Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[241] jenei.attila2006-02-06 11:51:04

Ezt nem értem. Részleteznéd?

Előzmény: [240] hobbymatekos, 2006-02-05 01:46:15
[240] hobbymatekos2006-02-05 01:46:15

Ha egy polinomnak van egész gyöke, az csak a konstans tag osztója lehet. Most a konstans tag szorzattá alakitható. Ha a, b egész akkor Sqrt(k) egész, azaz k négyzetszám.

Előzmény: [235] Kós Géza, 2006-01-20 11:13:59
[239] hobbymatekos2006-02-05 01:24:04

Még egy megjegyzés az exponenciális tag jogosságáról: lin. diffegyenletek esetén az exponenciális fv-ek alaprendszert alkotnak. Azaz kereshető a homogén egyenlet megoldása exp. fv ek lin. kombinációjaként.

Előzmény: [198] Wolf, 2005-11-01 20:39:02
[238] hobbymatekos2006-02-05 01:13:44

Ez valójában egy rendszer egységugrás fv-re adott válaszaként értelmezhető,tehát az átviteli függvény. A Bode és Nyqist diagrammok adnak felvilágositást egy rendszer stabilitásáról. ( körfrekvencia és a komplex impedancia pl.)Egy rezgőkör pl. közönséges lineáris másodrendű diffegy.. Nos ezeknek a diagrammoknak az összehasolitása jóval könnyebb és a villamosmérnökök (is) azonnal látják belőle a rendszer állapotát.

Előzmény: [198] Wolf, 2005-11-01 20:39:02
[237] hobbymatekos2006-02-05 00:50:44

Sziasztok. bizonyos diffegyenletek... nevezzük nevén: kizárólag lineáris közönséges diffegyenletekre és diffegyenletrendszerekre alkalmazható módszer, azaz ha érvényes a szuperpozició elve. Értelmezett a megoldás az abszolut konvergenciaabszcisszánál nagyobb t re illetve diffegyenletrendszerek esetén a konvergenciaabszisszák által meghatározott intervallumok közös részén.Ott és csakis ott. Az abszolút konvergenciaabszcissza meghatározása Stjieltjes integrál. Gyakran nehéz kiszámolni... Egyébként értelmezhető negativ valósra értelmezett fv-re is a Laplace transzformált (baloldali-nak nevezzük). Viszont az alkalmazások zöme valóban villamosmérnöki (teljesitményelektronika).... DE: a legszebb talán a szabályozástechnika (felnyitott hurok átviteli fv-e, differenciáló és integráló tagok...Itt éppen a differenciálás ás integrálás egyszerüsége az előny). Az AHA élmény ekkor szokott ennél a transzformációtipusnál általában jelentkezni... DE az inverz L trafó létezése és annak konvergenciája bizonyitásra szorul... és szintén nem könnyü...

Előzmény: [209] Lóczi Lajos, 2005-11-04 20:46:17
[236] joe2006-01-30 20:42:55

(önkényesen jelölést változtatva: az x2 - kbx + b2 - k = 0 egyik gyöke a, a másik legyen c; f(x, y) := (x2 + y2) / (1 + xy)); ekkor ha f(a, b) = k, akkor f(b, c) = k. Az könnyen látható, hogy (egyrészt c nem= b, másrészt) b > c (ezt elég arra az esetre belátni, ha a > b > 0). A gyökök és együtthatók közti összefüggésekből c = kb - a. Így egy rekurzív sorozathoz jutunk, aminek (mivel 2 kezdőtagja és a k egész) mineden tagja egész. A sorozat szig. fogyó (ezt elég az első nempozitív tagig belátni); így egyszer eljutunk olyan a > b -hez, melyre f(a, b) = k ("mint mindig"), és a > 0 >= b. Ekkor, mivel f(a, b) számlálója pozitív, és értéke is pozitív (k), így a nevező is az, ezért ab > -1. Mivel a, b egészek, ez csak úgy lehet, ha b = 0. Ekkor viszont k = f(a, b) = f(a, 0) = a2; qed. (bocsánat, hogy még mindig nem tudok TeXelni)

Előzmény: [235] Kós Géza, 2006-01-20 11:13:59
[235] Kós Géza2006-01-20 11:13:59

Egy kis segítség.

Legyen k egy olyan egész szám, ami előáll a kívánt alakban:

k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}. (1)

Vizsgáljuk most a következő másodfokú egyenletet:

(2)x2-(ka)x+(a2-k)=0.

Ennek az egyik gyöke x1=b.

Mit mondhatunk a másik gyökről?

Előzmény: [230] Sirpi, 2006-01-18 17:33:26
[234] Sirpi2006-01-18 20:47:18

Oké, így már világos, bocs. És arra már én is rájöttem, hogy minden négyzetszám előfordul végtelen sokszor, de ez ugye még kevés.

Előzmény: [233] Kós Géza, 2006-01-18 20:25:22
[233] Kós Géza2006-01-18 20:25:22

Amit írtam, az nem ellenpélda, hanem példa akart lenni. Ezek szerint én voltam félreérthető.

