Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[125] joe2005-04-06 19:18:50

Természetesen 123. feladat volt az előző... (jól tudok számolni :-)

Előzmény: [124] joe, 2005-04-06 19:17:25
[124] joe2005-04-06 19:17:25

23. feladat: Bizonyítsuk be, hogy nem lehet az (euklideszi) síkban véges számú pontot megadni úgy, hogy ha minden egyes pontpár által meghatározott egyenest behúzunk, akkor minden egyes ilyen egyenesre legalább három pont illeszkedik a megadottak közül!

Aki ismeri, ne lőjön agyon érte, hogy beírtam, és ne említsen róla semmi információt! Aki nem ismeri, ÖNÁLLÓAN próbálja megoldani, minden szakirodalom nélkül! Azért tettem ebbe a topicba, mert bár az sem igaz, hogy a megoldás könnyű, az sem igaz, hogy nehéz...

[123] Gubbubu2005-01-13 20:16:11

OK, feladom. Katasztrofálisan elnéztem az egészet, remélem elnézitek ti is. :-))

Előzmény: [122] jonas, 2005-01-13 17:43:27
[122] jonas2005-01-13 17:43:27

Biztos, hogy T×T\toT? A feladatban ugy tunik, hogy csak egy (T-beli) argumentumok kapnak.

Előzmény: [121] Gubbubu, 2005-01-13 17:26:22
[121] Gubbubu2005-01-13 17:26:22

Úgy nézem, a görög betűvel jelölt függvények pedig T×T->T alakúak kell hogy legyenek.

Előzmény: [119] Gubbubu, 2005-01-13 17:18:07
[120] jonas2005-01-13 17:21:23

En nem ertem, miert van egyaltalan ilyen \Phi es \Psi fuggveny. De ha van, akkor termeszetesen polinomok, mert veges test folott minden fuggveny polinom.

Előzmény: [116] Gubbubu, 2005-01-13 11:44:05
[119] Gubbubu2005-01-13 17:18:07

Hopp! Valóban, lemaradt, hogy f:T->T függvény (egyébként) tetszőleges. a,b pedig természetesen T elemei. Így már van értelme?

Előzmény: [118] Lóczi Lajos, 2005-01-13 17:00:55
[118] Lóczi Lajos2005-01-13 17:00:55

Nem világos az egyes betűk jelentése, mi testelem, mi függvény, mi képez honnan hová, stb.

Előzmény: [116] Gubbubu, 2005-01-13 11:44:05
[117] rizs2005-01-13 13:53:45

22. feladat: 4 eseményes totó (3 lehetséges kimenetel 1, 2, x) esetén hány szelvény kell a biztos 3 találathoz?

[116] Gubbubu2005-01-13 11:44:05

21. feladat Adott egy véges T test. Legyen f(a)+f(b)=\Phi(f(a+b)) és f(a)f(b)=\Psi(f(ab)).

a). Igaz-e, hogy \Phi és \Psi polinomok! (attól tartok, igen, de kíváncsi vagyok, van-e rá valami elemi bizonyítás). Ha ez igaz, hogy néznek ki?

b). Mikor bijektívek ezek a leképezések? (mondjuk tudunk-e valami algebrai feltételt adni)

Megjegyzés: felőlem a két görög betűvel jelölt függvény "inverze" is vizsgálható (pontosabban, pl. a \Gamma(f(a)+f(b))=f(a+b) stb. -t teljesítő függvény), ha úgy könnyebb.

[115] Atosz2005-01-04 18:22:48

Sziasztok!

Először vagyok itt, az érd.mat.fel topikban feltettem [685]-ös hozzászólással két feladatot (137., 138.). Ha valaki tud segítsen! Köszönöm!

[114] Bubu2004-12-20 15:24:57

Hahó!

Ezt a példán valszám gyakon tűzte ki a tanár n=3-ra, és a megoldásom után azt mondta, hogy Ő még erről nem hallott ilyen formában. n=2-re régen (még mikor én is küldtem) 5 pontos B feladat volt. Sorry,de Texezni nem t'ok.

Feladat: Legyenek A(1), A(2), ..., A(n) tetszőleges események. Metszetük legyen A. Keressük meg a P(A)-P(A(1))*P(A(2))*...*P(A(n)) kifejezés legnagyobb alsó és legkisebb felső korlátját!

Ha valakinek megvan legyen szíves elküldeni nekem e-mailben a megoldását, mert kíváncsi vagyok, hogy egyezik-e az enyémmel. Majd azért igyekszem ide is rendszeresen ellátogatni.

