Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[247] rizsesz2006-02-14 12:11:35

köszönöm :)

[246] nadorp2006-02-14 10:04:39

Egyenletes konvergencia esetén szabad. Van egy olyan tétel, hogy ha adott egy fn(x) függvénysorozat, és \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) és a konvergencia egyenletes, akkor \lim_{n\to\infty}f^{'}_n(x)=f^{'}(x), azaz szabad tagonként deriválni. Ugyanez igaz integrálásra is. Az egyeneletes konvergencia nagyjából azt jelenti, hogy az |fn(x)-fm(x)| különbségek elég nagy n,m-re x-től függetlenül tetszőlegesen kicsik lesznek.

Legyen most fn(x)=1+x+x2+...+xn, ahol x\in[-r;r] és 0<r<1. Ekkor, ha n>m, akkor |f_n(x)-f_m(x)|=|x^m+x^{m+1}+...+x^n|\leq\frac{r^m}{1-r},és ez tetszőlegesen kicsi (x-től függetlenül), ha m elég nagy. Tehát a \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\frac1{1-x} konvergencia egyenletes a [-r,r] intervallumon, ezért szabad tagonként integrálni. Hasonló a gondolatmenet, ha f_n(x)=\sum_{i=1}^n\frac{x^i}i. Itt is igaz,hogy |f_n(x)-f_m(x)|<\left|\frac{r^m}m+\frac{r^{m+1}}{m+1}+...+\frac{r^n}n\right|\leq\frac{r^m}{1-r}, tehát a függvénysorozat egyenletesen konvergál,ezért szabad tagonkét deriválni.

Előzmény: [245] rizsesz, 2006-02-14 00:59:22
[245] rizsesz2006-02-14 00:59:22

az eredmény biztosan jó, csak a nyitott kérdés érdekes a végén, miszerint lehet-e deriválni, majd az így kapott sorozaton elvégezve a szummázást, és azt visszaintegrálni ér-e :)

[244] Mate2006-02-14 00:43:02

Miért nem próbálod Taylor-sorba fejteni?

[243] rizsesz2006-02-13 22:42:48

sziasztok. igazából egy vicces igen-nem kérdésem lenne az analízis témaköréből. azt a feladatot kaptuk, hogy igazoljuk a sum (p ad i/i) i=1->végtelen=-ln(1-p) összefüggést (elnézést a TeXtelenségért továbbra is :S) a következő megoldást találtam ki:

-vegyük az általános tag deriváltját, ez a p ad i/i deriváltja p szerint, az p ad (i-1) -ha ezeket a deriváltakat összeadjuk, szóval 1+p+p ad 2+... p ad végt. összeget képezzük, az a végt. mértani sor összegképlet miatt 1/(1-p) -most a kezdeti deriválást visszacsinálva egy integrálással, pont megkapjuk a -ln (1/(1-p))-t :)

lényegében a kérdés annyi, hogy van egy csökkenő tagú sorozat, és ha az elemeket deriválom, és úgy végzem el az összegzést, majd visszaintegrálok, akkor az eredetivel megegyező összeget kapom-e meg?

segítségeteket előre is köszi, rizsa

[242] nadorp2006-02-06 11:56:35

Igaz, hogy b|a2-k ,de ebből nem következik, hogy a szorzat csak a^2-k=(a-\sqrt{k})(a+\sqrt{k}) alakú lehet. ( 49-5=4.11 ). Ha a hozzászólást nem így értetted, akkor bocs,nem szóltam, de érdekelne a szorzattá bontás, amiből \sqrt{k} egész volta következik. Egyébként tetszik Joe megoldása.

Előzmény: [240] hobbymatekos, 2006-02-05 01:46:15
[241] jenei.attila2006-02-06 11:51:04

Ezt nem értem. Részleteznéd?

Előzmény: [240] hobbymatekos, 2006-02-05 01:46:15
[240] hobbymatekos2006-02-05 01:46:15

Ha egy polinomnak van egész gyöke, az csak a konstans tag osztója lehet. Most a konstans tag szorzattá alakitható. Ha a, b egész akkor Sqrt(k) egész, azaz k négyzetszám.

