Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[216] Lóczi Lajos2005-11-27 02:39:20

Mersenne-prímekre a kitűzötthöz kísértetiesen hasonló rekurzív kritérium ismert, l. http://mathworld.wolfram.com/Lucas-LehmerTest.html

Utána Google-kulcsszavak: Lucas-Lehmer, Pepin, egy kis nyomozás, és íme

http://tony.reix.free.fr/Mersenne/PrimalityTest2FermatNumbers.pdf

Feltehetőleg nem Te vagy Tony Reix, igaz ? :))

Előzmény: [215] Róbert Gida, 2005-11-26 22:25:41
[215] Róbert Gida2005-11-26 22:25:41

133. feladat

Legyen n\geq1, bizonyítsuk be ekkor, hogy Fn=22n+1 ( azaz az n-edik Fermat szám ) prím akkor és csak akkor, ha az S0=5 és Sk+1=Sk2-2 rekurzióval definiált sorozat esetén az S2n-2 osztható Fn-nel.

[214] Lóczi Lajos2005-11-21 20:23:20

Ha T és \omega között az a kapcsolat, amit írtál, akkor ez jön ki. (De ugyanezt az eredményt írtad az eredeti kérdésedben is, tehát nem kell meglepődni.)

Előzmény: [213] Wolf, 2005-11-21 14:54:18
[213] Wolf2005-11-21 14:54:18

Biztos ez jön ki (sk)-ra? (Órai példa...)

Ugye az Euler alakból csak a cosinusos együtthatókat vizsgálom, mivel (-1)\inRe?

\rm\bf{e^{-s\cdot\frac T4}=-1}

\rm\bf{e^{s\cdot\frac T4}=-1}

Így \bf s\cdot\frac T4=jk \pi, ebből sk=2jk\omega, ahol k=\pm1;\pm3;\pm5;...

Előzmény: [212] Lóczi Lajos, 2005-11-21 13:14:27
[212] Lóczi Lajos2005-11-21 13:14:27

A kérdésnek valójában semmi köze az integráltranszformációkhoz, azon múlik a dolog, hogy a komplex számok körében az ez= -1 egyenlet megoldásai a z = (2k+1)\pii alakú számok, ahol i a képzetes egység és k tetszőleges egész. (Ez pedig lényegében az Euler-formulán múlik, miszerint e^{i\phi}=\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi), ahol \phi tetszőleges (komplex vagy valós) szám.)

Előzmény: [211] Wolf, 2005-11-21 11:59:27
[211] Wolf2005-11-21 11:59:27

Üdv!!!

Szintén Laplace kérdésem van... Adott F(s) törtfv.-nél, ha pólus helyet keresek, pl.: exp(-s*(T/4))=-1 helyen pólus van, akkor ebből hogy jön ki az s*(T/4)=j*k*pi, ahol k=+-1,+-3,+-5,... Fourier-sor meghatározásánál vizsgáltuk, ahol T a gerjesztési jel periódus ideje.

U.I.:Az ilyen jellegű kérdéseket melyik "témában" tehetem fel???

[210] Wolf2005-11-05 18:12:23

Nagyon szépen köszönöm a segítségét... Tudnillik ezt a módszert villamosságtanban használjuk és sajnos nincs elég idő az adott módszerek megértéséhez csupán csak a használatához és ez ahhoz vezet,hogy a fiatal mérnökök az életben már nem is fogják használni, egyrészt nincs rá szükségük (munkahelyi feladatkör), másrészt meg se marad nekik a tanult anyag. Nem értem mi a célja a mérnökképzéseknek,ha nem az,hogy a tanult anyagokat rögzítsék a hallgatóságban és jólképzett mérnököket adjanak ki a kezükből. Mindenkinek még nekem is utána kell járnom bizonyos témákban ismereteket szerezni, különben nem fogunk semmit megérteni csupán "néhány órás" szemináriumokon.

Előzmény: [209] Lóczi Lajos, 2005-11-04 20:46:17
[209] Lóczi Lajos2005-11-04 20:46:17

Ezzel kapcsolatban a következők jutottak eszembe. A Fourier- és Laplace-transzformációkkal szoktunk az integráltranszformációk közül leggyakrabban találkozni. Ha a transzformálandó függvény a negatív számokon nem érdekes (pl. azonosan nulla), akkor jó a Laplace-transzformációt alkalmazni. Továbbá, ha a függvény a plusz végtelen felé haladva nem csökken elég gyorsan, akkor a Fourier-transzformációban szereplő integrál esetleg nem lesz konvergens. Ekkor is előnyös a Laplace-tr., amely tehát egyfajta súlyozott Fourier-tr.-ként fogható fel: a súlyfüggvény az exponenciális függv. Mivel ez gyorsan csökken, az integrált konvergenssé teheti, akár még exponenciálisan gyorsan növő f-ek esetén is. (Az a bizonyos s a súlyfüggvény kitevőjében a Laplace-transzformáció konvergenciafélsíkjának szélét határozza meg.)

