Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[165] jonas2005-07-04 10:01:56

Akkor itt van egy másik feladat tőle. Ez sem nehéz, és lehet, hogy nem pontosan emlékszem rá. Remélem, még nem volt.

131. Adott egy egyenes és rajta kívül egy pont. Szerkesszünk az egyenessel a ponton át párhuzamost minél kevesebb körzőhasználattal (vonalzót akárhányszor használhatunk).

[163] Doom2005-07-03 21:19:25

Szépnek szép:)

Előzmény: [162] joe, 2005-07-03 20:37:46
[162] joe2005-07-03 20:37:46

Jól sejted, kitől kaptam, de nem 9-es vagyok, csak régebben hallottam, és talán rossz topicba tettem. Leht, h nem nehéz, de szép! Vagy nem?

Előzmény: [160] Doom, 2005-07-02 15:41:59
[161] jonas2005-07-02 18:30:27

Igen, igazad van.

Előzmény: [160] Doom, 2005-07-02 15:41:59
[160] Doom2005-07-02 15:41:59

Lehet, hogy ez neked triviális, de ha jól sejtem, kitől kapta ezt a "házi feladatot" :), akkor kb 9-es lehet az illető. És akkor már nem ilyen egyértelmű.... sztem. :)

Joe, kommentáld!:)

Előzmény: [159] jonas, 2005-07-02 10:07:10
[159] jonas2005-07-02 10:07:10

Ez vagy triviális, vagy félreértettem.

Egyszerűen veszed az eni pontot minden egész n-re. Akkor ennek minden n/2 hajlásszögű egyenes (az origón át) szimmetriatengelye, de mégsincs szimmetriaközéppontja.

Azért nyilvánvaló, hogy ilyesmit keresünk, mert ha két szimmetriatengely metszi egymást, akkor az alakzat már forgásszimmetrikus a tengelyek szögének kétszeresével, tehát ha ez a szög \pi racionális többszöröse, akkor már középpontosan szimmetrikus is.

Előzmény: [157] joe, 2005-07-01 19:09:37
[158] Doom2005-07-01 21:37:40

Mondcsak Joe, ismersz te egy Pósa Lajos nevezetű egyént?!

Előzmény: [157] joe, 2005-07-01 19:09:37
[157] joe2005-07-01 19:09:37

130. feladat: Döntsük el, létezik-e olyan, síkbeli ponthalmaz, melynek végtelen sok szimmetriatengelye van, legalább két ilyen tengely metszi egymást, de a ponthalmaznak nincs egyetlen egy szimmetriaközéppontja sem.

[156] Lóczi Lajos2005-05-27 14:15:44

Igen, nekem is ez lett az eredmény.

Előzmény: [155] nadorp, 2005-05-27 07:53:24
[155] nadorp2005-05-27 07:53:24

Nálam a határérték P<3 esetén 0, p\geq3 esetén -\infty

Előzmény: [154] Lóczi Lajos, 2005-05-26 18:53:26
[154] Lóczi Lajos2005-05-26 18:53:26

Ez az átalakítás tényleg kicsit egyszerűbbé teszi a limeszt. Vajon melyik az a p érték, ahonnan kezdve lényegesen más a határérték értéke?

Előzmény: [152] nadorp, 2005-05-24 10:10:06
[153] Csimby2005-05-24 10:35:30

Most elbújok és elő se jövök :-)

Előzmény: [152] nadorp, 2005-05-24 10:10:06
[152] nadorp2005-05-24 10:10:06

Az osztás után ezt kapjuk:

\frac{1-x^{sinx-x}}{x^{p-x}}

Előzmény: [151] Csimby, 2005-05-24 01:23:47
[151] Csimby2005-05-24 01:23:47

Nem tudom, de talán ha a számlálót és nevezőt is leosztjuk xx-nel, akkor az jó lesz, mert ez marad:

\frac{1-x^\frac{\sin{x}}{x}}{x^\frac{p}{x}}

\frac{\sin{x}}{x} pedig 1-hez tart, ha x tart 0-hoz. Ekkor pedig ez marad:

\frac{1-x}{x^\frac{p}{x}}

Előzmény: [149] Lóczi Lajos, 2005-05-18 00:32:07
[150] Lóczi Lajos2005-05-18 21:16:11

129. feladat. Van-e olyan 0<a, 0<b, a\neb számpár, melyre ab=b(ab/a)?

[149] Lóczi Lajos2005-05-18 00:32:07

128. feladat. Legyen p>0 szám. Határozzuk meg a

 \frac{x^x - x^{\sin (x)}}{x^p}

kifejezés határértékét, ha x\rightarrow0 (x>0).

