[140] levi | 2005-04-21 17:05:40 |
Tehát keressük az (R-m)(R+m)m szorzat maximumát(0<m<R, R>0). Ha felbontjuk a zárójeleket a -m3+R2m -et kapjuk. Általánosságban tehát keressük a f(x)=-x3+R2x függvény maximumhelyét (helyeit). Legyen x maximumhely, ekkor f(x) maximumérték, f(y) tetszőleges érték, ekkor teljesül az f(x)-f(y)0. Ez egyenlő ezzel: -x3+R2x+y3-R2y0. Kiemelések után: (y-x)(y2+xy+x2-R2)0. A második tag y-ra nézve egy másodfokú egyenletként is felfogható, tehát a felírható így: (y-y1)(y-y2), ahol y1 = , y2=. Tehát az egyenletünket felírhatjuk 3 szorzatként: (y-x)(y-y1)(y-y2)0. Ezek az elsőfokú polinomok a koordinátasíkban az g(x)=x egyenessel párhuzamosak. Két eset lehetséges: vagy egybeesnek vagy nem. Ha nem esnek egybe, akkor lesz olyan hely ahol az egyik vagy mindhárom ellenkező előjelű lesz, ekkor f(x)-f(y)0 vagy kettő lesz ellenkező előjelű ill. megegyezik az előjelük, és ekkor f(x)-f(y)0, tehát f(x) nem maximumérték, ezért x nem maximumhely. Tehát a 3 egyenesnek egybe kell esnie. Vizsgáljuk meg hogy mikor esik 2 egybe! 3 tag van, így 3 esetet kell megvizsgálni: x=y1, x=y2 vagy y1=y2. Az utóbbi esetben a másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla, azaz 4R2-3x2=0. Ebből x=2R, de ez nagyobb, mint R, tehát nem eleme az értelmezési tartománynak. Az x=y2 esetben nem valós szám a megoldás, míg x=y1 esetben: x=, rendezve 3x2=R2, amiből következik az x=R. Ekkor y2=-2R, azaz y-y2=y+2R. Ez mindig pozitív lesz (mert R>0, 0<y<R). Az első két tag is mindig pozitív lesz, azaz a szorzat mindig nagyobb-egyenlő lesz mint 0. A szorzat maximumát tehát az x=R helyen veszi fel. Visszatérve tehát a hengerhez, a m=R, a sugár () r=R, és a térfogat pedig V=. (úgy érzem, hogy még finomítanom kellene ezen, egy helyen eléggé "bukdácsol" a bizonyítás...)
|
|
[139] Sirpi | 2005-04-21 14:28:40 |
Végül én sem oldottam meg, valaki elmondta órán a megoldást. Továbbra is állítom, hogy szép feladat, és szerintem nehéz. Aki nem ismeri a trükköt, nem könnyen jön rá. Annyit szerintem még nyugodtan elárulhatunk, hogy a Fermat n=4-re való megoldhatatlanságánál a végtelen leszállás módszerére utaltál.
|
Előzmény: [137] joe, 2005-04-20 20:35:34 |
|
|
[137] joe | 2005-04-20 20:35:34 |
Tényleg igaz, amit mesélnek róla? Mármint ami a megoldás kitalálásának időtartamát illeti... Én nem akarom elhinni. Bár én magam nem próbálkoztam vele, hamarabb lőtem le magam előtt könyvből.
|
Előzmény: [131] Sirpi, 2005-04-19 08:45:03 |
|
[136] joe | 2005-04-20 20:03:55 |
r*r*m maximumát keressük, ahol r*r + m*m = R*R (m maradjon a "félmagasság"; a legnagyobb félhengerből úgyis könnyen csinálhatunk legnagyobb "egészhengert").