Előzmény: [235] Kós Géza, 2006-01-20 11:13:59
[239] hobbymatekos2006-02-05 01:24:04

Még egy megjegyzés az exponenciális tag jogosságáról: lin. diffegyenletek esetén az exponenciális fv-ek alaprendszert alkotnak. Azaz kereshető a homogén egyenlet megoldása exp. fv ek lin. kombinációjaként.

Előzmény: [198] Wolf, 2005-11-01 20:39:02
[238] hobbymatekos2006-02-05 01:13:44

Ez valójában egy rendszer egységugrás fv-re adott válaszaként értelmezhető,tehát az átviteli függvény. A Bode és Nyqist diagrammok adnak felvilágositást egy rendszer stabilitásáról. ( körfrekvencia és a komplex impedancia pl.)Egy rezgőkör pl. közönséges lineáris másodrendű diffegy.. Nos ezeknek a diagrammoknak az összehasolitása jóval könnyebb és a villamosmérnökök (is) azonnal látják belőle a rendszer állapotát.

Előzmény: [198] Wolf, 2005-11-01 20:39:02
[237] hobbymatekos2006-02-05 00:50:44

Sziasztok. bizonyos diffegyenletek... nevezzük nevén: kizárólag lineáris közönséges diffegyenletekre és diffegyenletrendszerekre alkalmazható módszer, azaz ha érvényes a szuperpozició elve. Értelmezett a megoldás az abszolut konvergenciaabszcisszánál nagyobb t re illetve diffegyenletrendszerek esetén a konvergenciaabszisszák által meghatározott intervallumok közös részén.Ott és csakis ott. Az abszolút konvergenciaabszcissza meghatározása Stjieltjes integrál. Gyakran nehéz kiszámolni... Egyébként értelmezhető negativ valósra értelmezett fv-re is a Laplace transzformált (baloldali-nak nevezzük). Viszont az alkalmazások zöme valóban villamosmérnöki (teljesitményelektronika).... DE: a legszebb talán a szabályozástechnika (felnyitott hurok átviteli fv-e, differenciáló és integráló tagok...Itt éppen a differenciálás ás integrálás egyszerüsége az előny). Az AHA élmény ekkor szokott ennél a transzformációtipusnál általában jelentkezni... DE az inverz L trafó létezése és annak konvergenciája bizonyitásra szorul... és szintén nem könnyü...

Előzmény: [209] Lóczi Lajos, 2005-11-04 20:46:17
[236] joe2006-01-30 20:42:55

(önkényesen jelölést változtatva: az x2 - kbx + b2 - k = 0 egyik gyöke a, a másik legyen c; f(x, y) := (x2 + y2) / (1 + xy)); ekkor ha f(a, b) = k, akkor f(b, c) = k. Az könnyen látható, hogy (egyrészt c nem= b, másrészt) b > c (ezt elég arra az esetre belátni, ha a > b > 0). A gyökök és együtthatók közti összefüggésekből c = kb - a. Így egy rekurzív sorozathoz jutunk, aminek (mivel 2 kezdőtagja és a k egész) mineden tagja egész. A sorozat szig. fogyó (ezt elég az első nempozitív tagig belátni); így egyszer eljutunk olyan a > b -hez, melyre f(a, b) = k ("mint mindig"), és a > 0 >= b. Ekkor, mivel f(a, b) számlálója pozitív, és értéke is pozitív (k), így a nevező is az, ezért ab > -1. Mivel a, b egészek, ez csak úgy lehet, ha b = 0. Ekkor viszont k = f(a, b) = f(a, 0) = a2; qed. (bocsánat, hogy még mindig nem tudok TeXelni)

Előzmény: [235] Kós Géza, 2006-01-20 11:13:59
[235] Kós Géza2006-01-20 11:13:59

Egy kis segítség.

Legyen k egy olyan egész szám, ami előáll a kívánt alakban:

k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}. (1)

Vizsgáljuk most a következő másodfokú egyenletet:

(2)x2-(ka)x+(a2-k)=0.

Ennek az egyik gyöke x1=b.

Mit mondhatunk a másik gyökről?