Soxerencsét a megoldáshoz!

Bubu

[113] Kós Géza2004-11-12 08:29:11

Amennyire látom, 4 pontra mindig van.

Az illesztendő görbének 5 független paramétere van: a koordináta-rendszer origója (2), iránya, a görbe két paramétere (a,b). Az az 5 pont, amit mutattam, inkább olyasmi, mint amikor három pontra akarunk kört illeszteni, de a három pont véletlenül egy egyenesre esik.

Előzmény: [112] Strenner Balázs, 2004-11-11 16:47:57
[112] Strenner Balázs2004-11-11 16:47:57

Tényleg. Ez szép, köszönöm. De mi van 4 pontra?

Előzmény: [111] Kós Géza, 2004-11-11 11:48:11
[111] Kós Géza2004-11-11 11:48:11

Nem nehéz 5 olyan pontot találni, amire nem lehet szinuszgörbét illeszteni:

A(0,0), B(1,0), C(2,0), D(3,0), E(3,1).

Tételezzük fel, hogy egy szinuszgörbe átmegy az A,B,C pontokon. A görbét középpontosan tükrözve B-re, a tükörkép is átmegy A-n és C-n. Ha B nem a görbe tengelyén van, akkor a görbe és a tükörkép közös pontjai periodikusan helyezkednek el (lásd az ábrát), ezért az AC egyenesnek párhuzamosnak kell lenni a tengellyel. Ugyanez elmondható a B,C,D pontokra is. Ha B és C is a tengelyen van, akkor az ABCD egyenes maga a tengely. Tehát, az ABCD egyenes mindenképpen párhuzamos a tengellyel.

A DE egyenes merőleges a tengelyre, tehát legfeljebb egy pontja lehet a görbén.

Előzmény: [110] Strenner Balázs, 2004-11-10 14:11:56
[110] Strenner Balázs2004-11-10 14:11:56

A következő probléma valószínűleg elég nehéz, pár napja vetődött fel bennem, és gyanítom, hogy a megoldása meglehetősen bonyolult, feltéve ha van.

Hallottam egy feladatot, miszerint egy szinuszgörbét kell illeszteni 3 pontra. (A szinuszgörbét egy olyan függvény grafikonjaként értelmezem, ahol a koordináta-rendszer a síkban tetszőleges helyzetű, és f(x)=asin (bx) ahol a és b nem 0. Könnyen belátó, hogy van olyan szinuszgörbe, amelyik mindhárom ponton átmegy. Gondoltam, megnézem, mi van 4 pontra. Itt már csak addig jutottam, hogy négyzetre találtam szinuszt, általánosságban azonban nem jutottam semmire. Aztán az is felvetődött, hogy ha 4-re is igaz az állítás, akkor van-e olyan n, hogy n pontot elhelyezve a síkon ne létezzen olyan szinuszgörbe, amelyre mindegyik pont illeszkedik.

Akinek van ötlete, vagy valamit valamit hozzá tud szólni, tegye meg. Köszönöm

[109] Csimby2004-11-03 17:17:22

Köszi szépen a megoldást, örülök, hogy be lehetett fejezni!

Előzmény: [107] nadorp, 2004-11-03 16:50:43
[108] nadorp2004-11-03 16:57:49

Bocs, természetesen p\geq127 -et akartam írni.

Előzmény: [107] nadorp, 2004-11-03 16:50:43
[107] nadorp2004-11-03 16:50:43

Szia Csimby !

A megoldás teljesen jó és be is fejezhető. Legyen k=4m+3, ahol m\geq1, azaz k\geq127. Vizsgáljuk a számokat modulo 7. Mivel 24m+3-1=8.16m-1\equiv2m-1mod(7), ezért 7|4+23n+2-1 és 7|4.49+23n-1 miatt csak m=3n+1 jöhet szóba, azaz k=12n+7. Ekkor viszont

212n+7-1=128.212n-1\equiv(-2).1-1\equiv-3mod(13) miatt 13|4*4+212n+7-1 is teljesül, azaz nem lesz prímszám. Így a feladatnak csak a p=3,7 a megoldásai.

Előzmény: [105] Csimby, 2004-10-30 13:42:01
[106] Gubbubu2004-11-02 18:27:00

A "megváltozik" szót úgy értve, hogy az input invariáns sem lehet, hanem kifejezetten más a végén, mint kezdetben... Nem mintha azt várnám, hogy bárki is válaszol erre nekem, de fő a pontosság...