A Laplace-tr. tipikus alkalmazásai közé tartozik bizonyos differenciálegyenletek megoldása. A diff. egyenletet transzformálva egy "algebrai" egyenletet kapunk. Ennek megoldását kell vissza-Laplace-transzformálni, hogy megkapjuk az eredeti diff. egyenlet megoldását. Nyilván ez utóbbi lépés a legnehezebb, ezen múlik a módszer sikere és alkalmazhatósága.

Előzmény: [208] Wolf, 2005-11-04 11:43:09
[208] Wolf2005-11-04 11:43:09

Üdvözletem!!!

Elnézést, gondolhattam volna... Tehát arra vagyok kiváncsi, ha az időfv.-em w körfrekvencia szerint változik, akkor a fv. Laplace-transzformáltja a komplex számsíkon ábrázolható.Ennek a transzformálásnak mi a jelentősége, hogy kell elképzelni? Mivel a sin(wt) L.Tr.-ja valós részű, és a cos(wt) L.tr.-ja képzetes részű, akkor ezek kombinációival (pl.:Fourier-sor) egy jelleggörbét kapok a kompl.sz.-on? Ezen vektorok jellemzéséből utaltam az e(-st) tagra, melyett mindig fel kell használni... Mit befolyásol ez a tag a transzformálás során, mi az "s"? Sajnos nincs kellő átlátásom az adott témáról, elnézést ha éppenséggel "hülyeséget" írtam. Tudom kicsit már fizika, de nagy szükségem lenne a segítségére, köszönöm!!!

Előzmény: [200] Lóczi Lajos, 2005-11-01 20:52:53
[207] Lóczi Lajos2005-11-03 22:17:18

A levezetés nekem sosem kellett, csak a formulákat használtam (többdimenziós esetben). Hallottam, hogy ezek a formulák szoros kapcsolatba hozhatók kombinatorikus fákkal és gráfokkal, tehát ilyen könyvekben is keresgélhetsz.

Előzmény: [206] Tibi, 2005-11-03 08:31:26
[206] Tibi2005-11-03 08:31:26

Keressgettem és találtam is valamit a levezetésről, de én másképp oldottam meg: teljes indukcióval. Csinálta más is?

[205] Tibi2005-11-03 08:12:56

Az ok, hogy a formulák nyelvfüggetlenek, de engem a képlet bizonyítása érdekelne...magyarul.Nem tudod, merre találhatnám meg?Egyáltalán benne van ez valamilyen tankönyvben?

Előzmény: [204] Lóczi Lajos, 2005-11-02 22:09:15
[204] Lóczi Lajos2005-11-02 22:09:15

Nem kerestem, de nem hinném, hogy lenne. (Különben is, a formulák nyelvfüggetlenek.:)

Előzmény: [203] Tibi, 2005-11-02 21:58:25
[203] Tibi2005-11-02 21:58:25

Magyar nyelvű oldalt nem tudsz róla?

Előzmény: [202] Lóczi Lajos, 2005-11-02 21:12:55
[202] Lóczi Lajos2005-11-02 21:12:55

Ezeket Faa Di Bruno-féle formuláknak hívják, l. pl. a

http://mathworld.wolfram.com/FaadiBrunosFormula.html

címen.

Előzmény: [201] Tibi, 2005-11-02 21:03:20
[201] Tibi2005-11-02 21:03:20

Sziasztok!

Lehet, hogy most butaságot fogok kérdezni, de tud valaki képletet az összetett függvények magasabbrendű deriváltjainak előállítására? Én egy könyvben sem találok ilyet. Köszönöm a választ!

[200] Lóczi Lajos2005-11-01 20:52:53

Persze az integrálban nyilván f-et akartál írni F helyett. Hogyhogy mit jelent az exponenciális tag? Az exponenciális függvényt.

Előzmény: [198] Wolf, 2005-11-01 20:39:02
[199] Lóczi Lajos2005-11-01 20:50:38

http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html

igaz, hogy angol, de a képleteket lehet érteni. Néhány függvény Laplace-transzformáltja benne van. (Esetleg konkrétabb kérdést is megfogalmazhatsz itt, miután elolvastad és megpróbálunk válaszolni rá.)

Előzmény: [198] Wolf, 2005-11-01 20:39:02
[198] Wolf2005-11-01 20:39:02

Üdvözletem!!!