Most állandó R és változó r mellett keressük
(R - m)(R + m)m
kifejezés maximumát. Innen tovább nem akarom lőni, van egy érdekes elemi módszer ilyen esetekre (lényegében algebrai zsonglőrködés): tudjuk, hogyan becsüljünk szorzatot fölülről(?); erre az esetre ezt a módszert egy kicsit kozmetikázni kell, hogy a becslés éles legyen. Hogyan?
|
Előzmény: [130] lorantfy, 2005-04-18 22:47:44 |
|
[135] joe | 2005-04-20 19:56:28 |
Szerintem nem a téglalap max. területét keressük, hanem a henger max. térfogatát keressük...ahogy ez írva vagyon...a forgástestekkel vigyázzunk.
|
Előzmény: [134] levi, 2005-04-20 18:14:06 |
|
|
[133] joe | 2005-04-19 19:06:32 |
Jó, akkor egy kis segítség: a módszer egy kicsit (lényegileg vagy inkább elvileg) hasonlít arra, amivel megmutatják, hogy a nagy Fermat-sejtés igaz a 4-es kitevőre.
|
Előzmény: [124] joe, 2005-04-06 19:17:25 |
|
|
[131] Sirpi | 2005-04-19 08:45:03 |
Én szívesen hozzászólnék, de ismerem a feladatot, úgyhogy inkább csöndben is maradok. Viszont szerintem nagyon jó feladat. Anno, mikor feladták, nem mondták meg, hogy igaz-e az állítás, úgyhogy egy fél füzetet telerajzoltam a különböző konstrukcióimmal :-)
|
Előzmény: [129] joe, 2005-04-15 18:19:19 |
|
[130] lorantfy | 2005-04-18 22:47:44 |
24. feladat: Adjátok meg az R sugarú gömbbe írható max. térfogatú henger méreteit elemi úton!
|
|
|
|
[127] joe | 2005-04-07 19:40:06 |
Hát igen, úgy látszik, formában voltam, amikor írtam... Kifelejtettem a "kivéve a minden pont egyetlen egyenesen triviális esetet" mondatot.
|
Előzmény: [126] Doom, 2005-04-06 20:02:25 |
|
[126] Doom | 2005-04-06 20:02:25 |
ööö... nekem úgy tűnik, hogy 3 pont egy egyenesen kielégíti a feladat feltételeit... Vagy csak nem sikerült megértenem a problémát?
|
Előzmény: [124] joe, 2005-04-06 19:17:25 |
|
|
[124] joe | 2005-04-06 19:17:25 |
23. feladat: Bizonyítsuk be, hogy nem lehet az (euklideszi) síkban véges számú pontot megadni úgy, hogy ha minden egyes pontpár által meghatározott egyenest behúzunk, akkor minden egyes ilyen egyenesre legalább három pont illeszkedik a megadottak közül!
Aki ismeri, ne lőjön agyon érte, hogy beírtam, és ne említsen róla semmi információt! Aki nem ismeri, ÖNÁLLÓAN próbálja megoldani, minden szakirodalom nélkül! Azért tettem ebbe a topicba, mert bár az sem igaz, hogy a megoldás könnyű, az sem igaz, hogy nehéz...
|
|
|
|
|
|
|
|
[117] rizs | 2005-01-13 13:53:45 |
22. feladat: 4 eseményes totó (3 lehetséges kimenetel 1, 2, x) esetén hány szelvény kell a biztos 3 találathoz?
|
|
[116] Gubbubu | 2005-01-13 11:44:05 |
21. feladat Adott egy véges T test. Legyen f(a)+f(b)=(f(a+b)) és f(a)f(b)=(f(ab)).
a). Igaz-e, hogy és polinomok! (attól tartok, igen, de kíváncsi vagyok, van-e rá valami elemi bizonyítás). Ha ez igaz, hogy néznek ki?
b). Mikor bijektívek ezek a leképezések? (mondjuk tudunk-e valami algebrai feltételt adni)
Megjegyzés: felőlem a két görög betűvel jelölt függvény "inverze" is vizsgálható (pontosabban, pl. a (f(a)+f(b))=f(a+b) stb. -t teljesítő függvény), ha úgy könnyebb.
|
|