[148] Lóczi Lajos2005-05-05 23:33:04

127. feladat. Ismeretes, hogy tetszőleges, rögzített pozitív egész M esetén a

\sum_{k=0}^{n} k^M

összeg felírható "zárt alakban", például

\sum_{k=0}^n k^3=\frac{1}{4}(n^4+2n^3+n^2)

ahol n tetszőleges természetes szám.

Adjuk meg a zárt alak általános képletét M függvényében!

[147] Lóczi Lajos2005-04-28 12:59:48

126. feladat. Forgassuk el balra az origó körül 90 fokkal az x\mapsto2/3x2 függvény grafikonját, valamint forgassuk szintén az origó körül balra, de csak 45 fokkal az x\mapstosin x függvény grafikonját. Határozzuk meg az így kapott síkbeli ponthalmazok metszetét.

[146] Lóczi Lajos2005-04-25 10:45:03

Aki szeret egyenlőtlenségekkel játszadozni, annak íme egy feladat. Az egyenlőtlenség természetes módon merült fel egy bizonyítás részeként, tehát nem tenyészproblémáról van szó :-)

125. feladat: Mutassuk meg, hogy fennáll az alábbi egyenlőtlenség, ha n tetszőleges természetes szám, h és alfa pedig olyan pozitív valós számok, hogy szorzatuk kisebb, mint pl. 2/25:

[145] levi2005-04-22 15:51:02

Be kell húzni az AE vagy CD pontokon átmenő egyenes(ek)et. Ekkor ott vagyunk, hogy már megint háromszögeket kapunk, és akkor már megint vagy az van hogy a végtelenségig kapjuk a háromszögeket vagy ismét behúzunk egy olyan egyenest amit te rajzoltál, de ezzel már megint új pontokat kapunk, amiket össze kell kötnünk a többivel, ismét csak háromszögeket kapva...

Előzmény: [143] nadorp, 2005-04-22 09:07:32
[144] lorantfy2005-04-22 14:57:41

Hát igen! Ha kész van, akkor már nagyon egyszerű. Kösz, hogy foglalkoztatok vele!

Előzmény: [143] nadorp, 2005-04-22 09:07:32
[143] nadorp2005-04-22 09:07:32

Kedves Levi !

Nem mindig keletkezik DEF háromszög.

Más:

Visszatérve a hengeres példára, van egy kicsit egyszerűbb megoldás is ( ez persze semmit nem von le a Joe által közölt eljárás érdeméből):

r^2m=r^2\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{r^4(R^2-r^2)}=\sqrt{4\frac{r^2}{2}\cdot\frac{r^2}{2}\cdot(R^2-r^2)}, és innen már mehet a számtani és mértani közép közti összefüggés a gyök alatti kifejezésre.

Előzmény: [142] levi, 2005-04-21 22:41:20
[142] levi2005-04-21 22:41:20

Bizonyítsuk be, hogy nem lehet az (euklideszi) síkban véges számú pontot megadni úgy, hogy ha minden egyes pontpár által meghatározott egyenest behúzunk, akkor minden egyes ilyen egyenesre legalább három pont illeszkedik a megadottak közül!

Próbáljunk meg keresni egy ilyen N (véges) számot. Először jelöljünk ki a sikban 3 nem egy egyenesre eső pontot. Ezek akkor meghatároznak egy háromszöget. Legyen ez ABC háromszög. Azt szeretnénk, ha minden oldalon lenne még egy pont (hogy meglegyen az egyenesenkénti 3 pont). Jelöljük ezeket D,E,F-fel. Ekkor azonban a DEF háromszögben áll fenn az előző eset. Jelöljük G,H,I pontokat a megfelelő oldalakon. Ez újabb háromszöget határoz meg, tehát ezt a végtelenségig lehet folytatni, azaz nem lehet véges számú pontot megadni. Ha az ABC háromszőgnél a D vagy E ill. F pontokat nem a háromszög oldalán jelöljük ki, hanem azon az egyenesen, ami átmegy az A és B pontokon, azzal sem "nyerünk" semmit, hiszen azzal csak egy újabb háromszöget jelöltünk ki, amiben ismét csak nem lehet véges számú pontot megadni.

Előzmény: [124] joe, 2005-04-06 19:17:25
[141] joe2005-04-21 20:07:26

Szerintem jó, legalábbis az eredmény; a többi megítélésére így hirtelen nem vállalkoznék, mert hajlamos vagyok a "bizonyítási hézagokat" átugrálni.