Szeretném megkérdezni, hogy a Laplace-transzformáció tulajdonképpen miről szól és mit jelent az F(s)=integral[F(t)e(-st)1(t)dt] alakból az exponenciális tag, ahol 1(t) az egységugrás és 0-infinity intervallumban vizsgáljuk? Esetleg hol tudok ennek utánanézni(magyar leírás)?

U.i.: Bocs, hogy így adtam meg... Köszönöm

[196] Fálesz Mihály2005-10-13 11:42:22

Lényegében mindegy, de szerintem az a legpraktikusabb, ha a számlálóból és a nevezőből is kiemeled a legnagyobb tagot. Pl.

\frac{n^7+\sqrt{{\bf n^{15}}+8}}{({\bf n}+\sqrt{n})^{6}-72}=
\frac{n^{15/2}}{n^6}\cdot
\frac{\frac1{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\frac8{n^{15}}}}{(1+\frac1{\sqrt{n}})^6-\frac{72}{n^6}}\sim
n^{3/2}\cdot1.

Előzmény: [194] madár2, 2005-10-13 08:57:23
[195] Lóczi Lajos2005-10-13 10:09:49

Ha a számláló foka nagyobb, nem biztos, hogy a végtelenbe tart a tört, tarthat (-\infty)-hez is, ha a nevező pl. negatív :)

Ha a számláló foka nagyobb, akkor is a nevező fokával célszerű egyszerűsíteni, így a nevező véges, NEMNULLA számhoz fok tartani, míg a számláló valamelyik végtelenbe. (Ha a számláló fokszámával egyszerűsítenél, akkor "túlegyszerűsítenél": a nevező nullához tartana, ami önmagában kényes, elkerülendő.)

Előzmény: [194] madár2, 2005-10-13 08:57:23
[194] madár22005-10-13 08:57:23

Köszönöm szépen! A fő kérdés, az a precíz átalakításra vonatkozott, de megértettem. Még annyit kérdeznék, ha lehet, hogy ha a számláló foka nagyobb (akkor nyilván a végtelenbe tart), akkor az "x a számláló fokán"-nal kell egyszerűsíteni, igaz?

Előzmény: [193] Lóczi Lajos, 2005-10-12 20:29:59
[193] Lóczi Lajos2005-10-12 20:29:59

Nézzünk akkor egy ilyet például:


\lim_{x\to\infty} \frac{\root 4\of{6 x^5-3x^2}+\root 5\of{2x^6+8x^5-9}}{\root 5\of{x^7-x}+\root 6\of{3x^8+6x}}.

A lényeg, hogy lássuk minden gyök alatt mi a "domináns" nagyságrend, ha x "nagy".

A számláló nagyságrendje nyilván

\root 4\of{6 x^5-3x^2}+\root 5\of{2x^6+8x^5-9}\approx \root 4\of{6 x^5}+\root 5\of{2x^6}\approx \root 4\of{6 x^5},

mert (x-kitevőit nézve) 5/4>6/5.

A nevező nagyságrendje

\root 5\of{x^7-x}+\root 6\of{3x^8+6x}\approx \root 5\of{x^7}+\root 6\of{3x^8}\approx \root 5\of{x^7}

hiszen 7/5>8/6.

Azt kaptuk tehát, hogy az eredeti tört (nagy x-ek esetén)

\approx \frac{\root 4\of{6 x^5}}{\root 5\of{x^7}}=\frac{6^{1/4}}{x^{3/20}}

nagyságrendű. Ennek a limesze viszont a végtelenben nyilván 0.

E sejtés kialakítása után a precíz kivitelezés már könnyű: a törtet, szokás szerint, egyszerűsítjük a nevező "legnagyobb fokszámú tagjával", azaz a megfelelő x-nagyságrenddel. Jelen esetben tehát a törtet \root 5\of{x^7}-nel kell egyszerűsíteni. Ekkor az egyszerűsített tört számlálója 0-hoz tart (hiszen 7/5>5/4 és 7/5>6/5), a nevező viszont egy véges, nemnulla számhoz (t.i. 1-hez) tart, az egész törtkifejezés tehát tényleg 0-hoz fog konvergálni.

Előzmény: [191] madár2, 2005-10-12 15:07:27
[192] madár22005-10-12 15:08:11

ja, és függvényről van szó, x tart a végtelenbe

Előzmény: [190] Lóczi Lajos, 2005-10-12 14:16:09
[191] madár22005-10-12 15:07:27

az n az fix, mondjuk a számlálóban 4, a nevezőben 5. (de olyan feladat is van, ahol két különböző gyök összege van a számlálóban) a 4. gyök alatt a polinom foka 5, az 5. gyök alatt 6 a foka. (még nem megy a tex, most léptem be először, bocs)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]