Előzmény: [230] Sirpi, 2006-01-18 17:33:26
[234] Sirpi2006-01-18 20:47:18

Oké, így már világos, bocs. És arra már én is rájöttem, hogy minden négyzetszám előfordul végtelen sokszor, de ez ugye még kevés.

Előzmény: [233] Kós Géza, 2006-01-18 20:25:22
[233] Kós Géza2006-01-18 20:25:22

Amit írtam, az nem ellenpélda, hanem példa akart lenni. Ezek szerint én voltam félreérthető.

Az egész értékek között minden pozitív négyzetszám végtelen sokszor előfordul. (Megoldást azért nem írok, mert ismerem a feladatot.)

Előzmény: [232] Sirpi, 2006-01-18 19:04:29
[232] Sirpi2006-01-18 19:04:29

Géza, ezt nem teljesen értem, mire írtad, ez egy példa, amikor a tört értéke tényleg négyzetszám. Azt kell bizonyítani, hogy nincs olyan a és b, amikor a tört egész, és a tört értéke mégse négyzetszám (bocs, ha eredetileg félreérthetően fogalmaztam).

Előzmény: [231] Kós Géza, 2006-01-18 17:54:52
[231] Kós Géza2006-01-18 17:54:52

Pl. \frac{1020^2+64^2}{1020\cdot64+1}=16.

Előzmény: [230] Sirpi, 2006-01-18 17:33:26
[230] Sirpi2006-01-18 17:33:26

137. feladat.: bizonyítsd be, hogy ha a és b természetes számok és \frac{a^2+b^2}{ab+1} egész, akkor négyzetszám is egyúttal (nemrég hallottam, nem tudom a megoldást, de van 1-2 részeredményem).

[229] Lóczi Lajos2005-12-28 21:35:05

136. feladat. Oldjuk meg a


3^{x-1}\le \left(\frac{3^x-2^x}{2^x-1}\right)^2

egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

[228] lorantfy2005-12-24 16:51:39

Szia Viktor!

Ez egy elsőrendű inhomogén. Átalakítva, x\ne0

y' + \frac{y}{x}=-\frac{1}{x^2}

Először a homogént oldjuk meg:

y' + \frac{y}{x}=0

 \quad \implies \quad \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}

Integrálva: ln|y|=-ln|x|+C, amiből

y=\frac{C}{x}\qquad y'=-\frac{C}{x^2}

Visszahelyettesítve: -\frac{C}{x^2}+\frac{C}{x^2}=0

Az inhomogén megoldását a következő alakban keressük:

y_0=\frac{C(x)}{x} \qquad y_0'=\frac{C'(x)x-C(x)}{x^2}

Ezt visszahelyettesítve:

 C'(x)=-\frac{1}{x}\qquad C(x)=-ln|x|+C

Vagyis a teljes megoldás:

y=-\frac{ln|x|}{x}+\frac{C}{x}\qquad y'=\frac{-1+ln|x|}{x^2}-\frac{C}{x^2}

Visszahelyettesítve az eredetibe:

-1+ln|x|-C-ln|x|+C+1=0

Talán jó! Kellemes Ünnepeket minden Fórumosnak!

Előzmény: [227] xviktor, 2005-12-23 23:58:59
[227] xviktor2005-12-23 23:58:59

Hali!

135. Feladat:

Oldjuk meg a kovetkezo differencial-egyneletet:

x2y'+xy+1=0

Udv: Viktor

[226] jonas2005-12-15 21:38:29

Rónyai Lajos épp most beszél róla a Mindentudás Egyeteme előadásában. Hallgasd meg az előadás ismétlését, vagy olvasd el a Mindentudás Egyeteme honlapjáról az előadást, ha majd kinn lesz.

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[225] lorantfy2005-12-14 22:36:25

könyvajánló

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[224] jonas2005-12-14 15:33:28

Nagy Fermat-tétel - Wikipédia illetve a hosszabb angol nyelvű cikkszó

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[223] Wolf2005-12-14 15:02:23

Csupán kíváncsiságból:

Azt olvastam valahol, hogy régebben pályázatot hírdettek a Fermat-sejtés bizonyítására. Sikerült-e valakinek?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]