Az egész értékek között minden pozitív négyzetszám végtelen sokszor előfordul. (Megoldást azért nem írok, mert ismerem a feladatot.)

Előzmény: [232] Sirpi, 2006-01-18 19:04:29
[232] Sirpi2006-01-18 19:04:29

Géza, ezt nem teljesen értem, mire írtad, ez egy példa, amikor a tört értéke tényleg négyzetszám. Azt kell bizonyítani, hogy nincs olyan a és b, amikor a tört egész, és a tört értéke mégse négyzetszám (bocs, ha eredetileg félreérthetően fogalmaztam).

Előzmény: [231] Kós Géza, 2006-01-18 17:54:52
[231] Kós Géza2006-01-18 17:54:52

Pl. \frac{1020^2+64^2}{1020\cdot64+1}=16.

Előzmény: [230] Sirpi, 2006-01-18 17:33:26
[230] Sirpi2006-01-18 17:33:26

137. feladat.: bizonyítsd be, hogy ha a és b természetes számok és \frac{a^2+b^2}{ab+1} egész, akkor négyzetszám is egyúttal (nemrég hallottam, nem tudom a megoldást, de van 1-2 részeredményem).

[229] Lóczi Lajos2005-12-28 21:35:05

136. feladat. Oldjuk meg a


3^{x-1}\le \left(\frac{3^x-2^x}{2^x-1}\right)^2

egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

[228] lorantfy2005-12-24 16:51:39

Szia Viktor!

Ez egy elsőrendű inhomogén. Átalakítva, x\ne0

y' + \frac{y}{x}=-\frac{1}{x^2}

Először a homogént oldjuk meg:

y' + \frac{y}{x}=0

 \quad \implies \quad \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}

Integrálva: ln|y|=-ln|x|+C, amiből

y=\frac{C}{x}\qquad y'=-\frac{C}{x^2}

Visszahelyettesítve: -\frac{C}{x^2}+\frac{C}{x^2}=0

Az inhomogén megoldását a következő alakban keressük:

y_0=\frac{C(x)}{x} \qquad y_0'=\frac{C'(x)x-C(x)}{x^2}

Ezt visszahelyettesítve:

 C'(x)=-\frac{1}{x}\qquad C(x)=-ln|x|+C

Vagyis a teljes megoldás:

y=-\frac{ln|x|}{x}+\frac{C}{x}\qquad y'=\frac{-1+ln|x|}{x^2}-\frac{C}{x^2}

Visszahelyettesítve az eredetibe:

-1+ln|x|-C-ln|x|+C+1=0

Talán jó! Kellemes Ünnepeket minden Fórumosnak!

Előzmény: [227] xviktor, 2005-12-23 23:58:59
[227] xviktor2005-12-23 23:58:59

Hali!

135. Feladat:

Oldjuk meg a kovetkezo differencial-egyneletet:

x2y'+xy+1=0

Udv: Viktor

[226] jonas2005-12-15 21:38:29

Rónyai Lajos épp most beszél róla a Mindentudás Egyeteme előadásában. Hallgasd meg az előadás ismétlését, vagy olvasd el a Mindentudás Egyeteme honlapjáról az előadást, ha majd kinn lesz.

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[225] lorantfy2005-12-14 22:36:25

könyvajánló

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[224] jonas2005-12-14 15:33:28

Nagy Fermat-tétel - Wikipédia illetve a hosszabb angol nyelvű cikkszó

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[223] Wolf2005-12-14 15:02:23

Csupán kíváncsiságból:

Azt olvastam valahol, hogy régebben pályázatot hírdettek a Fermat-sejtés bizonyítására. Sikerült-e valakinek?

[222] Lóczi Lajos2005-11-28 13:43:22

Szép sejtés (én az "S értékével egy kicsit játszva" lépésben az internetes Inverse Symbolic Calculator-hoz szoktam folyamodni, ami a Sloane-adatbázis kiterjesztése valós számokra.)

Igazoljuk tehát Róbert Gida sejtését, miszerint a feladatbeli összeg értéke \frac{1}{\root 4 \of {5}}. (A bizonyítás ugyanúgy kell menjen, mint az "ujjgyakorlatok"-beli analóg feladat esetén, amit a Mathematica kiszámolt.)

Előzmény: [221] Róbert Gida, 2005-11-27 16:32:32
[221] Róbert Gida2005-11-27 16:32:32

Sejtés a 134. feladatra:

n=107-ig összegeztem a tagokat PARI-GP-ben , persze rekurziót használva a tagokra, hogy egy lépésben ne kelljen a faktoriálist kiszámolni, így T=0.6687025753463730983726573923 körülbelül. A maradék tagokra pedig a Stirling formula becslése szerint az n. tag nagyságrendileg: \frac 1{n^{\frac 32}}*\frac 1{5^{0.75}*\sqrt {8Pi}}. Így az integrálközelítő összegeket használva egy T-nél jobb becslést is kaphatunk a sorösszegre:

S=T+\frac 1{\sqrt {10^7}*5^{0.75}*\sqrt {2Pi}}=0.6687403049777897230799514734

Tehát ennyi jó közelítéssel a sorösszeg. S értékével egy kicsit játszva kiderül, hogy S hihetetlen közel van \frac 1{\sqrt {\sqrt 5}} értékéhez, a hiba tőle mindössze 10-12, így valószínűleg ennyi a sorösszeg.