Előzmény: [102] Gubbubu, 2004-10-16 10:32:42
[105] Csimby2004-10-30 13:42:01

A.350. Adjuk meg az összes pozitív egészt, melyre a 4x2+p polinom a 0,1,...,p-1 helyeken prím értéket vesz fel.

p(x)=4x2+p

p(x)=4x2+p+(4px2-2p-1)-(4px2-2p-1)

p(x)=(p+1)(4x2-1)-(4px2-2p-1)

p(x)=(p+1)(2x-1)(2x+1)+(p+1)-4px2+p

p(x)=(p+1)(2x-1)(2x+1)+(p+1)+p(1-2x)(1+2x)

p csak prím lehet, ellenkező esetben x=0-ra p(x) összetett szám. p=2 nem jó, mert x=1-re p(x)=6, ami összetett. Tehát p páratlan, p+1 páros.

p(x)-et 3 tag összegére bontottuk fel melyek közül az 1. és a 3. osztható 2x+1-gyel. A 2. tag p+1, akkor oszthaó 2x+1-gyel, ha van páratlan osztója, hiszen 2x+1 az x=0,1,...p-1 értékeket veszi fel, vagyis minden páratlan értéket p-ig. Tehát ha p+1-nek van páratlan osztója, akkor van olyan x, hogy p+1 is osztható lesz 2x+1-gyel, tehát p(x) összetett lesz. Az nem jó nekünk amikor p+1-nek csak az 1, a páratlan osztólya illetve az, ha 2x+1=p(x), de ezt kizárhatjuk, hiszen 2x+1<p(x).

Hogyha p+1-nek nincsen 1-en kívül páratlan osztója, akkor p+1=2k, tehát p egy 2k-1 alakú prím, azaz Mersenne-prím. Ismert, hogy ekkor k is prím kell, hogy legyen. Ha k=2, akkor p=3, ez egy jó megoldás. A többi esetben k=4m+1 vagy pedig k=4m-1 alakú. Hogyha k=4m+1, akkor:

p=24m+1-1=2*(22)2m-1\equiv2*(-1)2m-1=1 (mod5)

Tehát x=1-re p(x) osztható lesz 5-tel, hacsak nem p(x)=5, akkor ez azt jelenti, hogy p(x) összetett (ha p(x)=5, az x=1, helyen, akkor p=1, ami nem prím, ez tehát nem jó).

Maradt az az eset amikor k=4m-1 és ez az ami miatt írtam, mert hogy innen nem tudok tovább menni (lehet, hogy zsákutca?). Hogyha valaki megoldotta másképpen, vagy innen tovább tud menni, az írja be, mert nagyon érdekelne.

Megjegyzés: p=7 is jó megoldás, ahol k=3.

[104] Kemény Legény2004-10-24 11:20:20

Kedves Bálint!Az ellenpéldád rendkivül meggyőző,és minden további nélkül el is fogadom,azonban ezuton egésziteném ki a megoldást azzal,hogy két kék szomszédos pont között 0 hosszuságu piros sorozatokat definiálunk....

Előzmény: [103] Ureczky Bálint, 2004-10-23 22:34:07
[103] Ureczky Bálint2004-10-23 22:34:07

Hát a 3mal való oszthatóság állandósága sajnos nem igaz... Pl:

Előzmény: [96] Kemény Legény, 2004-10-10 19:22:46
[102] Gubbubu2004-10-16 10:32:42

20. feladat Egy kis algoritmikus kombinatorika:

Van-e "éles" becslés adott n-elemű véges abc feletti k állapotú klasszikus (egyszalagos, egy I/O-fejes, jobbra/balra/helyben lépegető, determinisztikus) Turing-gépek számának felső határára?

Ezek közül hány Turing-gép olyan, ami csinál is valamit, azaz van olyab véges input, amelyre ráeresztve a gépet az megváltozik a számítási eljárás során (nem kell, hogy az eljárás szabályosan érjen véget, az úgy elég nehéz lenne!).

[101] Kós Géza2004-10-12 12:14:26

Várhatóan péntek körül, amikor már beérkeztek a vidéki dolgozatok, a megoldásokból megint csinálok egy web-oldalt.

Addig is gyűjthetjük a megoldásokat, mert én biztos nem ismerem az összeset. :-)

Az 1. feladatra tudtok szép elemi megoldást?

Előzmény: [95] Csimby, 2004-10-10 01:08:18

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]