Szerintem annyit egyszerűsíthetünk, hogy "ha a három egyenes közül semmelyik kettő nem esne egybe, akkor találnánk olyan pontot, ahol az egyik fgv.-érték negatív, a másik kettő pozitív". A többi egy kicsit bonyolult, de valószínűleg helyes. Egyébként ilyen "szorzatos függvényspekulációval" még nem találkoztam; nagyon jó ötlet, és egész biztosan máshol is használható.

Amire én gondoltam, az egy kicsit egyszerűbb, de csak miután az ember rájött. Valószínűleg azt is egy helyenként homályos és egészében véve tekervényes gondolatmenet előzné meg. A módszer a következő:

Szorzatot tudunk összeggel fölülről becsülni (AG). Az (R-m)(R+m)m esetében két problémánk van:

1) Az egyenlőtlenség nem éles, mert a három tényező sosem lehet egyenlő,

2) A felső becslés is tartalmaz változót.

Mindkét probléma kiküszöbölhető az alábbi trükkel: a kifejezést beszorozzuk egy számmal; ez a szélsőérték helyén nyilván nem változtat. Úgy tekintjük, hogy mindhárom tényezőt egy bizonyos számmal szoroztuk, tehát keressük a(R-m)*b(R+m)*cm kif. maximumát. Az a, b, c -t úgy választjuk, hogy:

1) a(R-m) + b(R+m) + cm -ből kiessen az m (változó);

2) Az a(R-m) = b(R+m) = cm egyenletrendszernek egyértelmű megoldása legyen m-re.

Egyenlőre ennyire vállalkozom; a szétírást rábíznám olyasvalakire, aki jobban szeret (és tud) texelni, mint én...

Előzmény: [140] levi, 2005-04-21 17:05:40
[140] levi2005-04-21 17:05:40

Tehát keressük az (R-m)(R+m)m szorzat maximumát(0<m<R, R>0). Ha felbontjuk a zárójeleket a -m3+R2m -et kapjuk. Általánosságban tehát keressük a f(x)=-x3+R2x függvény maximumhelyét (helyeit). Legyen x maximumhely, ekkor f(x) maximumérték, f(y) tetszőleges érték, ekkor teljesül az f(x)-f(y)\ge0. Ez egyenlő ezzel: -x3+R2x+y3-R2y\ge0. Kiemelések után: (y-x)(y2+xy+x2-R2)\ge0. A második tag y-ra nézve egy másodfokú egyenletként is felfogható, tehát a felírható így: (y-y1)(y-y2), ahol y1 = \frac {-x + \sqrt{4R^2-3x^2}}2, y2=\frac {-x - \sqrt{4R^2-3x^2}}2. Tehát az egyenletünket felírhatjuk 3 szorzatként: (y-x)(y-y1)(y-y2)\ge0. Ezek az elsőfokú polinomok a koordinátasíkban az g(x)=x egyenessel párhuzamosak. Két eset lehetséges: vagy egybeesnek vagy nem. Ha nem esnek egybe, akkor lesz olyan hely ahol az egyik vagy mindhárom ellenkező előjelű lesz, ekkor f(x)-f(y)\le0 vagy kettő lesz ellenkező előjelű ill. megegyezik az előjelük, és ekkor f(x)-f(y)\ge0, tehát f(x) nem maximumérték, ezért x nem maximumhely. Tehát a 3 egyenesnek egybe kell esnie. Vizsgáljuk meg hogy mikor esik 2 egybe! 3 tag van, így 3 esetet kell megvizsgálni: x=y1, x=y2 vagy y1=y2. Az utóbbi esetben a másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla, azaz 4R2-3x2=0. Ebből x=2\sqrt {\frac 13}R, de ez nagyobb, mint R, tehát nem eleme az értelmezési tartománynak. Az x=y2 esetben nem valós szám a megoldás, míg x=y1 esetben: x=\frac {-x + \sqrt{4R^2-3x^2}}2, rendezve 3x2=R2, amiből következik az x=\sqrt {\frac 13}R. Ekkor y2=-2\sqrt {\frac 13}R, azaz y-y2=y+2\sqrt {\frac 13}R. Ez mindig pozitív lesz (mert R>0, 0<y<R). Az első két tag is mindig pozitív lesz, azaz a szorzat mindig nagyobb-egyenlő lesz mint 0. A szorzat maximumát tehát az x=\sqrt {\frac 13}R helyen veszi fel. Visszatérve tehát a hengerhez, a m=\sqrt {\frac 13}R, a sugár (\sqrt{R^2-m^2}) r=\sqrt {\frac 23}R, és a térfogat pedig V=\frac 1{\sqrt3} \frac43 R^3 \pi. (úgy érzem, hogy még finomítanom kellene ezen, egy helyen eléggé "bukdácsol" a bizonyítás...)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]