[220] Róbert Gida2005-11-27 15:16:10

Pepin teszt szerint: legyen n>0. Az Fn=22n+1 prím pontosan akkor, ha 3^{\frac {F_n-1}2} modulo Fn az -1. Így ez a teszt 2n-1 darab négyzetreemelést és redukciót igényel modulo Fn.

A másik új teszt pedig 2n-2 darab ilyen műveletet igényel, hiszen nekünk itt igazából nem S2n-2 értéke kell, hanem annak modulo Fn vett értéke, így a rekurziót is vehetjük modulo Fn De ott még mindig van 2 kivonása, ami ha binárisan van ábrázolva a szám, akkor átlagosan csak konstans műveletbe kerül.

Így mindkét eljárás lényegében 2n darab négyzetreemelést és redukciót igényel modulo Fn, azaz egyforma gyorsak.

Sőt nagyságrendileg ugyanolyan gyors, mint a Lucas-Lehmer teszt, csak éppen a Mersenne számok jóval sűrűbben vannak, mint a Fermat számok és nem is valószínű, hogy létezne akár még csak egy új prím is a Fermat számok közt, ezért keresnek általában Mersenne prímet.

Még egy dolog a futásidőről: egy sejtés szerint nincs lényegesen gyorsabb prímalgoritmus annál, mint annak a futásideje ami megnézi egy számról log2n négyzetreemeléssel és redukcióval, hogy egy szám egy adott alapra nézve ( erős ) álprím-e. Az előbbiek mind ilyen gyorsak voltak, így nem valószínű, hogy lenne ezeknél gyorsabb algoritmus ezen számokra. Ezért volt számomra nagyon meglepő amikor azt olvastam TRex-től, hogy egy másik algoritmusa szerint ő 25%-kal gyorsabban tudja megcsinálni a Fermat számokra a prímtesztet!, de kiderült, hogy tévedett.

TRex-ről még valamit: hihetetlen egyébként miket meg nem sejt, amik általában ismert tételek a számelméletben:) De ez az eredmény valóban újnak tűnik, én sem láttam sehol hasonlót. Én tőle októberben olvastam ezt a sejtését szintén egy külföldi fórumon: http://mersenneforum.org.

Előzmény: [219] Lóczi Lajos, 2005-11-27 13:32:14
[219] Lóczi Lajos2005-11-27 13:32:14

És melyik teszt hatékonyabb a Fermat-számokra, a Pepin-féle exponenciális vagy a Reix-féle iteratív? (Úgy értem, melyiket igényel kevesebb számolást?)

T. Reix amúgy egy külföldi fórumon TRex néven tűzte ki ugyanezt a feladatot november elején. Lesz belőle közös cikk? Újnak tűnik az eredmény, nem?

Előzmény: [217] Róbert Gida, 2005-11-27 11:11:30
[218] Lóczi Lajos2005-11-27 13:26:51

134. feladat. Mennyi a

\sum _{k=0}^{\infty } \frac{(5 k)! }{k! (4 k+1)!}\left(\frac{4}{5 \sqrt{\sqrt{5}}}\right)^{4 k+1}

összeg értéke kifejezve olyan formában, amit még általános iskolában tanultunk?

[217] Róbert Gida2005-11-27 11:11:30

Valóban nem én vagyok Tony Reix. Ő egyébként egy francia programozó. Váltottunk olyan 6 emailt egymás között a témában, sejtésével kapcsolatban. Nemrégiben adtam rá egy bizonyítást, ami elemi és nem használ tételeket a Lucas sorozatokról. Az ő bizonyítása egyébként hibás, köszönhetően 6. tétel (8.4.7)-nek, mivel ott, hogy mikor van +-1 azt éppenséggel egy Legendre szimbólum adja meg.

Az a legmeglepőbb, hogy a Freud-Gyarmati Számelmélet könyvben a Mersenne számokra vonatkozó kritérium bizonyítását átírva ezt a tételt is meg lehet kapni! Ezt átírva valamivel több mint 2 oldal a bizonyítása néhány könnyen ellenőrizhető számolás kihagyásával. Részletesen olyan 4-5 oldal lenne.

Fermat számokra egyébként a Pepin teszt közismert, ami azért más mint ez a teszt. Éppen szerintem ezért érdekes, hogy a Mersenne és Fermat számokra most már van két hasonló prímteszt, aminek a bizonyítása is hasonló.

Kis segítség a kezdéshez az érdeklödőknek: itt most a Q[\sqrt {21}] gyűrűben kell dolgozni! Ebben a gyűrűben egyébként igaz a számelmélet alaptétele, de ezt nem kell a bizonyításhoz használni.

Előzmény: [216] Lóczi Lajos, 2005-11-27 02:39:20

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]