2P_1\) szakasz hossza \(\displaystyle a+d\).

Állítsunk merőlegest az \(\displaystyle F_1F_2\) egyenesre az \(\displaystyle F_1\) pontban és mérjük fel rá az \(\displaystyle a\) szakaszt! A kitűzött pont \(\displaystyle P_2\). Az \(\displaystyle F_2P_2\) távolság nyilván \(\displaystyle \sqrt{a^2 + d^2}\).

Mérjük rá az \(\displaystyle F_2P_2\) távolságot az \(\displaystyle F_2P_1\) szakaszra \(\displaystyle F_2\)-ből indulva. Az így kapott pont \(\displaystyle P_3\). Nyilván a \(\displaystyle P_1P_3\) szakasz hossza \(\displaystyle a+d-\sqrt{a^2 + d^2}\). A szakasz felezőpontja legyen \(\displaystyle K\)!

A \(\displaystyle KP_1\) szakasz hossza \(\displaystyle x\), tehát \(\displaystyle K=C\), azaz megkaptuk a háromszög másik csúcsát. A harmadik csúcs kitűzése most már nem jelent problémát és a szerkesztést befejezettnek tekinthetjük.

Röviden a diszkusszió: ha az adott magasság és az adott szögfelező egyenlő hosszú, akkor egyenlőszárú háromszögről van szó, amelynek szerkesztése nem okozhat problémát, ha pedig a szögfelező hosszabb a magasságnál, akkor a szerkesztés mindig elvégezhető.

Előzmény: [2] HoA, 2020-10-16 22:43:59
[2] HoA2020-10-16 22:43:59

Az \(\displaystyle f_c\) és \(\displaystyle m_c\) által bezárt szög \(\displaystyle \frac{\alpha - \beta}2\) Így a feladatot visszavezettük erre:

Szerkesszünk háromszöget ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és az oldalon fekvő két szög különbsége.

Ez volt az 1964. évi Arany Dániel verseny egyik feladata, megoldása a KöMaL 1965. évi 1. számának 2. oldalán olvasható.

Előzmény: [1] hihetetlen, 2020-09-24 15:56:03
[1] hihetetlen2020-09-24 15:56:03

Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és a szemközti csúcsból induló szögfelezőnek a háromszögbe eső darabja!